Курсач по математике (2 семестр)

ВАРИАНТ 11

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. sin 5xe

cos5 x

dx ;

4.

dx

;

x3

x

2.

xarctgxdx ;

5.

3

xdx

;

1

x

2x 8 dx

3.

;

6. sin4

x cos5 xdx .

2

1 x x

II. Вычислить определенные интегралы:

e

dx

a

a

2

x

2

1.

;

4.

dx ;

x

1 ln

2

x

x

1

1

2. 2

dx

5

x 1

, ab 0

; 5.

dx

2

sin

2

x b

2

cos

2

x

0 a

1

x

3. 3

x arcsin

x

dx ;

0

3

III. Вычислить несобственные интегралы:

dx

2 / 5

dx

1. e2

;

3. 1/ 5

.

x ln3 x

x 25x2 1

2. 1

dx

;

3 x

0

1 x

Определить сходимость несобственных интегралов:

3x2 7x 1

2 ln sin x

4

4.

dx ;

5.

dx .

15

10

8

x

1

15x

x

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

2

y

2

6x 2 y 8 0,

x

1.

y x2

6x 10,

( x 3) ,

x 3

2. 2a cos3 , a 0

,

a

9

9

3. Вычислить длину дуги всей кривой

y

x

x 1 2

, которая

3

расположена в вертикальной полосе, левее прямой x 1.

ВАРИАНТ 12

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. tg

x 1 dx ;

4.

dx

;

3

5sin x

x 1

2.

x 1

dx ;

5.

8 x2 2xdx ;

x

2

4x 4 x

5

3.

arcsin

x

dx

;

6.

ex

2

dx .

x x

e2 x 4

II. Вычислить определенные интегралы:

1/ 2 arcsin

x dx ;

1.

4 cos3 3 xdx

;

4.

sin x

1/ 4

x 1 x

2

3

x

3

x2 1

2.

xarctg

dx ;

5.

dx

x

4

0

3

1

1

a

3. x2

a2 x2 dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

dx

dx

1. 1

;

3. 1

.

x 1 x2 x4

x2 4x 13

2. 8

x3dx

;

64 x

2

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

x2 x 3

arctgx

4.

dx ;

5.

x

dx .

5

x

20

x

10

1

1

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

2

4 y

2

1,

1 cos ,

1.

x

1

cos , 1 .

y 0,

2.

4 y.

1

x

3. Вычислить длину дуги той части кривой y 13 x2 2 3 , которая

расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми

y

8

и y 9 .

3

																				ВАРИАНТ 13
I. Вычислить неопределенные интегралы:
1.							x			dx ;										4.								x 1									dx ;
						2 x2																	2x3 3x2 x
2. x						3	ln xdx ;													5.	1						3	x 1						dx ;
																										3	x 1
3.							x 1									dx ;				6.								cos xdx
																																						.
						x2 2x 3																	sin2					x 6sin x 5
II. Вычислить определенные интегралы:
e				sin ln x dx																1							xdx
1.															;					4.															;
																								x		2	x 1
1								x												1
2								dx												1			15										8
2.															;					5. x							1 3x								dx.
						a		2	sin			2		x
0		1																		0
3. 2							dx				;
		3 cos x
3
III. Вычислить несобственные интегралы:
									dx																		dx
1. 1																			;	3. 2												.
			x 3x2 2x 1																			x2 x 1
1							xdx
2.													;
							2
0						x		5x
Определить сходимость несобственных интегралов:
		2																							dx
						cos 1/ x2									dx					1
4.																		;		5.										.
									x		3												x		4		1
0																				0
IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
																															2 / 1 cos ,
						y x,
1.																				x 0; .					2.						1/ sin cos , 0 ,
								x			sin2 x
						y
																																				.
																																	2
3. Вычислить длину дуги той части кривой y 2																																							x3		1	x, которая
																																				3					2
						расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми
					x 1 è						x 4 .

ВАРИАНТ 14

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

dx

4.

x2 3

;

dx ;

x 4 ln2 x

x3 2x2 3x

2. e x dx ;

5.

1 x2 dx ;

3.

x 3

dx ;

6.

dx

.

