Расстояние от точки до прямой.

Найдем расстояние от точки M₁(x₁,y₁) до прямой Ax + By + C = 0.

Возьмем на прямой произвольную точку M₀(x₀, y₀). Тогда расстояние d будет равно

n

М₁

dd= пр_nM₀M₁ .

М₀

M₀M₁= {x₁–x₀,y₁–y₀},n= {A,B}.(M0M₁∙ n) = A(x₁ – x₀) + B(y₁ – y₀).

Но, т.к. точка М₀ лежит на прямой, то

–Ax₀– By₀= C. Следовательно,

Модуль ставится ввиду того, что правая часть может быть отрицательна, если точка М₁и начало координат расположены по одну сторону от прямой.

П р и м е р 1. Дана прямая 2x - 3y +5 = 0 и точка М₀(1, -2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку М0 а) параллельно данной прямой, b) перпендикулярно данной прямой.

a) A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0.n= {A, B} = {2, -3},

2(x – 1) -3(y + 2) = 0, 2x -3y – 5 =0 – уравнение прямой, параллельной данной.

s= {m, n} =n= {2, -3}- уравнение прямой, перпендикулярной данной.

П р и м е р . Даны координаты вершин треугольника АВС. А(6 ,2), В(30, -5), С(12, 19). Найти:

1. длину стороны ВС,

2. уравнение линии ВС,

3. уравнение высоты, проведенной из точки А,

4. вычислить длину этой высоты.

1. ВС = {-18, 24} =s– направляющий вектор стороны ВС.

| BC| =

2. Уравнение стороны ВС

24x + 18y – 630 = 0, 4x + 3y – 105 = 0.

3. BC = n – нормальный вектор высоты АН.

-18 (x – 6) + 24(y -2) = 0, -18x + 24y + 60 = 0,

3x - 4y – 10 = 0 – уравнение высоты АН.

4. длина высоты АН

Кривые второго порядка.

Ax² + 2Bxy + Cy²+ 2Dx + 2Ey + F = 0 –общее уравнение кривой второго порядка.

А, В, С ≠ 0 одновременно.

Примером уравнения кривой второго порядка является уравнение окружности.

(x – a)²+ (y – b)²= R²или x² + y²– 2ax – 2by + a² + b²– R2 = 0.

Свойства:

1. коэффициенты при х²и у²одинаковы,

2. отсутствует член с ху.

Познакомимся с другими кривыми второго порядка.

Эллипс.

Эллипсомназывается геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

F₁M+F₂M= 2a - уравнение эллипса. F₂F₁= 2c - фокусное расстояние.2a > 2c, a > c.

упрощая, получим каноническое уравнение эллипса:

Точки пересечения с осями координат: x= 0,y=Оси координат являются осями симметрии эллипса. Пустьx≥ 0,yТогда

y_max=bпри х = 0. При возрастаниихот0доaуубывает отb до 0.

Гипербола.

Гиперболойназывается геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная2a.

F₂M – F₁M = . Обозначим F₂F₁ = 2c, 2a < 2c, a < c.

Точки пересечения с осями координат - y= 0,x=.

x= 0 – точек пересечения с осью оу нет.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы

Пусть x≥ 0,y≥ 0. . Отсюда |x| ≥a.

y_min= 0 приx= a, у возрастает при возрастании х. Прямые

называются асимптотами гиперболы.−сопряженная гипербола.Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемойфокусом и от данной прямой, называемойдиректрисой.

MF=MD,KF=p, Другие виды параболы

y² = 2px -каноническое уравнение параболы. y²= -2pxx²=2pyx²= -2py

Ох – ось симметрии,x≥ 0, .