17

Лекции По дисциплине « Аналитическая геометрия» Аналитическая геометрия.

Аналитическая геометрия решает задачи геометрии аналитическими средствами. Это достигается на основе метода координат. Основатель – Декарт , 1596-1650, Франция.

Метод координат.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярных векторы i, j, k (|i| = |j| = |k| = 1).

В направлении каждого вектора проведем ось. Оx – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Рассмотрим точку М и векторОМ= { x, y, z}.

Упорядоченная тройка чисел x, y, z – координаты точки М

M(x, y, z).

Расстояние между двумя точками.

ПустьA(x₁,y₁,z₁) ,B(x₂,y₂,z₂) . Тогда AB = OB – OA,

AB = {x₂– x₁, y₂– y₁, z₂- z₁}.Из координат конца вектора вычитаем соответствующие координаты начала

.

На плоскости:

.

Рассмотренная система координат называется декартовой.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть точка делит отрезокABв отношении λ. ПустьA(x₁,y₁,z₁),B(x₂,y₂z₂),Это условие можно переписать в виде

z M B

A

y

x

Отсюда

Например, если М – середина отрезка АВ, то λ =1, и

Уравнение линии на плоскости.

Рассмотрим точку М(х,у), лежащую на линии. Пусть точка движется по линии. Положение точки изменяется, но при этом она все время удовлетворяет некоторому условию, которое удерживает ее на линии. Это условие записывается как уравнение между координатами точки.

F(x,y) = 0 – уравнение линии на плоскости.

Уравнением линииназывается уравнение F(x,y) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии.

(x, y) – текущие координаты.

П р и м е р .

Написать уравнение окружности с центром в точке О(a, b) и радиусом r.

О₁М = r для любой точки М, принадлежащей окружности.

- уравнение окружности.

Прямая линия.

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀, y₀) перпендикулярно вектору

n= {A,B}.

n, n∙Mo M = 0. Следовательно,

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 –уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Отсюда видно, что уравнение прямой есть уравнение первой степени. Докажем, что всякое уравнение первой степени определяет прямую.

Рассмотрим уравнение Аx + By + C =0. Пусть (x₀, y₀) – решение этого уравнения.

Тогда Ax₀+ By₀+ C = 0.

Отсюда A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0. Получили уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀,y₀) перпендикулярно векторуn= {A, B}.

k1 = k2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b, k = tg φ– угловой коэффициент прямой.

Условие параллельности прямых:

.

Условие перпендикулярности:

Пусть прямая проходит через точку Мo(xo, yo) параллельно вектору s = {m, n}. Векторsназывается направляющим вектором прямой. M(x, y) – произвольная точка прямой.

Рассмотрим вектор МoM = {x – x₀, y – y₀}, M0M ║s. Следовательно,

(*) − уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ параллельно данному вектору.

Следствие 1. Пусть прямая проходит через точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Тогда s = {m, n}= A₁A₂ = {x₂ – x₁, y₂ – y₁}, M₀(x₀, y₀} → A(x₁, y₁).

Следствие 2. Уравнение (*) представляется в виде:

Очевидно, ⁿ/_m= tg φ = k – угловой коэффициент прямой.

y –– y0 = k (x – x0)

- уравнение прямой,проходящей через данную точку в данном направлении.