3 2x x2

cos2 x 2sin x cos x 2sin2 x

II. Вычислить определенные интегралы:

1

x3dx

1

dx

1. 0

;

4. 2

;

x8 1

x 2x2 1

2. 2

cos xdx

3

x2 2x

;

5.

dx

2

0 6 5sin x sin

x

2

x

e

1 ln x 2 dx ;

3.

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

dx

e2

dx

1.

3. 1

;

.

x2 6x 12

x ln x

6

dx

2.

;

3 4 x

2

2

Определить сходимость несобственных интегралов:

xdx

4 sin xdx

4. 0

;

5. 0 x x .

ex 1

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

x

y ex sin x,

2. sin3 .

1. 2xy 2sin x x3 ,

0,

3

x

1.

x

3.Вычислить длину дуги той части кривой y 56 5 x6 165 5 x4 , которая

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x 1 è x 32 .

																												ВАРИАНТ 15
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
					e2 xdx																		sin3 2x
1.													;								4. cos2 2x dx ;
			e4 x						3
2. x 1 e3xdx ;																					5.							dx			;
																							x	2				4 x		2
3.									x				dx ;								6.					x2 9x 10								dx	.
							x				3											x						2 x		2	4x 6
II. Вычислить определенные интегралы:
	3										dx										3
1.																				;	4. xarctgxdx ;
					cos					2	x sin							4	x
																					1
	6
	1/ 4						arcsin								xdx						4					xdx
2.																				;	5.
										x 1 x														2 4x
	1/ 8																				1
	5									dx
3.																		;
					x			2		1 x					2
	3
III. Вычислить несобственные интегралы:
	4									2	dx																	dx
1.									x							;					3.
								16 x						2													2	5x 11
	4																					x

dx

2.1 x2 1 x ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

1	xndx				x3 x2 1
4.			, n N ;	5.						dx .
	1 x	4			x	4	2x	2	1
0				1

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y x2 4x 5, x 0,

1.y const (прямая проходит через точку минимума функции

y x2 4x 5).

2 sin 2 ,

2.2 cos ( 2 sin 2 , 2 cos )

3.Вычислить длину дуги той части кривой, y 14 x4 18 x 2 , которая расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми

x1 è x 2 .

ВАРИАНТ 16

I. Вычислить неопределенные интегралы:
1.		x 1 dx							;							4.									dx					;
		2																					x2 9						5
		3 x 1
2. tg5 xdx ;																5.									xdx								;
																						8 2x x									2
				2dx
3.															;	6.	x ln x 1 dx .
		x x 1							x		2
													1
II. Вычислить определенные интегралы:
ln 5 ex			ex		2												4										dx										, ab 0	;
1.		e	x							dx ;						4.
					3																	2	cos			2	x				2		s in		2	x
0																	0 a											b
																	3								dx
2. ex cos2 xdx ;																5.																.
																						5 4x x								2
0																	2
4		xdx
3.							;
		x 5
1
III. Вычислить несобственные интегралы:
5		5 x dx ;																								dx
1.																3.
																						x		2	8x 25
0		5 x
		1 2x dx
2. 1		x 1 x 2										;

Определить сходимость несобственных интегралов:

			sin 1/ x
	4. x sin xdx ;	5.		dx .
			2 x x
	0	1

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y x4 2x3 x2 3

1.и прямой, проходящей через точки минимума функции

y x4 2x3 x2 3.

	1
2. x	3 cos t,
y 2sin t.
3. Вычислить длину дуги всей кривой y x		t 1dt, которая
	1

расположена в вертикальной полосе, левее прямой x 4 .

ограниченной кривыми:

																	ВАРИАНТ 17
I. Вычислить неопределенные интегралы:
1. cos ln x dx ;																	4. sin			4	x	dx ;
																					3
						3x 2 dx
2.																	5.		2xdx
																;							;
				x 1 x2 8															3 2x 1
3.						x2 dx								;			6.		e	x	1dx .
						x2 1 5
II. Вычислить определенные интегралы:
2					ex												9
1.										dx ;							4. x 3 1 xdx ;
			e		x			1
1																	1
		2
2. 2						1 x dx ;											5. 2			dx				.
		0				1 x											0 5 2cos x
3. e xln x 2 dx ;
1
III. Вычислить несобственные интегралы:
								xdx
1.															;		3. e 2 x cos xdx .
							4x				2	1		3
		0															0

2. 1	dx						;
	x 1 x
0
Определить сходимость несобственных интегралов:
1				3	2					3		2
	ln 1 x
4.								dx ;	5.	x		x 1	dx .
	e	x	1							3
0									1	x	3x 1

IV.Вычислить площадь области,

y x2 2x 2,

1.x 0

и касательной к кривой y x2 2x 2 в точке 3;5 .

x 2 3cost,

2.y 3 2sin t.

