Общее уравнение кривых второго порядка.

В общем уравнении кривых второго порядка положим В = 0. Тогда уравнение принимает вид

Ax² + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

1. AC>0 – уравнение эллиптического типа, определяет, вообще говоря, эллипс со смещенным центром и осями симметрии, параллельными осям координат, или случаи его вырождения. Уравнение приводится к виду

y b

a a

y₀

b

x

x₀

2. АС < 0 – уравнение гиперболического типа, определяет, вообще говоря, гиперболу со смещенным центром и осями симметрии, параллельными осям координат, или случаи ее вырождения. Уравнение приводится к виду

y

b

b

y₀ a a

b

x₀ x

3. AC= 0 – уравнение параболического типа, определяет, вообще говоря, параболу со смещенной вершиной и осью симметрии, параллельной той оси, при которой нет квадрата в уравнении или случаи ее вырождения.

3.1. A= 0,D≠ 0. Уравнение приводится к видуи определяет параболу с осью симметрии, параллельной осиx.

y -^C/_2D > 0 y

O₁ -^C/_2D> 0

x x

-^C/_2D < 0

-^C/_2D < 0 O₁

3.2.C= 0,E≠ 0. Уравнение приводится к видуи определяет параболу с осью симметрии, параллельной осиy.

П р и м е р ы. Определить вид и построить кривую.

1. 4x² – y² – 8x + 4y – 4 = 0. 4(x² – 2x + 1 – 1) –(y² – 4y + 4 – 4) – 4 = 0, 4(x −1)² – (y – 2)² = 4,

y

Гипербола,

O₁(1, 2),a = 1, b = 2. 2

1 x

2. 2x²+ 4x+y= 0,y= -2x²– 4x−парабола, координаты вершины x₀= -1,y₀ = 2,

yОсь симметрии параллельна оси ox, ветви направлены в

O₁(-1, 2)

вниз. Точки пересечения с осями координат:

y = 0, x₁= 0,x₂=-2.

ox

Аналитическая геометрия в пространстве.

1. Уравнение поверхности.Рассмотрим в пространстве некоторую поверхность. Пусть точка М(x,y,z) движется по поверхности. Координаты ее меняются, но они меняются не произвольно, они удовлетворяют некоторому условию, которое удерживает точку М на поверхности. Это условие записывается как уравнение между координатами точки М(x,y,z).

F(x, y, z) = 0.

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.

П р и м е р . Найти уравнение сферы с центром в точке О₁ (a,b,c) и радиусомR.

M(x,y, z) – произвольная точка сферы.

О₁М =R, ,

(x–a)²+ (y–b)²+ (z–c)²=R²– уравнение сферы.

2. Уравнение линии в пространстве.

Линия в пространстве задается как пересечение двух поверхностей (1) и (2).

F₁(x,y,z) = 0, (1)

F₂(x,y,z) = 0. (2)

Если точка принадлежит линии (L), то она одновременно принадлежит поверхности (1) и поверхности (2). Координаты ее при этом удовлетворяют системе уравнений (1) и (2).

3. Уравнение плоскости. Пусть положение плоскости в пространстве определяется заданием точки М₀(x₀,y₀,z₀) и нормального вектораn = {A, B, C}. Составим уравнение плоскости. Пусть точка М(x,y,z,) – произвольная точка плоскости.

М₀М = {x–x₀,y–y₀,z–z₀}.

- (1)

уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Это уравнение преобразуется к виду Ах + By + Cz + D = 0 (2)

т.е. является линейным относительноx,yиz. Докажем, что всякое линейное уравнение определяет плоскость. Пусть (x₀,y₀,z₀) – решение уравнения (2) . Тогда

Ax₀+By₀+Cz₀+D= 0 (3)

Из уравнения (2) вычтем уравнение (3).

A(x–x₀) +B(y–y₀ ) +C(z–z₀) = 0 – уравнение плоскости.

