ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАДАЧА 18…………...………................................................................	3
ЗАДАЧА 22……………………………………………………………...	9
ЗАДАЧА 23…………………………………………………………..….	16
ЗАДАЧА 39……………………………………………..……………….	24
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………..………...	28

ЗАДАЧА 18

Для консольного бруса переменного сечения (рисунок 18) построить эпюры нормальной силы, наибольших нормальных напряжений и продольных перемещений. Определить из условия прочности допустимое значение нагрузки Р и при найденном значении нагрузки вычислить наибольшее перемещение, а также удлинение участка а. Принять F = А = 2 см², l = 20 см, k = 2, остальные данные взять из таблицы 18 и таблицы 41.

Рисунок 18

Таблица 18

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
	1	2			3				4
	А1/А	b/1	P1/P	c/1		P2/P	Материал	№ схемы		a/l	P3/P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0	1,2 1,7 1,5 2,0 1,3 1,4 1,8 1,6 1,9 2,0	1,0 1,5 2,0 2,5 1,0 1,5 1,5 1,0 1,5 2,0	1 2 -2 1 1 -1 -1 -2 -1 2	1,5 1,5 1,0 1,0 2,5 1,5 2,0 2,0 1,0 1,5		-4 3 4 -3 3 -3 -3 3 -4 -4	Сталь 20 Ст. 4 Сталь 45 Сталь 20ХН Алюм. спл. АЛ-4 Сталь 40Х Алюм. спл. АК-4 Титан. спл. ВТ-3 Магн. спл. МА-5 Латунь Л-68	I II III IV V I II III IV V		2,5 2,0 2,5 2,0 1,5 2,0 2,5 1,5 2,0 1,0	2,5 1,5 -1,0 -2,0 -1,5 2,0 1,0 -2,5 -1,0 1,0

Таблица 41 – Механические характеристики материалов

Пластичные материалы
Материал	Марка	Т, МПа		В, МПа			Т, МПа		Е  10^-5, МПа			
Сталь углеродистая	Ст. 3 Ст. 4 Ст. 5 20 40 45	230 240 280 220 320 320		380  470 430  550 520  650 400  500 650 600  750			160 170 190 160 220 220		2,0			0,28
Сталь легированная	20ХН 40Х 40ХН 12ХН3А	600 800 750 700		800 1000 900 950			350 440 390 400		2,1			0,30
Алюминиевые сплавы	АЛ-4 АК-4 АД-16	200 310 330		260 400 470			120 180 200		0,72			0,30
Титановый сплав	ВТ-3	950		1100			500		1,2			0,26
Медный сплав	Л-68	330		450			200		1,2			0,36
Магниевый сплав	МА-5	220			300			160		0,72			0,27
Хрупкие материалы (чугун)
Марка	ВР, МПа		ВС, МПа			Е  10^-5, МПа					
СЧ 12-28 СЧ 15-32 СЧ 18-36 СЧ 24-44 СЧ 35-56	120 150 180 240 350		500 600 670 800 900			1,2					0,25

Дано: А₁/А = 1,2; b/l = 1,5; P₁/P = -1; c/1 = 1,5; P₂/P = -4; материал: латунь Л-68; схема II; a/l = 2; P₃/P = 1,5; А = 2 см²; l = 20 см; k = 2.

Требуется:

1. Построить эпюры N, , .

2. Определить Р.

3. Определить _max и l_а.

Решение

1. Изобразим расчетную схему бруса в соответствии с заданием и разобьем его на участки I, II, III, IV.

2. Применив метод сечений, определим продольные силы в сечениях каждого участка и построим их эпюру (ЭN):

участок I. N₁ = P;

участок II. N₂ = N₁ = P;

участок III. N₃ = P + 4P = 3P;

участок IV. N₄ = P + 4P  1,5P = 1,5P.

3. Найдем нормальные напряжения в сечениях бруса по участкам:

;

;

;

.

Строим эпюру напряжений (Э), в долях .

4. Определим удлинения (укорочения) участков бруса :

;

;

_;

.

