Курсач по математике (2 семестр)

ВАРИАНТ 21

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1. x2 ln xdx ;

4.

2x 8 dx

;

2

5x3 2 dx

1 x x

2.

5.

dx

;

;

x3 5x2 4x

x4

x2 1

3.

1 3 2x

dx ;

6.

dx

.

2x

sin3 x cos3 x

II. Вычислить определенные интегралы:

1. 4 x2 3 dx ; 2.

1

x2dx

; 3.

3 tg4 xdx ;

4. 4

dx

;

6

2

x

3

x 2

0 1 x

0 1 3sin

6

5. e ln2 xdx.

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

sin2 x

sin x

1. 0

x2

dx (если известно, что 0

x

dx

2

);

e

dx

dx

2.

;

3.

.

x

3

x

e

x

1

ln x

0 e

Определить сходимость несобственных интегралов:

2	dx		1	x 1dx
4. 2		;	5. 0		.
	x8 1			3 ex e x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y x x 1 x 2 ,

1.y 0.

y 2

2.x t sin t, (и двумя первыми арками циклоиды)

y 1 cost.

		2	2 sin t 2t cost,
3. Вычислить длину дуги кривой:	x t			t .
			0
	y 2		t2 cost 2t sin t.

ВАРИАНТ 22

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.						1		x							4.				x3 1						dx ;
						1 x dx ;
																			x3 x2
2.						dx							;		5.	e x sin 3xdx ;
						5 4x x						2
3.						dx		;							6.	sin						5	2x		cos					4	2xdx .
				xln p x
II. Вычислить определенные интегралы:
	2					x3 4x									2			3
1.														dx ;	4. sh						xdx ;
										2	1
	0 x 1 x														0
	3					xdx									1						ex dx
2.								;							5. 0												.
				cos2 x															ex e x
	6
3.	ln 8					dx				;
						x
	ln 3					e 1
III. Вычислить несобственные интегралы:
						dx									3a						2xdx
1.										;					3.														;
					x 1				2									x		2		a		2		2 / 3
	2														0

dx

2.x2 4x 7 ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

ln cos 1/ x										5		x2 4 8				x32	x10 1
4.						dx, R ;				5.								dx .
												4	x	36		15	1
1			x							1					x
IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
										x at bsin t,
1. y		2	x	2	x		4	.	2.									0 b a
										y a bcost
										и касательной, к ней в низших точках.

3. Вычислить длину дуги кривой:	x 2cost cos 2t,			t		.
			2		2
	y 2sin t sin 2t.

ВАРИАНТ 23

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

dx

;

4.

dx

;

x 1

x 6

x3 8

2.

sin 2xdx

;

5.

dx

;

1 sin2 x

sin4 x

3.

xcos xdx

;

6.

dx

.

sin3 x

2 x 1 x 3

II. Вычислить определенные интегралы:

1. 2 2x 1 dx ;

4. 4

x2 cos 2xdx ;

0 2x 1

0

2

e1/ xdx

29

3 x 2 2 dx

2.

x

2

;

5.

.

3 3 x

2

2

1

3

3. 2

dx

;

x

2

2x 3

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

x

dx

2

dx

1. e

;

3.

.

x

2

0

1 x 3x

2x 1

2dx

2.1 xln p x ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

		x2 2								1	x2dx
4.						dx ;				5.				.
		3	x	2	1						1	x	4
1 x										0
IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1.		y2	x x 1				2	.	2.	x asin 2t,
										y bsin t, a 0,b 0,t [0;2 ].
3. Вычислить длину дуги кривой:															2e , 0 3 .

