Подготовка по физике

Рисунок 2.2. Граничные условия.

Пусть на экран с отверстием падает плоская волна (рис. 2.2). Постулат Френеля сводится к требованию заселения вторичными источниками только той части поверхности волнового фронта, которая не затенена экраном. Интегрирование выражения (2.1) следует выполнить по поверхности S, изображенной на рис. 2.2 пунктирной линией. При этом, там, где

поверхность S затенена экраном, амплитуда вторичных волн равна нулю. На открытых частях экрана поле первичной волны предполагается невозмущенным. Постулат Френеля означает, что

при интегрировании (2.1) комплексную амплитуду первичной волны следует заменить на , определяемую следующим образом:

Здесь – координаты в плоскости экрана. Обозначая через g комплексную амплитуду поля в точке наблюдения, можно записать

(2.2)

Постулат Френеля, как и принцип Гюйгенса–Френеля, носит приближенный характер. Его применение сильно упрощает дифракционную задачу и приводит к достаточно хорошим для практики результатам при условии, что размеры препятствий, на которых дифрагирует свет, а также расстояние между препятствием и точкой наблюдения велики по сравнению с длиной волны.

На основе принципа Гюйгенса-Френеля удается получить простое наглядное решение некоторых дифракционных задач (задачи с осевой симметрией, дифракция на одномерных препятствиях). В общем случае дифракционная задача сводится к вычислению интеграла (2.2).

4.5.Дифракция Френеля. Зоны Френеля: прямолинейное распространение света, дифракция на круглом отверстии и круглом экране. Дифракция Фраунгофера на

щели. Дифракционная решетка, разрешающая способность Рассмотрим дифракцию в сходящихся лучах, или дифракцию Френеля, осуществляемую в

том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.

1. Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 259). Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным т.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в

точке В амплитуда А=А1, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки Вбудет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то Аm<<A1 и результирующая амплитуда A=A1/2, т. е. такая же, как и при полностью открытом

волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

2. Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного

источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска (рис. 260). В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна

или

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол т (см. рис. 258) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

Дифракция на одной щели.

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны на щели, плоскость которой перпендикулярна направлению распространения волны.

Все вторичные источники в плоскости щели имеют одинаковую фазу. Поэтому при вычислении фазы излучения в точке наблюдения на экране за щелью остается учесть разность фаз, которая "набегает" от щели до экрана. Будем считать, что экран находится далеко от щели, что соответствует дифракции Фраунгофера. Подробнее дифракция Фраунгофера обсуждается ниже.

Если экран далеко, то можно считать, что точки на пунктирной прямой (рис. 31) одинаково удалены от точки наблюдения. Тогда для участка щели с координатой расстояние до точки

наблюдения равно плюс несущественная константа.

С изменением y-координаты линейно меняется расстояние до экрана, а значит - фаза поля, и угол поворота комплексной амплитуды на комплексной плоскости. Если мы мысленно разобьем

щель на тонкие полоски одинаковой ширины , то одинаковые по модулю комплексные амплитуды от соседних полосок в точке наблюдения будут развернуты друг относительно друга на равные

углы . Складывая много маленьких векторов, мы получим картину их выстраивания в дугу окружности, так как одинаковы амплитуды векторов и одинаковы углы доворота между соседними векторами (рис. 32).

Векторная сумма - вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего. Если суммируемые векторы образуют дугу окружности, то результирующий вектор - ее хорда.

Интенсивность, равна квадрату длины этой хорды и не изменяется при повороте комплексных амплитуд на комплексной плоскости. Следовательно, интенсивность не зависит от общего поворота векторов на рис. 32. Поэтому ориентацию начального вектора суммы можно выбрать произвольно. Обычно первый вектор направляют вдоль оси X.

Обсудим, что изменится в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении направления регистрации света.

Изменение угла между направлением наблюдения и нормалью к

плоскости	щели приводит к	изменению	угла	на	комплексной
плоскости	между векторами	комплексных	амплитуд		волн пришедших в точку наблюдения от

соседних участков щели: . При сложении векторов на комплексной плоскости это приводит к изменению радиуса дуги окружности при сохранении длины дуги. Дуга несколько

сворачивается или разворачивается (рис. 33).

Длина дуги равна сумме модулей комплексных амплитуд волн, пришедших от разных участков щели, поэтому она сохраняется

при изменении направления наблюдения .

При условии дуга окружности разворачивается в прямую линию, что соответствует максимуму дифракционной картины, а квадрат длины дуги определяет интенсивность света в максимуме.

