2. Решение на уроке воспитательных задач.

Обучение воспитывает, прежде всего, своим содержанием, фактами и их истолкованием. Успех воспитания во многом зависит от того, КАК ставятся перед учащимися очередные учебные задачи, и организуется работа коллектива по их реализации. Задача состоит в том, чтобы ПЛАНОМЕРНО использовать изучаемый материал и сам процесс учения. Эта общая цель воспитания реализуется на уроке через решение многих взаимосвязанных частных воспитательных задач. Наиболее актуальными являются такие задачи:

1. возбуждение и поддержание интереса к предмету;

2. воспитание ответственного отношения к учению;

3. воспитание потребности и умения учиться математике.

Изучаемые на уроке конкретные факты или задачи, в конечном счете, важны не сами по себе, т.к. могут быть со временем забыты, а как опыт добывания знаний, фактов или решает возникающие задачи и фиксирует в мышлении результаты познания. Конкретное математическое понятие, например, можно считать усвоенным, если ученик ВЕРНО, пусть своими словами, ФОРМУЛИРУЕТ его ОПРЕДЕЛЕНИЕ, БЕЗОШИБОЧНО ВЫДЕЛЯЕТ в нем ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ и ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ ПОНЯТИЯ. Понимание учеником того, что он в каждом конкретном случае должен знать и уметь, дисциплинирует его, заставляет быть внимательным, проявлять упорство в достижении цели.

3. Обоснованный выбор учебного материала на урок.

При определении содержания урока должны быть учтены такие частные требования:

1. соответствие основной учебной цели;

2. достаточный объем учебного материала;

3. оптимальное соотношение между конкретным и абстрактным на уроке;

4. отражение необходимой зависимости между теорией и практикой.

Суть требования (2) состоит в том, чтобы основная часть работы по усвоению и закреплению учебного материала выполнялась на самом уроке, чтобы больше делалось на уроке и меньше дома. Суть требования (3 и 4) - чтобы конкретных фактов было достаточно для перехода к обобщению и общее (формула) применение - к конкретным задачам.

4. Применение на уроке методов обучения, обеспечивающих активное учение школьников.

Цель выбора методов – сосредоточить внимание детей на тех действиях, которые входят в рассматриваемую тему (понятие, действие и пр.). Учитель должен организовать процесс познания, результатом которого станет не только усвоение ЗУН, но и развитие личности младшего школьника.

5. Организационная часть урока.

Имеется ввиду, что перед учащимися на уроке четко ставятся очередные учебные задачи, им понятны причины перехода от одной задаче к следующей, все они активны в решении этих задач, время на уроке рационально используется.

Достичь такой организации урока возможно, если:

1. свободно владеть материалом урока, учебным предметом в целом;

2. знать методику каждого вопроса, весь арсенал вариантов, приемов и средств его изучения:

3. знать индивидуальные особенности класса, предвидеть их затруднения и располагать материалом для загрузки более сильных учащихся;

4. продумать урок заранее во всех деталях, а в частности:

• какие понятия, свойства, правила, вычислительные приемы рассматриваются на данном уроке;

• что я сам знаю о них;

• с какими из них дети знакомятся впервые;

• с какими уже знакомы;

• когда познакомились (найти эти стр. в учебниках и изучить содержание заданий);

• какова функция учебных заданий данного урока (обучающая, развивающая, контролирующая);

• какие задания можно исключить из урока, какими можно дополнить;

• какие трудности могут возникнуть у детей при выполнении заданий;

• какие ошибки они могут допустить;

• как организовать их деятельность по предупреждению и исправлению ошибок.

Логика обдумывания урока находит отражение в конспекте. Конспект бывает полный, неполный (т.е. подробный и краткий).

Большую помощь в овладении методикой проведения уроков оказывает посещение уроков опытных учителей с последующим анализом просмотренного урока, а также анализ собственных уроков.

3. Натуральные числа и число нуль в аксиоматической теории и методика их формирования.

В связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности раскрывается количественное и порядковое значение натурального числа.

При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве – в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.