3.Вычислить длину дуги всей кривой: x cos 2t,

y sin 2t.

ВАРИАНТ 18

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.			x3				x 1										dx ;						4.				xdx		;
			x				x		2																	x 2
											1
2.												dx										;	5.				dx				;
			x				x			2		2x 2													3		2sin x
3. x2e3xdx ;																							6.				2 x dx							.
																											1 2x x						2
II. Вычислить определенные интегралы:
1. ln 3 ex								xex 1 dx ;															4. 5				dx						;
	0					e				3													0 2x 3x 1
2. 1								dx							;								5. 1 x3e2 xdx.
								2						2
	1																						0
				1 x
	2									dx
3.																		;
				5 3cos x
	0
III. Вычислить несобственные интегралы:
												dx															xdx
1.																					;		3.									.
							2		4x 24																		x2			5	3
	x																						2
2.	2 / 3										dx								;
											2
	1/ 3 x									9x								1

Определить сходимость несобственных интегралов:

	dx			dx
4.		;	5.			.
	3			1 x	x
0	x x		0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y x2 2x

1.и касательными, проведенными к кривой в точках 0,0 и 3; 3 .

		3	t,	x a cost,
2.	x a cos
				и
	y asin3 t			y asin t.

		t	cost sin t ,
3. Вычислить длину дуги кривой:	x e			0	t .
	y et cost sin t .

ВАРИАНТ 19

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

ln3 x 1

dx ;

4.

2x 4 dx

;

x 1

2

1 x x

2.

dx

;

5.

x5 1

dx ;

2 sin x

x3

x2

3. x

2

x 1 e

x

dx ;

6.

x2 1

dx .

x2

II. Вычислить определенные интегралы:

1. 6

dx

;

4. 1 arcsin xdx

;

1 1 3x

2

0

x 1

2. 2

dx

;

5. 2

dx

.

2 3x

3x

2

0 5 cos x

1

3. 1

3 2x x2 dx ;

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

1 2x

dx

2

dx

1.

;

3.

.

x

2

1

x

2 3x 2x

2

1

3 / 4

2. 2

x

x 1

dx;

1

2 x

Определить сходимость несобственных интегралов:

2

1

dx

3 sin x dx

4. ctg

x

2 ;

5.

3

x

.

0

x 1

1

IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1

y

,

x

2

x

x 4,

y

0.

2

,

2. Вычислить площадь петли кривой:

x 3t

y t t3.

cost t sin t ,

3. Вычислить длину дуги кривой:

x

2

t

.

2

sin t t cost .

y

2

2

																											ВАРИАНТ 20
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
1.											dx						;				4.					x4dx		;
				x 1									x2 1												x4 1
2.	sin6 xdx ;																				5.					x2dx								;
																										9 x2						5
3.						xdx															6.						dx
											;																								.
				sin2 x																						ex 3 e x
II. Вычислить определенные интегралы:
1. 3														dx						;	4. 1					x arcsin xdx ;
			3					2sin				2	x		3cos			2	x
																						2
	4																				2
	3					7x 1 dx															4					sin 2xdx
2.																;					5.												.
				6x				2	x 1																	1 sin				2
	2																														x
																					6
3. 3 / 2								2x x2 dx ;
	1/ 2
III. Вычислить несобственные интегралы:
		2					x		3	dx											1					3x2 2					dx
1.													;								3.														.
							4 x					2														3	x		2
		0																			0

dx

2.x2 6x 17 ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

sin 1/ x						1	xdx
4.					dx ;	5.			.
	4 x	2	x				1 x	6
1						0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

				a3		a 0			x
	y		2		2
1.		a		x				2.
									y
	и асимптотой

3. Вычислить длину дуги кривой:

acost,

bsin t cos2 t a 0;b 0 .

	t	sin t,
x e			0	t		.
	t	cost.			2
y e