При увеличении угла	наступает	момент, когда	амплитуда
и интенсивность дифрагированного		света равны	нулю. Это

происходит тогда, когда дуга (рис. 33) сворачивается в окружность, а длина хорды, соответственно, обращается в нуль. При этом фаза последнего суммируемого вектора отличается

от фазы первого вектора на , а разность хода от двух краев щели до точки наблюдения равна . Следовательно направление нулевой интенсивности дифрагированной волны можно

найти из равенства	, где	- полная ширина щели. Если	, то	.
Большая часть энергии при дифракции на одной щели распространяется в угол				. Это угол
между двумя направлениями на первый нуль интенсивности дифрагированной				волны в обе
стороны от центрального	максимума.	Полезно запомнить, что на	щели свет	дифрагирует

примерно в угол , так как для рассуждений "на пальцах" коэффициент 2 не имеет значения.

При дальнейшем увеличении угла дифракции интенсивность после нулевого значения снова возрастает, так как длина дуги становится больше длины окружности, а амплитуда света равна хорде, проведенной из начала в конец дуги. Максимум амплитуды достигается, когда дуга

сворачивается примерно в полторы окружности. Далее при увеличении угла амплитуда и интенсивность снова убывают и обращаются в ноль при условии, что дуга сворачивается в две

окружности:	и т.д.
Количественно	решение задачи можно найти, если выразить квадрат длины хорды

(интенсивность для текущего угла ) через квадрат длины дуги (интенсивность в максимуме) и угол, под которым дуга видна из центра окружности. Этот угол, как видно из рис. 33, равен

разности фаз излучения от краев щели, которая в свою очередь равна . Оставшаяся часть решения задачи чисто геометрическая. В результате, интенсивность дифрагированного

света выражается по формуле , где .

Решение можно найти и другим путем, складывая комплексные амплитуды аналитически, а не

геометрически. При этом надо складывать		комплексные числа с одинаковыми амплитудами
(пусть	) и с разными фазами	, где	- координата на щели текущего вторичного

источника. Тогда суммарная амплитуда может быть получена по формуле:

Интенсивность связана с комплексной амплитудой соотношением							. В окончательном
выражении	можно	избавиться	от	параметра	,	используя	вместо	него	-

интенсивность при .

Что изменяется в картине сложения амплитуд на комплексной плоскости при изменении других параметров задачи?

Если изменять ширину щели при сохранении направления наблюдения, то изменяется длина дуги окружности при сохранении ее радиуса. Значения амплитуды дифрагированной волны для двух

значений ширины щели приведены на рис. 34. Если изменять интенсивность падающей волны, то картина сложения амплитуд дифрагированных волн будет меняться так, как изображено на рис.

35.

Кризис классической физики 1. Тепловое излучение. Формула Планка.

Тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе, совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т. е. за счет его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше 0 К. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких — преимущественно длинные (инфракрасные).

Тепловое излучение — практически единственный вид излучения, который может быть равновесным.

Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плотность энергетической светимости (излучательности) тела — мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины:

где d — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от до +d . Единица спектральной плотности энергетической светимости (R ,T) — джоуль на метр в квадрате (Дж/м2).

Записанную формулу можно представить в виде функции длины волны:

Так как c= , то

Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур.

Формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

(200.2)

–34

где h= 6,62510 Дж*с — постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии 0:

2. Фотоэффект, теория фотоэффекта.

В 1905 г. Эйнштейн, опираясь на работы М. Планка по излучению (гл. 11), предложил совершенно новую теорию фотоэффекта. По Эйнштейну, световой поток представляет собой поток «атомов света», названных Эйнштейном фотонами; каждый фотон обладает энергией

E=hv (10.4)

и импульсом p=E/c

При этом отдельный фотон поглощается отдельным электроном, и электрон приобретает возможность покинуть металл, если его энергия превышает «работу выхода» из металла, характеризуемую разностью потенциалов UK. Применяя закон сохранения

(10.5)

Где — максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона. За счет взаимодействия с окружающими частицами электрон может вылететь с меньшей энергией, поэтому кривая (см. рис. 10.2) имеет пологий спад.

Из уравнения (10.5) следует, что существует минимальная частота света,, необходимая для фотоэффекта:

т. е. фотоэффект имеет «красную, границу» (этот термин подчеркивает невозможность возбуждения эффекта при частоте, меньшей νmin). Запирающее напряжение не должно зависеть от интенсивности света; наконец, выполняется уравнение (10.2), упомянутое выше.

Закон Столетова (10.1) означает, что число освободившихся электронов пропорционально числу падающих фотонов, имеющих определенную вероятность поглотиться в данном веществе; Коэффициент пропорциональности меньше единицы, так как не каждый электрон, поглотивший свет, обязательно покинет металл; он может до вылета отдать избыток энергии соседним частицам. Таким образом, фотоэффект получает полное объяснение, но с совершенно новой точки зрения.