Число, полученное в результате арифметического действия, может быть выражено через те числа, над которыми выполнялось действие (заменено суммой или произведением чисел – состав чисел из слагаемых или множителей).

Таким образом, в начальном курсе математики раскрываются различные способы образования натурального числа (счет, измерение, выполнение арифметических действий).

При изучении нумерации натуральное число получает свое дальнейшее развитие: оно выступает как элемент упорядоченного множества или как член натуральной последовательности – это аксиоматической понятие числа (наглядно – это лента чисел в классе).

Здесь речь идет о том, что для каждого элемента множества существует элемент непосредственно следующий за ним, и для каждого элемента существует элемент, за которым непосредственно следует данный элемент.

Иными словами, дети должны усвоить предшествующее и последующее число, его место в ряде других чисел (- 1 … + 1).

Число нуль трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение числа и цифры нуль – позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися область целых неотрицательных чисел.

Нуль как число и цифра вводится в 1-ом классе. Сначала нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль как результат вычитания вида: 2 – 2 3 – 3 5 – 5,

что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств.

Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени:

5 + 0 0 + 9 8 – 0 0 + 0 0 – 0,

а при изучении действий умножения и деления (2 класс) как компонент этих действий:

0 · 4 3 · 0 0 · 0 0 : 4

Здесь же рассматривается невозможность деления на нуль (как правило-аксиома).

Далее цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи числа: 70, 30 000, 204

4. Натуральные числа и число нуль в теории множеств.

В связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности раскрывается количественное и порядковое значение натурального числа.

При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве – в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.

Число, полученное в результате арифметического действия, может быть выражено через те числа, над которыми выполнялось действие (заменено суммой или произведением чисел – состав чисел из слагаемых или множителей).

Таким образом, в начальном курсе математики раскрываются различные способы образования натурального числа (счет, измерение, выполнение арифметических действий).

Одним из центральных понятий начального курса математики является понятие натурального числа.

Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных (равномощных) множеств – это теоретико-множественное понятие числа.

Равномощные множества – множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие (множество стульев, множество студентов, множество столов).

Взаимнооднозначное соответствие – это соответствие между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Отрезок натурального ряда чисел – это числа, не превышающие данного числа m и подчиняющиеся условиям:

• начинается с 1;

• и непосредственно следующие друг за другом.

Счет – это установление взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств и отрезком натурального ряда чисел.

При этом выполняются правила:

1. предметы (элементы) не должны повторяться;

2. считать можно с любого элемента;

3. нельзя пропускать элементы множества, употребляя порядковые числа (первый, второй, третий…)

Раскрывается теоретико-множественное понятие на конкретной основе в результате практического оперирования множествами и величинами (количество предметов, длина отрезка, площадь, масса и др.).

Иными словами, формирование понятия натурального числа должно осуществляться не только в процессе счета (прямого и обратного), но и в процессе измерения величин (длина, масса, площадь, время, объем, скорость – величинное понятие числа), это позволяет связать обучение с практической деятельностью детей, опереться на имеющиеся у них числовые представления.

Именно этим объясняется знакомство с отрезком, единицами длины и измерением отрезков, начиная с изучения нумерации чисел первого десятка.

Далее примеры из учебника математики.

Число нуль трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение числа и цифры нуль – позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися область целых неотрицательных чисел.

Нуль как число и цифра вводится в 1-ом классе. Сначала нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль как результат вычитания вида: 2 – 2 3 – 3 5 – 5,

что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств.

Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени:

5 + 0 0 + 9 8 – 0 0 + 0 0 – 0,

а при изучении действий умножения и деления (2 класс) как компонент этих действий:

0 · 4 3 · 0 0 · 0 0 : 4

Здесь же рассматривается невозможность деления на нуль (как правило-аксиома).

Далее цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи числа: 70, 30 000, 204

5. Методика изучения чисел от 11 до 20.

В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы:

• нумерация чисел,

• сложение и вычитание,

• умножение и деление.