5. Определение перемещений начинаем от защемленного конца бруса.

Перемещение сечения «К»: _К = 0.

Перемещение сечения «Е»: .

Перемещение сечения «Д»: .

Перемещение сечения «С»: .

Перемещение свободного конца бруса (сечение «В»): .

По полученным результатам строим эпюру перемещений (Э) в долях .

6. Определение допускаемой нагрузки Р из условия прочности _max  , где (из эпюры )     .

Для латуни Л-68 предел текучести _Т = 330 МПа: МПа.

кН.

Принимаем Р = 11 кН.

7. При найденном значении нагрузки определим укорочение участка «а».

Для латуни Л-68: Е = 1,2  10⁵ МПа.

мм  знак «» указывает на укорочение.

Максимальное перемещение:

или мм.

Ответ: Р = 11 кН; _max = 0,527 мм; мм.

ЗАДАЧА 22

К стальному брусу переменного сечения (рисунок 22) приложены скручивающие моменты М₁ и М₂. Определить размера бруса исходя из того, что должны удовлетворяться условия прочности и жесткости. При найденных размерах вычислите (в градусах) максимальный угол поворота поперечных сечений.

Принять: l = 20 см, М = 500 Нм,  = 80 МПа,  = 4,0 град/м, G = 8  10⁴ МПа. Остальные значения взять из таблицы 22.

Рисунок 22

Таблица 22

Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
	1	2	3				4
	e/l	a/b	№ схемы	c/l	M1/M	d/D		M2/M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0	4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,0	1,00 2,00 1,50 1,50 1,75 1,00 2,00 1,50 1,75 2,00	I II I II I II I II I II	1,5 2,0 2,0 2,0 2,5 3,0 2,5 2,5 2,0 2,0	1 -1 2 1 -2 -1 2 -1 2 1	0,65 0,85 0,70 0,80 0,75 0,80 0,70 0,65 0,75 0,85		-3,0 -2,5 3,0 -1,5 -2,7 2,8 -3,2 2,6 3,4 -2,2

Дано: e/l = 4; a/b = 2; схема II; c/l = 2; M₁/M = 1; d/D = 0,85; M₂/M = -2,5; l = 20 см; М = 500 Нм;  = 80 МПа;  = 4,0 град/м; G = 8  10⁴ МПа.

Требуется:

1. Определить размеры сечений бруса

удовлетворяющих прочности жесткости.

2. Определить _max.

Решение

1. Изобразим расчетную схему бруса в соответствии с заданием и выразим размеры сечений через параметр D: d = 0,85D; а = D; .

2. Разобьем брус на участки I, II, III и, применив метод сечений, определим крутящие моменты T в сечениях каждого участка:

участок I. Т₁ = М;

участок II. Т₂ = М + 2,5М = 1,5 М;

участок III. Т₃ = Т₂ = 1,5М.

Строим эпюру крутящихся моментов (ЭТ).

3. 

4. Определим геометрические характеристики прочности и жесткости сечений.

5. 3.1) Кольцевое сечение:

6. W_k =  1- =  1  (0,85)⁴ = 0,094D³;

7. I_k =  1- =  1  (0,85)⁴ = 0,047D⁴.

8. 3.2) Круглое сплошное сечение:

9. ;

10. .

11. 3.3) Прямоугольное сечение:

12. , при и  = 0,493 (из таблицы);

13. ;

14. , где l = 0,457 (из таблицы);

15. .

16. Наибольшие касательные напряжения в сечениях бруса :

17. участок I. ;

18. участок II. ;

19. участок III. .

20. Строим эпюру касательных напряжений (Э) в долях .

21. Определение размеров сечений из условия прочности _max  , где (из эпюры )  , откуда мм.

22. Принимаем D = 54 мм, соответственно d = 0,85  54 = 46 мм.

23. а = D = 54 мм, b = 0,5D = 27 мм.

24. Относительные углы закручивания по участкам :

25. ;

26. ;

27. .