																												ВАРИАНТ 24
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
1.							x3dx								;							4.					dx				;
						2																			x		2
							x		3																		x		1
2.							x9dx									;						5.				dx							;
						5							2											1 2sin						2 x
					1 x																													dx
									x							dx
3.			ln 1																		;	6.														.
									x2																	x2 4x 4 x2 4x 5
II. Вычислить определенные интегралы:
								dx														1					dx
1. 0																	;					4. 0												;
		3 2cos x																					4x2				4x 5
	2			3				x2						4								4			sin x cos x
2.																			dx ;			5.													dx.
									x		2															3 sin 2x
	2																					0
3. 1							2x x2 dx ;
	0
III. Вычислить несобственные интегралы:
	4							2		dx												2					dx
1.								x										;				3.										;
							16 x								2											x	2			1
	0																					1					x
							arctgx
2.																				dx;
							2 3 / 2
								x
	0					1
		Определить сходимость несобственных интегралов:
	1							dx
4.																			;			5.					xe xdx .
					tg			2								2
	0							x x																	0

IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: y2 x2 x3 .

				t		3		t		2	,
2.	Вычислить площадь петли кривой:	x
				3
					2
		y t
3.	Вычислить длину дуги кривой:		1				, 0					.
			cos
												3

ВАРИАНТ 25

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1. x2 cos xdx ;										4.							dx						;
											x			2	16					9 x	2
2.					dx			;		5. cos					5	xdx ;
	x3				5x2
3. x			2	e		x3	dx ;			6.							dx					.
												x 10x					2
																				6x 1
II. Вычислить определенные интегралы:
1		x 1 dx							;	2a			2ax x2 dx ;
1.		x			3		2			4.
2						x				0
a			2			a x							x sin xdx
2. x						a x			dx, (a 0) ;	5.
													1 cos					2	x
0										0

3xdx

3.sin2 x ;

4

III. Вычислить несобственные интегралы:

								1		dx
	1.	xne xdx, n N ;							3.			.
										2 x	1 x
		0						0
		1			dx
	2.								;
			20	x	2		1 x	2
		1

Определить сходимость несобственных интегралов:

arctgxdx			1	ln 1 5 x3
4.		, R ;	5.					dx .
				e	x2	1
0	x		0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y ln x 2 ,

1.y 2ln x,

y 0.

x 4cos3 t,

2.y 8sin3 t,

y 3 3

3.Вычислить длину дуги той части кривой sin1 , которая

расположена в прямом угле, биссектрисой которого является ось ординат.

ВАРИАНТ 26

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

dx

;

4.

2x5 2x 1

dx ;

4 x2 3

1 x4

2.

x2 sin 2xdx ;

5.

xdx

;

3 2

2x 10

x

x

3.

dx ;

6.

dx

.

1 x x2

5 3sin2 x

II. Вычислить определенные интегралы:

1. 4

dx

;

4. 4

x2 3

dx

;

0 1

x

3

x 2

2.

2

x2 ln xdx ;

5. 3 arctg

xdx.

1

1

3.

4 ln 1 tgx dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

dx

xdx

1. 1

;

3. 2

.

1 x x

x3 1

2. 4 ctgxdx;

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

1		dx				ln xdx
4.			;	5.			.
	5	10			x	2
0		1 x		1		x 1

IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y 2x2 ,

y x3 .3

x at t2 , 2. Вычислить площадь петли кривой:

y at2 t3 , a 0. 3. Вычислить длину дуги кривой: a cos3 3 , a 0.

																ВАРИАНТ 27
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
1.				x2 9			dx ;				4.			x4 x3 2x2 x 2									dx ;
				x4												x4 5x2 4
2.	x2 cos 2xdx ;										5.					xdx				;
																3	2
				2x 8										3x x
3.								dx ;			6.					dx			.
				1 x x2										1 sin2 x
II. Вычислить определенные интегралы:
9				xdx							1					x2 3x
1.						;					4.											dx ;
				x 1								x 1 x						2			1
4											0
2. 1 arccos xdx ;											5. 2	x ln xdx.
	0										1
3.	ln 2			ex 1dx ;
	0
III. Вычислить несобственные интегралы:
						dx					1		x		3	arcsin		x
1.										;	3.										dx.
				x 1			x	2								2
	2								2		0					1 x

2. 2 tgxdx;

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

	sin2 3x						2	x 2			dx
4.					dx ;		5.						.
	3	x	4	2				x	3	3x	2	4
0							1
IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
						2
		y x x					,
		y		x	1 x,

2.Вычислить площадь петли кривой: x t2 a2 ,

y t3 a2t, a 0.