Задача учителя при изучении этой темы – научить детей считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа на основе твердого знания о том, что единицы пишутся на первом, а десятки – на втором месте, считая справа налево.

Необходимо также добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двухзначное число.

В изучении нумерации выделяются две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем чисел 21-100.

Такой порядок изучения обусловлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30, ..., 90). Однако слова «два», «три», «пять» и т.д. в числительных две-на-дцать, три-на-дцать и т.д. обозначают число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т.д. обозначают число десятков (исключение составляют числительные «сорок» и «девяносто»).

Кроме того, при написании только чисел второго десятка порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи не совпадает: сначала называются единицы (три-на-дцать), а пишется первым десяток (13), а то время как во всех остальных случаях чтение и запись разрядных чисел совпадают (23, 145, 1972 и т.п.). Эти особенности нумерации требуют того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно.

Вместе с тем нумерация двузначных чисел до 20 и свыше 20 принципиально сходна: устная и письменная нумерация этих чисел опирается

• на десятичную группировку единиц при счете и

• на принцип поместного значения цифр при записи чисел, поэтому изучение нумерации чисел от 10 до 20 подготавливает детей к изучению чисел от 20 до 100.

Изучение устной нумерации чисел второго десятка начинается с формирования у детей понятия о десятке. Отсчитывая по 10 палочек и завязывая их в пучки, учащиеся узнают, что десять единиц образуют десяток. Затем, выполняя упражнения в счете десятков, дети убеждаются, что десятки можно считать, складывать и вычитать как простые единицы.

Далее рассматривается образование чисел от 11 до 20 из десятков и единиц и поясняются их названия. Например, учащимся предлагают положить 1 палочку на пучок — десяток палочек и посчитать, сколько всего палочек стало. Затем, опираясь на иллюстрацию, дети устанавливают десятичный состав полученного числа.

Далее вспоминают, как получить следующее число, присоединяют к 11 палочкам еще 1 палочку и объясняют, что «две на десять» — это двенадцать, что число 12 состоит из 1 десятка и 2 единиц. Аналогично рассматривается:

• образование и название других чисел второго десятка

• одновременно порядок их следования при счете.

Натуральное следование чисел удобно иллюстрировать с помощью самодельных бумажных полосок длиной 20 (потом 100) см. Используя «ленту двадцати», дети устанавливают, какое число за каким следует, какому предшествует, между какими числами находится.

Для закрепления знаний десятичного состава и натурального следования чисел в пределах 20 предлагают учащимся — сначала с опорой на наглядные пособия, а потом без них — такие упражнения:

• отсчитайте 15 палочек; узнайте, сколько это составляет десятков палочек и сколько отдельных палочек;

• возьмите 1 десяток палочек и еще 4 палочки. Сколько всего палочек взяли?

• сколько десятков и единиц в числе 17?

• какое число состоит из 1 десятка и 9 единиц? и т.п.

Далее учащиеся знакомятся со второй единицей длины — дециметром как десятком сантиметров. Включаются упражнения в черчении и измерении отрезков, длина которых выражается как в единицах одного наименования (12 см, 15 см и т. п.), так и в единицах двух наименований (1 дм 5 см, 1 дм 8 см и т.п.).

Опираясь на сравнение отрезков, дети постепенно овладевают умениями заменять крупные единицы мелкими (1 дм 3 см = 13 см) и обратно (20 см = 2 дм). При этом закрепляются знания десятичного состава.

На следующем этапе приступают к изучению письменной нумерации. Чтобы раскрыть поместный принцип записи двузначных чисел, используют абак — таблицу с двумя рядами карманов: один ряд — для палочек, другой — для разрезных цифр (рис.).

Знакомя с пособием, учитель показывает, как ставят в верхних карманах палочки, когда их 5, 9, 10, И штук. Затем ученикам предлагают разложить в карманы, например, 15, 17 палочек.

Переходя к обозначению чисел, обязательно выясняют десятичный состав каждого числа и, опираясь на него, записывают цифрами, сколько в этом числе десятков и сколько, кроме того, единиц. Сразу закрепляют полученные знания о принципе записи двузначных чисел:

• что обозначает цифра 7, которая стоит в записи числа 17 на первом месте справа, и

• что обозначает цифра 1, которая стоит на втором месте справа.