Нужно отметить, что Эйнштейн не пользовался законом сохранения импульса. Вероятно, это связано с. неясностью механизма ' взаимодействия электрона с металлом до вылета из последнего. Но следует указать, что импульс фотона (ν≈5 x 10u Гц) равен:

Импульс вылетевшего электрона (при задерживающем потенциале U=1 В) достигает значения:

что на два-три порядка превышает импульс фотона.

Поэтому явления, доказывающие приложимость обоих законов сохранения к процессу взаимодействия двух микрочастиц, в теоретическом отношении очень важны (см. эффект Комптона, § 10.5).

Так как вероятность последовательного поглощения двух фотонов. одним и тем же электроном весьма мала, то в первом приближении с таким явлением можно не считаться.

Фототоки при внешнем фотоэффекте невелики. Для их увеличения можно использовать вторичную эмиссию электронов, ускоряя фотоэлектроны в электрическом поле между электродами, причем аноды должны быть сделаны из вещества, дающего значительную вторичную эмиссию электронов. При достаточной энергии первичных электронов число вторичных электронов может превышать число первичных. При повторном осуществлении этой операции на выходе из прибора (фотоумножителя) получается ток, усиленный в тысячи раз; обычные фотоэлементы с внешним фотоэффектом дают ток порядка 10-5 A/лм, а фотоумножитель — до 1 A/лм. При этом безынерционность процесса сохраняется (§ 15.4).

Другой способ увеличения фототока — помещение катода фотоэлемента в газовую среду, где возможно получение ударной ионизации и связанное с этим увеличение тока в десятки раз. Однако п этом случае утрачивается безынерционность, так что газополныефотоэлементы применяются только при медленно меняющихся световых потоках.

В заключение отметим, что детали фотоэффекта более сложны — часто наблюдаются некоторые осложняющие явления.

Внешний фотоэффект не является единственным. В полупроводниках и диэлектриках наблюдается «внутренний фотоэффект» — электроны под действием поглощенного света отрываются от атомов и приобретают возможность участвовать в создании тока, но не выходят из

полупроводника наружу. Квантовый характер этого (более сложного) процесса также выявляется вполне отчетливо.

Если частота света мала, то при его поглощении фотоэффект возникает, но вещество нагревается

—	растет его внутренняя энергия; конечно, нагревание вещества имеет место и при
фото: эффекте.
3.	Опыт Боте, фотоны. Корпускулярно-волновой дуализм.

Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной сторо-

ны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс p, а с другой — волновые характеристики — частота и длина волны . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

(213.1)

Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотношение (213.1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

(213.2)

Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из

микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выражена словами академика В. А. Фока (1898—1974): «Можно сказать, что для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна—частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в вида какой-нибудь модели неправильно.» Фотон — элементарная частица, которая всегда (в любой среде!) движется со скоростью света с и имеет

массу покоя, равную нулю. Следовательно, масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц, как электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля массой покоя и могут находиться в состоянии покоя.

Импульс фотона р получим, если в общей формуле (40.7) теории относительности положим массу покоя фотона = 0:

(205.2)

Из приведенных рассуждений следует, что фотон, как и любая другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения (205.1), (205.2) и (200.2) связывают корпускулярные характеристики фотона — массу, импульс и энергию — с волновойхарактеристикой света — его частотой .

Если фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Согласно квантовой теории, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.

Давление света на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1 с N фотонов:

Опыт Боте

Одним из экспериментов, подтверждающим квантование поглощения света, стал опыт Вальтера Боте, проведённый им в 1925 году. В этом опыте тонкая металлическая фольга облучалась рентгеновским излучением низкой интенсивности. При этом фольга сама становилась источником слабого вторичного излучения. Исходя из классических волновых представлений, это излучение должно распределяться в пространстве равномерно во всех направлениях. В этом случае два счётчика, находившиеся слева и справа от фольги, должны были фиксировать его одновременно. Однако результат опыта оказался прямо противоположным: излучение фиксировалось либо правым, либо левым счётчиком и никогда обоими одновременно. Следовательно, поглощение идёт отдельными квантами. Опыт, таким образом, подтвердил исходное положение фотонной теории излучения, и стал, тем самым, ещё одним экспериментальным доказательством квантовых свойств электромагнитного излучения

4.Атом. Элементарная теория атома водорода. Постулаты Бора, их экспериментальное подтверждение и недостатки

Постулаты Бора. В 1911 г. после проведения опытов по рассеянию альфа-частиц на атомах Дж.Резерфорд на основании анализа результатов эксперимента выдвинул и обосновал планетарную модель строения атома. Согласно этой модели атом состоит из тяжелого

положительно заряженного ядра очень малых размеров ( ), вокруг которого по

некоторым орбитам движутся электроны. Радиусы этих орбит составляют порядка м. Название "планетарная" у такой модели атома отражает очевидную аналогию атома с Солнечной системой, в которой планеты движутся по некоторым определенным орбитам вокруг массивного притягивающего центра - Солнца.