28. Размеры сечений из условия жесткости _max  , где (из эпюры )  , откуда параметр D определяется: , где  = 4 град/м или рад/м = = 0,698  10^-4 рад/мм.

29. После подстановки числовых значений получим:

30. мм.

31. Принимаем D = 48 мм. Соответственно, а = D = 48 мм, b = 0,5а = 24 мм, d = = 0,85  48 = 40 мм.

32. Размеры, полученные из условия жесткости меньше размеров, полученных в пункте 5. Следовательно, эти размеры условию прочности не удовлетворяют.

33. Окончательно принимаем размеры из условия прочности:

34. D = 54 мм, а = 54 мм, b = 27 мм, d= 46 мм.

35. Относительные углы поворота сечений  =:

36. _b-a = = 52,45 _;

37. _c-b = = 60 _;

38. _d-c =  =  42,55 _.

39. Определение углов поворота сечений начинаем от защемленного конца бруса:

40. угол поворота сечения «а»: _а = 0;

41. угол поворота сечения «b»: _b = _а + _b-а = 0 + = ;

42. угол поворота сечения «с»: _с = _b + _с-b = ;

43. угол поворота сечения «d»: _d = _c + _d-c =

44. По полученным результатам строим эпюру относительных углов поворота сечения (Э) в долях .

45. Наибольший угол поворота сечения:

46. _max = _с = или _max =рад,

47. или _max =.

48. Ответ: размеры сечений бруса удовлетворяющих прочности и жесткости: D = 54 мм, а = 54 мм, b = 27 мм, d = 46 мм; _max.

49. Задача 23

50. Для стальной балки, изображенной на рисунке 23а, требуется:

1. Подобрать из расчета на прочность по наибольшим напряжениям размеры сечения трех типов:

51. тип I – двутавр либо сечение, составленное из двух швеллеров или двутавров (рисунок 23б);

52. тип II  прямоугольное сечение с отношением высоты к основанию h/b равным отношению для сечения I типа;

53. тип III  круглое (сплошное) сечение.

2. Вычертить найденные сечения в одном масштабе и сравнить веса соответствующих балок (подсчитать отношение площадей сечений).

3. В сечении балки с наибольшей поперечной силой для каждого типа сечения вычислить наибольшие касательные напряжения.

54. Принять: q = 50 кН/м, l = 40 см, материал СТ. 5, k = 1,6, остальные данные взять из таблиц 23 и 41.

55. Рисунок 23

58. Таблица 23

    Цифра варианта	Порядковый номер цифры в варианте
    	1	2	3	4
    	l1/l	l2/l	P2/ql	Тип сечения	P1/ql
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 0	1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0	2,0 2,5 1,5 1,0 1,0 1,5 2,0 2,5 1,0 2,0	4 3 2 -2 -3 -4 2 -2 -3 3	I II III IV I II III IV I II	1 -1 -2 2 3 -3 4 -4 2 -2

59. Дано: l₁/l =1; l₂/l = 2; P₂/ql =3; сечение II; P₁/ql = -1; q = 50 кН/м; l = 40 см; материал СТ. 5; k = 1,6.

60. Требуется:

1. Из расчета на прочность подобрать сечения трех типов  сдвоенный швеллер, прямоу-гольник, круг.

2. Сравнить веса полученных балок.

3. Определить _max.

134. Решение

1. Изобразим расчетную схему балки в соответствии с условием задачи и определим опорные реакции:

135. R_A  4l + ql  3l + 3ql  1,5l  3ql  2l = 0;

136. R_B  4l + 3ql  (l + 1,5l) + 3ql  2l  ql² = 0 

137. ;

138. .

139. Проверка:

140. ; 0,375ql  ql  3ql + 3ql + 0,625ql = (4  4)  ql = 0.

2. Разобьем балку на участки I, II, III и, применив метод сечений, определим поперечные силы Q_у и изгибающие моменты М_х в сечениях каждого участка. По полученным результатам строим эпюры.

141. 2.1) Построению эпюры Q_у.

142. Участок I. Сечение 1  1 (0  Z₁  l).