Особо рассматривается запись чисел 10 и 20: цифра 1 (2) показывает, что в числе содержится 1 десяток (2 десятка), цифра 0 — в числе отсутствуют единицы.

Упражняясь в записи чисел, учащиеся закрепляют знания десятичного состава и натурального следования чисел в пределах 20.

Опираясь на наглядные пособия, учащиеся, знакомятся со случаями сложения и вычитания вида: 10 + 5, 15 — 5, 15 — 10.

Выполняя такие вычисления, учащиеся закрепляют знания десятичного состава чисел: например, 10 + 5, десять — это 1 десяток, 1 десяток и 5 единиц составляют число 15; 15 — 10, пятнадцать — это 1 десяток и 5 единиц, вычтем 10, или 1 десяток, получится 5 единиц.

Сопоставляя числа, учащиеся устанавливают, что для записи числа, состоящего из единиц, требуется одна цифра (один знак); для записи числа, состоящего из десятков или десятков и единиц, требуется две цифры (два знака).

Вводятся термины «однозначные» и «двузначные» числа.

В заключение составляется таблица всех случаев сложения с переходом через десяток:

9 + 2 = 11 8 + 3 = 11 7 + 4 = 11 6 + 5 = 11

9 + 3 = 12 8 + 4 = 12 7 + 5 = 12 6 + 6 = 12

9 + 4 = 13 8 + 5 = 13 7 + 6 = 13

9 + 5 = 14 8 + 6 = 14 7 + 7 = 14

9 + 6 = 15 8 + 7 = 15

9 + 7 = 16 8 + 8 = 16

9 + 8 = 17

9 + 9 = 18

6. Методика изучения чисел от 21 до 100.

В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы:

• нумерация чисел,

• сложение и вычитание,

• умножение и деление.

Задача учителя при изучении этой темы – научить детей считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа на основе твердого знания о том, что единицы пишутся на первом, а десятки – на втором месте, считая справа налево.

Необходимо также добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двухзначное число.

В изучении нумерации выделяются две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем чисел 21-100.

Такой порядок изучения обусловлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30, ..., 90). Однако слова «два», «три», «пять» и т.д. в числительных две-на-дцать, три-на-дцать и т.д. обозначают число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т.д. обозначают число десятков (исключение составляют числительные «сорок» и «девяносто»).

Кроме того, при написании только чисел второго десятка порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи не совпадает: сначала называются единицы (три-на-дцать), а пишется первым десяток (13), а то время как во всех остальных случаях чтение и запись разрядных чисел совпадают (23, 145, 1972 и т.п.). Эти особенности нумерации требуют того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно.

Вместе с тем нумерация двузначных чисел до 20 и свыше 20 принципиально сходна: устная и письменная нумерация этих чисел опирается

• на десятичную группировку единиц при счете и

• на принцип поместного значения цифр при записи чисел, поэтому изучение нумерации чисел от 10 до 20 подготавливает детей к изучению чисел от 20 до 100.

Изучение нумерации чисел в пределах 100 идет в таком же плане, как и в пределах 20:

• сначала изучается устная,

• затем письменная нумерация.

На основе счета десятков (I дес, 2 дес., 3 дес. и т.д.) раскрывается образование и название чисел 20, 30 и т.д., а затем на основе счета десятков и единиц образование и название чисел вида 25, 37 (4 дес. 5 ед.— это 45 и т.п.).

Усвоению десятичного состава чисел способствуют упражнения в образовании и разложении чисел.

Какое число составляют 5 дес. 7 ед.?

Сколько десятков и единиц в числе 62? и т.п.

С этой же целью рассматривается сложение и вычитание вида:

70 + 5 8 + 20 34 – 4 48 – 40

Приемы вычислений здесь те же самые, что и для аналогичных случаев в пределах 20, и методика работы сходна.