3.Вычислить длину дуги кривой: asin4 4 , a 0.

								ВАРИАНТ 28
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
1.		dx			4.			5dx
			;							;
		9 x2 3					x4 3x2 4
2.	xarctg2 xdx ;				5.		xdx		;
							3
						1		x
		3x 4			6.				dx
3.				dx ;							.
		x2 6x 13					2sin2 x sin 2x cos2 x

II. Вычислить определенные интегралы:

1. 4				dx		;
				2x
	0 1				1
2.	2			dx			;
	0 1 sin x cos x
3.	1/ 2 arcsin xdx ;
	0

3dx

4.2 x2 2x 8 ;

5.1 xe xdx.

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

			x2		12			dx				14		dx
1.								2	;	3.					.
												2
					2								x	2x 1
				x		1					1
	0

ln x

2.0 1 x2 dx;

Определить сходимость несобственных интегралов:

2		x				ln 1 x	5
4.				dx ;	5.				dx .
	e	sin x				x	x
0		1			0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

		x2
	y		,			2 a2	1 2cos 2 ,
1.		2		2.
		x2	4x 16			a, a.
	y
			6
							a cos5
3. Вычислить длину дуги кривой:								, a 0.
							5

																																			ВАРИАНТ 29
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
1.							x2dx							;											4.			x3 8x 2									dx ;
							9 x2																						x4 4x2
2.	xctg2 xdx ;																								5.							xdx			;
																										1					4
									4x 1																									x
3.																					dx ;				6.									dx				.
								2 x x2																					6 3cos2 x
II. Вычислить определенные интегралы:
2									dx																1								xdx
1. 3																;									4. 1											;
		x							x2 1																			x2 x 1
2.	3 xarctg												x					dx ;							5. 1									dx					.
																																	2
	1											4													0						x			2x 2
3. 2									dx							;
	0 2 sin x
III. Вычислить несобственные интегралы:
1.	1											x4dx												;	3. 2 ln sin x dx.
										2											x	2
	1							x											1							0
												1
							xln xdx
2.																		;
							2 2
	0								x
							1
	Определить сходимость несобственных интегралов:
																										1									dx
					1 arcsin 1/ x
4.																							dx ; 5.																		.
											1							x		3												3 x ex e x
	1																									0
IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
																																			3asin ,
																2			y 1 ,																2asin2
	1.																								2.																	,
								x y
								x 0.																															2
																																			2asin				2			, a 0
																																							2
	3. Вычислить длину дуги всей кривой y 4																																										x2	, расположенной в
																																											2

верхней полуплоскости.

																														ВАРИАНТ 30
I.	Вычислить неопределенные интегралы:
1.							16 x2					dx ;											4.				x3 x 1								dx ;
							x4																				x4 x2
2.	xtg2 xdx ;																						5.						xdx						;
																													3			2
							5x 3																				4x x
3.																		dx ;					6.						tgxdx											.
							2x2 4x 5																				sin2		x 3cos2 x
II. Вычислить определенные интегралы:
4							dx																2		2x 1
1. 0																							4. 1
													;																	dx ;
		1 2sin2 x																							x3 x
																							1		ln 1 x dx
2. xsin xdx ;																							5.														.
																											1 x				2
	0																						0
3.	sh2						dx					;
							1 x		2
	sh1
III. Вычислить несобственные интегралы:
	arctg 1 x dx
1.																					;		3. xln sin x dx.
							3 1 x							4
	0																						0
	1								dx
2.																					;
								2		2x									1
	2 x 3x
		Определить сходимость несобственных интегралов:
												x3							3		dx								1					dx
4.
				arctg																		2 ;	5. sin																.
															2						x
	0								1			x											0				cos x										x
IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
													2 x										2	2sin 2 ,
	1.																					2.	1,
							y 2x e ,

y x3ex . 1.

3.Вычислить длину дуги всей кривой y2 8x, расположенной в вертикальной полосе, левее прямой x 2 .