143. Q_y = 0,375ql = const.

144. Эпюра параллельна оси.

145. Участок II. Сечение 2  2 (2l  Z₂  3l).

146. Q_y = -0,625ql + qZ₂  3ql = qZ₂  3,625ql  уравнение прямой.

147. Поперечная сила на участке изменяется по линейному закону.

148. При Z₂ = 3l: Q_y = 3ql  3,625ql = -0,625ql.

149. При Z₂ = 2l: Q_y = 2ql  3,625ql = -1,625ql.

150. Участок III. Сечение 3  3 (0  Z₃  2l).

151. Q_y = 0,625ql + qZ₃  уравнение прямой.

152. Поперечная сила изменяется по линейному закону.

153. При Z₃ = 2l: Q_y = -0,625ql + 2ql = 1,375ql.

154. При Z₃ = 0: Q_y = -0,625ql.

155. Поперечная сила на участке меняет знак с «+» на «», следовательно, на эпюре М_х ожидается точка «max».

156. Определим Z₃, при котором Q_y = 0, т.е., -0,625ql + qZ₃ = 0 

157. 2.2) Построение эпюры М_х.

158. Сечение 1  1 (0  Z  l).

159. 

160. М_х = 0,375ql  Z  уравнение прямой.

161. Изгибающий момент на участке изменяется по линейному закону.

162. При Z₁ = 0: М_х = 0; при Z₁ = l: М_х = 0,375ql².

163. Сечение 2  2 (2l  Z₂  3l).

164. или после преобразований:

165. Изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы.

166. При Z₂ = 3l: .

167. При Z₂ = 2l: .

168. Сечение 3  3 (0  Z₃  2l).

169.  уравнение параболы.

170. При Z₃ = 2l:

171. При Z₃ = 0: М_х = 0.

172. При Z₃ = 0,625l  точка «max».

173. 

174. Эпюра М_х построена на растянутых волокнах.

3. Расчетный момент сопротивления сечения балки из условия прочности: , где М_xmax = 0,75ql² (из эпюры М_х)  , расчетный момент сопротивления , где q = 50 кН/м = 50 Н/мм; .

175. Для стали Ст.5 предел текучести _т = 280 МПа: МПа.

176. После подстановки числовых значений расчетный момент сопротивления определится: см³.

4. Подбор сечений.

177. 4.1) Так, как балка составлена из двух швеллеров, то момент сопротивления швеллера определится: см³.

178. По таблицам сортамента (ГОСТ 8240  72) принимаем швеллер № 8, для которого: W_x = 22,4 см³, I_x = 89,4 см⁴, S_x = 13,3 см³, А = 8,98 см², h = 80 мм, b = 40 мм, d = 4,5 мм.

179. Площадь сечения балки: А_сеч = 2  А = 2  8,98 = 17,96 см².

180. 4.2) Для прямоугольного сечения: .

181. Принимаем отношение как у швеллера, т.е. , т.е. h = 2b   см.

182. h = 2b = 2  3,72 = 7,44 см.

183. Окончательно принимаем прямоугольное сечение с размерами сторон h x b = = 75 х 38 мм.

184. Площадь сечения: А_сеч = b  h = 3,8  7,5 = 28,5 см².

185. 4.3) Для круглого сплошного сечения:

186.  см.

187. Принимаем круглое сечение диаметром d = 70 мм.

188. Площадь сечения: см².

5. Изобразим сечения балки в одном масштабе и сравним веса полученных балок.

189. Масштаб: 1:2

190. 

191. Веса полученных балок сравним по отношению их площадей поперечных сечений. Для наглядности составим сравнительную таблицу:

192. Наименование профиля	Сдвоенный швеллер	Прямоугольник	Круг
     Площадь сечения, см^2	17,96	28,5	38,46
     Отношение	1	1,59	2,14

193. Как видно из таблицы самой легкой является балка, составленная из двух швеллеров, самой тяжелой  балка круглого сечения.

6. Определение наибольших касательных напряжений.