Как и при изучении нумерации чисел второго десятка одновременно с нумерацией отвлеченных чисел рассматривается

• измерение величин,

• сравнение значений величин,

• замена крупных единиц мелкими и мелких крупными.

Одновременно с десятичным составом рассматривается натуральное следование чисел первой сотни. Для этого включаются упражнения в счете предметов, в присчитывании по одному и по десять с опорой на наглядное пособие — «ленту ста».

При изучении письменной нумерации чисел в пределах 100 опираются на умение учащихся записывать числа второго десятка, а также на знания десятичного состава чисел первой сотни.

Сначала числа иллюстрируют палочками и пучками палочек на абаке, после чего обозначают число единиц и число десятков разрезными цифрами. Рассмотрев, таким образом, несколько чисел (например: 16, 26, 66, 60 и др.), учащиеся делают вывод о том, что в двузначном числе единицы пишутся на первом месте, а десятки — на втором, считая справа налево.

Усваивается этот вывод в процессе выполнения таких упражнений:

• объясните, что обозначает каждая цифра в записи чисел (77, 25, 52, 90 и т.п.),

• запишите с помощью данных цифр (например, 5, 7, 1) всевозможные двузначные числа (при записи отдельных чисел можно использовать одну и ту же цифру дважды).

При изучении письменной нумерации учащиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. Учитель поясняет, что, например, в числе 57 содержится 5 десятков и 7 единиц или иначе можно сказать: 5 единиц второго разряда и 7 единиц первого разряда. Полезно при этом использовать наглядное пособие — карточки с разрядными числами, которые имеются в приложении к учебнику математики I класса.

5

0

7

5

7

Практические действия с карточками помогают детям овладеть умением представлять число в виде суммы разрядных слагаемых 48 = 40 + 8, что необходимо для выполнения действий над двузначными числами.

Усвоение нумерации требует длительных упражнений, поэтому в дальнейшем, при изучении сложения и вычитания в пределах 100, систематически включают в устные упражнения задания по устной и письменной нумерации чисел.

7. Методика изучения чисел в пределах 1000.

Нумерация чисел в пределах 1000 и арифметические действия над ними выделяются в особый концентр по следующим причинам.

1)  заканчивается изучение нумерации чисел первого класса — класса единиц,

2)  это есть основа для усвоения нумерации многозначных чисел, так как следующие классы: второй класс — класс тысяч, третий класс — класс миллионов и т.д.— строятся по аналогии с первым классом.

3)  устная и письменная нумерация трехзначных чисел должна быть прочно и осознанно усвоена детьми.

В концентре «Тысяча» закрепляются знания устных приемов вычислений. Как и раньше, приемы вычислений раскрываются с опорой на теорию арифметических действий (свойства, взаимосвязь прямых и обратных действий). Это дает возможность учащимся не только самостоятельно объяснять ранее изученные приемы вычислений, применяемые теперь к трехзначным числам, но и «открывать» новые вычислительные приемы.

В концентре «1000» начинается работа над письменными приемами сложения и вычитания, поскольку здесь можно рассмотреть важнейшие случаи и раскрыть письменные приемы этих действий, а также показать преимущество письменных приемов над устными при вычислениях с многозначными числами. Материал рассматривается в таком порядке:

• нумерация,

• сложение и вычитание (устные, а затем письменные приемы вычислений),

• умножение и деление (устные приемы вычислений).

Одновременно ведется работа:

• над составными задачами,

• работа над числовыми и буквенными выражениями,

• над равенствами и неравенствами, уравнениями,

• над геометрическим материалом (закрепляются умения измерять и вычислять периметр фигур, чертить круги называть его элементы).

Задача учителя при изучении нумерации — научить детей считать предметы в пределах 1000:

• путем присчитывания по одному и

• используя группировку предметов в десятки и сотни.

Необходимо научить детей

• называть,

• записывать и

• читать трехзначные числа.

Дети должны:

• понять образование этих чисел из сотен, десятков и единиц,

• усвоить названия разрядных единиц и их соотношение,

• уметь представлять число как сумму разрядных слагаемых,

• находить общее число единиц любого разряда в данном числе.

