Геометрическая иллюстрация.
t
gα=f′(x) >
0, т.е. α – острый угол, ордината касательной
с возрастанием х возрастает, и функцияf(x) является
возрастающей.
Аналогично для f′(x) < 0.
Экстремумы функции
y
Точка х = х0 называется точкой максимума,
если
существует такая окрестность точки х = х0,что для всех
х из этой окрестности
справедливо f(x0)
> f(x).
f(x0)
f(x)
Аналогично
для минимума.
x0
x
x
y
f(x0) < f(x). x = x0–точка минимума.
Максимум
и минимум –экстремум.
f(x0) f(x)
x
x
Необходимое условие экстремума.
Если точка х = х0являетсяточкой экстремума функции f(x), то ее первая производная f′(x0) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
f′(x0) = 0 либо f′(x0) = ∞.
Это условие является необходимым, но не является достаточным (например, у = х3)
Первое достаточное условие существования экстремума.
Е
сли
при переходе х через значение х = х0
в положительном направлении производная
f′(x)
меняет знак, то точка х= х0
является точкой экстремума функции
f(x).
Этот экстремум – максимум,
если производная меняет знак с (+) на
(-), и минимум, если с (-) на
(+).
Пусть f′(x) > 0 приx<x0 , иf′(x)< 0 приx>x0. Тогда, если
x≤x0 , функция возрастает иf(x) <f(x0 ). Если жеx≥x0, то
функция убывает, и f(x0 )>f(x). Но это означает, чтоf(x0)
больше всех значений функции в соседних точках, т.е. х = х0
является точкой максимума. Аналогично для минимума.
Замечание. Максимум и минимум нельзя путать с наибольшим и наименьшим значением функции на замкнутом интервале.
y
= f(x),
x Є
[a,
b],
f(a)
– наименьшее значение,
f(b)f(b)
– наибольшее значение,
f(a) x
= x1–точка максимума,
a x1 x2
b
x x
= x2 –
точка минимума.
Второе достаточное условие экстремума.
Если в точке х = х0 f′(x0) = 0, а вторая производная f′′(x0 ) ≠ 0, то точка х = х0является точкой экстремума функции. х = х0 – точка максимума, если f′′(x0) < 0, и точка минимума, если f′′(x0) > 0.
Доказательство. Пусть f′(x0) = 0,f′′(x0) > 0. В силу непрерывностиf′′(x) будет больше нуля и в некоторой окрестности точки х = х0. Следовательно,f′′(x) возрастает в этой окрестности, а при х = х0f′(x0) = 0. Таким образом,f′(x) < 0 при х <x0иf′(x) > 0 при х >x0. Производная при переходе через х = х0меняет знак с (-) на (+), следовательно функция в этой точке имеет минимум.
Если в точке х0 f′(x0) иf′′(x0) равны нулю, то признак не эффективен. Экстремум в этой точке может быть, а может и не быть.
Выпуклость и вогнутость графика функции.
Выпуклая кривая, Вогнутая кривая, Кривая состоит из выпуклой
расположена под расположена над и вогнутой частей.
касательной. касательной.
Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой.
Если f′′(x) < 0 для всех
,
то криваяy = f(x)
– выпуклая на этом интервале.Если f′′(x) > 0 для всех
то криваяy = f(x)
– вогнутая на этом интервале.
Д
оказательство.
Пусть f′′ (x) < 0, x Є (a, b). T
M0
f(x0) M1
x ξ1 x0
ξ 2
ξ1 x
b
Рассмотрим кривую y = f(x). В точкеM0(x0, f(x) ) проведем касательную
Y – f(x0) = f ′(x0) (x – x0 ).
Возьмем произвольное значение xЄ (a, b) и рассмотрим разность ординат кривой и касательной при этом значенииx.
Разности x – x0иξ 1 – x0 имеют одинаковые знаки. Поэтому,
yкр–y кас < 0,yкр < yкас.
Кривая y = f(x) выпуклая. Аналогично, для вогнутости.