Линейные отображения (преобразования).

Рассмотрим линейное пространство Rи предположим, что каждому векторуxэтого пространства поставлен в соответствие по какому-то закону векторx′ из этого же пространстваR.

Вектор x′ называется образом вектора x.

Символически записываем

x′ = Аx.

Буквой А обозначено преобразование.

Преобразование x′ = Аx называется линейным, если выполняются следующие два условия

A(λx) = λAx (A(λx) = λx′)

A(x + y) = Ax + Ay ( A(x + y) = x′ + y′)

Примеры.

1. Рассмотрим обычные векторы, расположенные на плоскости, и пусть преобразование А состоит в том, что все векторы растягиваются в k раз (k – некоторое число)

x′ = Аx = k x

Преобразование линейно.

A(λx) = k (λx) = λ(kx) = λAx,) A(x + y) = k(x + y) = kx + ky =Ax + Ay

2. Пусть преобразование А состоит в том, что каждому вектору плоскостиx ставится в соответствие вектор, симметричный с ним относительно некоторой осиl.Очевидно. преобразование линейно. Оно называется зеркальным отражением относительно промойl.

x

l

x′