Надо, закрепить также знания учащихся о натуральной последовательности чисел.

Подготовительную работу к изучению нумерации целесообразно начинать заранее, до перехода к концентру «Тысяча», систематически включая устные упражнения на повторение нумерации чисел первой сотни:

1. Сколько десятков в сотне? Во сколько раз десяток больше единицы? На сколько десяток меньше, чем сотня?

2. Какое число состоит из 5 десятков и 7 единиц; из 6 единиц II разряда и 3 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числах 49, 94?

3. Присчитывайте по 1 (по 5, по 10), начиная с числа 10 (20 и т.п.); назовите еще несколько чисел, следующих в ряду 34, 35, 36, ...; назовите соседей числа 99 при счете. Как образуются эти числа?

Кроме того, рекомендуется создать у детей интерес к «большим числам». Названия новых чисел должны зазвучать на уроках прежде, чем эти числа станут предметом специального изучения.

С этой целью на заключительном этапе работы над первой сотней:

• полезно выяснить, кто из детей умеет считать «дальше ста».

• включать упражнения по называнию чисел, выходящих за пределы первой сотни (например, предложить назвать еще 5—7 чисел в каждом ряду:

а) 95, 96, 97, ...;

б) 50, 60, 70, ...;

в) 92, 94, 96, ... .

Это поможет учащимся осознать, что существуют числа больше ста, что они имеют сходство с числами, которые известны детям.

Изучение устной нумерации в пределах 1000 начинается с формирования у детей понятия о сотне как о новой счетной единице.

Для этого считают какие-либо предметы по одному, десятками, сотнями. В практике часто используют палочки и пучки палочек, можно также использовать наглядное пособие «Квадраты и полоски».

Оно изготовляется из плотной бумаги, единицы обозначаются квадратами (квадратный сантиметр), десятки — полосками, по 10 квадратов в каждой, а сотни — квадратами, по 10 полосок в каждом (квадратный дециметр). Такое пособие для индивидуального пользования можно изготовить с детьми на уроках труда. С этой же целью можно использовать кубики и бруски «арифметического ящика».

								сотни																		десятки								единицы
											2																5								3

Затем вводят названия новых разрядных чисел — круглых сотен (1 сотня квадратов — это сто квадратов, 2 сотни квадратов — двести квадратов и т.д.).

На следующем этапе учащиеся знакомятся с образованием чисел из сотен, десятков, единиц. Используя наглядные пособия, дети изображают числа, которые состоят из разрядных чисел (например, 2 сотни, 3 десятка, 5 единиц; 2 сотни 5 единиц; 2 сотни 3 десятка и т. п.), и учатся называть такие числа. Предлагаются и обратные упражнения — указать, сколько сотен, десятков и единиц содержится в названных числах.

При ознакомлении с письменной нумерацией чисел, в пределах 1000, опираясь на умения детей записывать двузначные числа, надо показать, что сотни, т.е. единицы III разряда, записывают на третьем месте, считая справа налево.

Дети знают, что:

простые единицы — это единицы I разряда,

десятки — единицы II разряда;

теперь они узнают, что сотни — это единицы III разряда, и записывают числа, состоящие, например, из 6 единиц III разряда, 5 единиц I разряда, а также могут откладывать их на счетах.

Вводится термин «трехзначное число». На основе наблюдений учащиеся делают вывод о том, что единицы пишутся на 1-м месте, десят­ки на 2-м, а сотни на 3-м месте, считая справа налево, и что если в числе отсутствуют единицы I или II разряда, то на их месте пишется нуль.

Заканчивая изучение нумерации, целесообразно привести в систему знания детей по данному разделу. Можно включить несколько раз такое задание — рассказать о заданном числе (например, 244, или 303, или 900) все, что дети знают.

Знания и умения по нумерации требуют длительного закрепления.

8. Методика изучения многозначных чисел.

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса – это важнейшее понятие нашей системы счисления необходимо раскрыть.

Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений. Выработка осознанных и прочных навыков письменных вычислений — одна из основных задач изучения действий над многозначными числами.

Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные числа» такой:

• нумерация,

• сложение и вычитание,

• умножение и деление.

• одновременно рассматриваются задачи, измерение величин, алгебраический и геометрический материал.

Нумерация многозначных чисел

Основные задачи учителя при изучении этой темы:

• сформировать понятие о новой счетной единице — тысяче как единице второго класса;

• опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа;

• обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципах записи трехзначных чисел.

При повторении нумерации чисел в пределах 1000 целесообразно упражнять детей в обозначении чисел на счетах.

Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа, предложить несколько устных заданий на присчитывание с выходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей к данной теме, активизирует их самостоятельную познавательную деятельность.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное — 1000.

Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10 ед. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот.; 10 сот. = 1 тыс.).

Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разрядов и классов). Полезно эти пособия иметь не только для общеклассного, но и для индивидуального пользования.

Учитель поясняет, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т. д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, ведут счет единиц тысяч (откладывая их на четвертой проволоке снизу) до 10 тысяч, которые заменяют 1 десятком тысяч (откладывают на пятой проволоке снизу), затем считают десятки тысяч и, получив 10 десятков тысяч, заменяют их 1 сотней тысяч (откладывают на шестой проволоке снизу), наконец, считают сотни тысяч до 10 и заменяют 10 сотен тысяч 1 миллионом (откладывают на седьмой проволоке снизу).

Целесообразно образование новых разрядных единиц зафиксировать в записи:

10 ед. тыс.= 1 дес. тыс.,

10 дес. тыс.= 1 сот. тыс.,

10 сот. тыс.«=1 млн., расположив ее столбиком рядом с предыдущими записями. Это поможет детям увидеть сходство в образовании и названиях разрядных единиц (10 единиц составляют 1 десяток, 10 единиц тысяч составляют 1 десяток тысяч и т.д.).

Затем идет работа с нумерационной таблицей, в которой обозначены (или обозначаются самими детьми) названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч.

Учитель дает пояснение (или дети читают по учебнику) о том, что:

• единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а

• единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч (соответствующие записи вносятся в таблицу).

Полезно сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единица каждого разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I классе считают и группируют единицы, а во II классе — тысячи.

Далее изучаются числа II класса (круглые тысячи).

Начать работу можно с изображения чисел на счетах. Дети вспоминают, где на счетах откладывают единицы, десятки, сотни (т.е. числа I класса), а где единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вертикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с номерами классов и разрядов.

Сначала учащиеся обозначают на счетах числа I класса (например, 7, 97, 697, 600 и т.п.), а затем числа II класса (7 тыс., 47 тыс., 547 тыс.).

Последнее упражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруднее»: 670 тыс., 600 тыс., 70 тыс.

Аналогичная работа может быть проведена по нумерационной таблице (начерченной на доске и в тетрадях или данной в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на особенности записи чисел II класса; три нуля на конце обозначают отсутствие единиц I, II и Ш разрядов, т.е. отсутствие единиц I класса (но не отсутствие самих разрядов или класса, как говорят иногда дети).

На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса:

• назовите число, в котором 3 сотни тысяч и Б десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч и т.п.).

• сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.?

• сложите числа 500 000 + 40 000 + 8000;

• замените число 675000 суммой разрядных слагаемых.

Этому же способствуют устные вычисления вида: 200 тыс. + 60 тыс. 375 тыс. – 75 тыс.

В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению:

• числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц;

• при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, т.е. пишут цифрами на четвертом, пятом и шестом местах, считая справа налево.

На следующем этапе приступают к изучению нумерации многозначных чисел, состоящих из единиц первого и второго класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу.

Второй класс – класс тысяч			Первый класс – класс единиц
VI разряд сотни тысяч	V разряд десятки тысяч	IV разряд тысячи	III разряд сотни	II разряд десятки	I разряд единицы

Например, на таблице обозначено число 438 000. После выяснения значения трех нулей в записи этого числа к нему прибавляют число I класса (положим, 127).