Однако, в отличие от планетарной модели Солнечной системы, планетарная модель атома оказывается внутренне противоречивой с точки зрения классической физики. И это, прежде всего, связано с наличием у электрона заряда.

Согласно законам классической электродинамики вращающийся вокруг ядра электрон, как и любая ускоренно движущаяся заряженная частица, будет излучать электромагнитные волны. Спектр такого излучения должен быть непрерывным, то есть содержать электромагнитные волны с любой длиной волны. Уже этот вывод противоречит линейчатости спектров излучения атомов, наблюдаемой на опыте.

Кроме того, непрерывное излучение уменьшает энергию электрона. Поэтому, за счет излучения радиус орбиты движущегося электрона обязан уменьшаться, и, в конце концов, электрон должен упасть на ядро. Иными словами, планетарная модель атома в классической физике оказывается неустойчивой.

В 1913 г. Н.Бор показал, что "спасти" планетарную модель атома можно, вводя в теорию атома идеи квантования и выделяя при этом некоторые орбиты, разрешенные для движения электрона. Очевидно, что в правилах квантования должна фигурировать квантовая постоянная Планка. И так как квант действия имеет размерность момента импульса, то Бор добавляет в теорию условие квантования момента импульса движущегося вокруг ядра электрона.

Простейшим атомом является атом водорода, содержащий один единственный электрон, движущийся по замкнутой орбите в кулоновском поле ядра. В первом приближении ядро атома можно считать неподвижным, а электронные орбиты - круговыми орбитами.

При этих предположениях Бор сформулировал основные положения теории атома водорода в виде трех постулатов.

1. Электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам,

каждой из которых можно приписать определенный номер . Такое движение

соответствует стационарному состоянию атома с неизменной полной энергией . Это означает, что движущийся по стационарной замкнутой орбите электрон, вопреки законам классической электродинамики, не излучает энергии.

2. Разрешенными стационарными орбитами являются только те, для которых угловой момент импульса электрона равен целому кратному величины постоянной Планка .

Поэтому для -ой стационарной орбиты выполняется условие квантования

.	(5.3)

3. Излучение или поглощение кванта излучения происходит при переходе атома из одного стационарного состояния в другое (рис. 5.4). При этом частота излучения атома определяется разностью энергий атома в двух стационарных состояниях, так что

	(5.4
.	)

Рис. 5.4.

Квантование энергии атома. Запишем условие вращения электрона массы по круговой орбите радиуса под действием кулоновской силы со стороны ядра и формулу Бора квантования момента импульса электрона

(5.5)

.

Решая эту систему уравнений, находим для радиусов допустимых (стационарных) орбит электрона в атоме водорода следующее выражение

(5.6)

.

Вводя в качестве универсальной константы теории боровский радиус

(5.7)

как радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода, запишем формулу (5.6) в виде

.	(5.8)

Важно отметить, что оценка размера атома водорода ( ), полученная из (5.7) и (5.8), совпадает с соответствующей оценкой из газокинетической теории.

Для скорости электрона на -ой стационарной орбите из (5.5) получаем значение

(5.9)

.

Отсюда находим, в частности, что на первой стационарной орбите электрон движется со скоростью м/с, совершая один полный оборот за время .

Полная энергия электрона, движущегося по -ой стационарной орбите, складывается из его кинетической энергии

(5.10)

и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром

(5.11)

.

Поэтому, с учетом (5.10) и (5.11), получаем важную формулу теории Бора - формулу квантования энергии электрона в атоме водорода

(5.12)

.

Полная энергия электрона в атоме оказалась отрицательной, так как, по определению, отрицательна потенциальная электростатическая энергия взаимодействия электрона с ядром. С ростом номера орбиты полная энергия электрона в атоме возрастает. При этом номер орбиты является квантовым числом в такой теории.

На рисунке 5.5 в соответствии с (5.12) изображен энергетический спектр электрона в атоме водорода. В области положительных энергий энергетический спектр свободного электрона является сплошным спектром. В области отрицательных значений полной энергии энергетический спектр связанного с атомом электрона становится дискретным. Для наглядности на рис. 5.5 каждому возможному значению энергии соответствует энергетический уровень. В стационарном состоянии электрон может находится на одном из этих дискретных энергетических уровней. Переход электрона с одного уровня на другой на этом рисунке может быть изображен соответствующей стрелкой, начало и конец которой указывают энергетические уровни, между которыми происходит переход.

Рис. 5.5.