Следовательно, уравнение (2) определяет плоскость. А, В, С – координаты нормального вектора этой плоскости. (1) A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, n₁ = {A₁, B₁, C₁}

(2) A₂x + B₂ y + C₂z + D₂ = 0. n₂ = {A₂, B₂, C₂}

a)n₁║n₂ -условие параллельности плоскостей.

n₁b) -

условие перпендикулярности плоскостей

n₂

n₁

n₂

с)Даны три точки, лежащие на плоскостиM₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂),M₃(x₃,y₃,z₃). Возьмем

на плоскости произвольную точку М(x,y,z). Векторы М₁М, М₁М₂, М₁М₃компланарны.

М₁ М-уравнение плоскости.

М₂

М₃ проходящей через три точки.

П р и м е р . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 0, 3) параллельно плоскости 3x+ 4y- 2z+ 5 = 0.

3(x – 2) + 4(y – 0) – 2(z – 3) = 0.

4. Прямая линия в пространстве. Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей.

A₁x+B₁y+C₁z+D₁= 0,общие уравнения прямой.

A₂x + B₂ y + C₂z + D₂ = 0.

Пусть на прямой известна точка М₀(x₀,y₀,z₀) и направляющий вектор s = {m, n, p}– любой вектор, параллельный прямой.M(x,y,z) – произвольная точка, лежащая на прямой. Тогда

M₀M ║ s, M₀M = {x – x₀, y – y₀, z – z₀ }

- канонические уравнения прямой.

Очевидно, если имеем две прямые с направляющими векторами s₁ ={m₁,n₁,p₁} иs₂= {m₂,n₂ ,p₂}, то-условие параллельности двух прямых, m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0–условие перпендикулярности двух прямых.

5. Прямая и плоскость. Рассмотрим плоскостьAx+By+Cz+D= 0,n ={A,B,C},

и прямую

s ={m,n,p} Am + Bn + Cp = 0 – условие параллельности прямой и

n = {A,B,C}и плоскости

n = {A,B,C}

s ={m,n,p}условие перпендикулярности прямой и плоскости.

З а д а ч и.

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, 1, 3), параллельно прямой

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(0, 1, -2) перпендикулярно прямой 2x–y+ 3z+ 1 = 0,

x + y + 2z + 3 = 0.

Решение. A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. n = {A, B, C,} = {-5, -1, 3}.

-5(x – 0) -1(y – 1) + 3(z + 2) = 0. 5x + y – 3z - 7 = 0 – ответ.

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(3, 1, 4), В(-1, 6, 1),C(-1, 1, 6),D(0, 4, -1). Найти

   0. длину ребра АВ;

   1. угол между ребрами АВ и AD;

   2. площадь грани АВС;

   3. объем пирамиды;

   4. уравнение прямой АВ;

   5. уравнение плоскости АВС;

   6. уравнение высоты, опущенной из вершины Dна грань АВС.

D AB ={-4, 5, -3},

AD = {-3, 3, -5}

AC = {-4, 0, 2}

n

A B

O₁

C

Решение.

3.1.

3.2. 3.3. n =

3.4.

3.5

3.6. n = {10, 20, 20}, 10(x - 3) + 20(y – 1) + 20(z – 4) = 0, x + 2y + 2z - 13 = 0.

3.7. s =n = {10, 20, 20},

Цилиндрические поверхности.

z

M(x,y,z)

(A)

y

M₁(x, y) (L)

x

Пусть прямая (A) движется вдоль кривой (L), оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Поверхность, которая при этом получается,называется цилиндрической.Рассмотрим уравнение

F(x, y) = 0. (1)

В плоскости (x,y) оно определяет линию (L). Если уравнению (1) удовлетворяют координаты точки М₁(х,y), то ему удовлетворяют и координаты любой точки М(x,y,z) прямой, параллельной осиz.

F(x, y) = 0 – уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси z.

Аналогично, F(x, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси y. F(y, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси x.

Например,y² = 2x– параболический цилиндр, с образующими, параллельными осиz.

z

y

x