Карточки с цифрами, обозначающими число I класса, помещаются прямо на нули в записи числа II класса. Это дает возможность наглядно иллюстрировать затем запись чисел с нулями (вида 438107, 438120, 438007). Аналогично рассматривается еще несколько многозначных чисел.

Учащиеся:

• читают числа,

• записывают их сначала в таблице разрядов, а затем без нее.

Для закрепления уме­ний читать и записывать многозначные числа полезно сразу же включить упражнение, обратное первому,— на замену многозначного числа суммой чисел I и II класса (35 708 = 35 000 + 708, 400 009 = 400 000 + 9 и т. п.). Обратить внимание детей, что при записи чисел полезно отделять классы небольшим промежутком.

На уроках по изучению нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны и братских стран социализма, достижения в завоевании космоса, интересные числовые данные о животных и растениях и т.п.

Далее учащиеся не только учатся читать и записывать многозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно останавливаются на десятичном составе чисел, а также на их натуральной последовательности.

Называя непосредственно следующее и предшествующее число относительно данного, решая примеры вида: а±1, учащиеся вспоминают, как образуются числа при счете (в натуральном ряду). Следует остановиться на рассмотрении последовательности однозначных, двузначных и т.д. чисел, в каждой из которых есть первое (наименьшее) и последнее (наибольшее) число, полезно вместе с детьми сделать такую схематическую запись: 1, 2, 3, ..., 9, 10, ,.., 99, 100, ...,999, 1000, ..., 9999, 10 000, ..., 99 999, 100000, ..., 999999, 1000 000, …

Используя такую запись, дети легко подмечают, что после наибольшего однозначного идет наименьшее двузначное, после наибольшего двузначного идет наименьшее трехзначное и т.д. Кроме того, выписав наименьшее и наибольшее шестизначной число, они без труда устанавливают, что можно и далее называть числа, присчитывая по одному, и что затем пойдут семизначные, восьмизначные и т. д. числа. Таким образом, учащиеся подходят к пониманию бесконечности натурального ряда чисел.

На следующем этапе переходят к з а к р е п л е н и ю знаний и умений учащихся.

Увеличение и уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз основывается на применении имеющихся у детей знаний о поместном значении цифр при записи чисел. Учитель организует наблюдения детей за изменением значения цифры при перемещении ее в записи числа, которое происходит, если приписать к числу или отбросить один, два, три нуля. Эти знания учащиеся сразу же применяют к решению примеров на умножение и деление чисел на 10, 100 и 1000.

Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в преобразовании натуральных чисел и величин — замена мелких единиц крупными и, обратно, замена крупных единиц мелкими. Вначале эти задания выполняются на основе нумерации, а потом уже способы преобразований обобщаются в виде правил. Так, заменяя единицы десятками, учащиеся поясняют преобразования:

50 = 5 дес. 100 = 10 дес.

120 = 10 дес. + 2 дес. = 12 дес.

1120 = 100 дес.+ 10 дес + 2 дес. = 112 дес. и т. п.

Преобразования величин чисел сводятся к соответствующим операциям над натуральными числами: чтобы установить, сколько метров содержится в 7200 см, вспомним, что каждая сотня сантиметров составляет метр; найдем, сколько сотен в данном числе (72) — сколько будет метров.

Далее рассматриваются более трудные случаи преобразования натуральных чисел и величин. Например, требуется найти, сколько всего десятков (сотен, тысяч) в числах вида 75475, 70 009 и т.п., заменить значение величины, выраженной в единицах одного наименования, значением той же величины, выраженной в единицах двух наименований:

1845 см — □ м □ см и, обратно:

25 кг 500 г = □ г,

75 руб. 05 коп. = □ коп. и т д.

На основе сопоставления полученного числа и данного учащиеся приходят к выводу:

• чтобы узнать, сколько десятков содержится во всем числе, надо отбросить в нем единицы и прочитать оставшееся число;

• чтобы узнать, сколько сотен содержится во всем числе, надо отбросить единицы и десятки и прочитать оставшееся число, и т. д.

На следующем этапе работы учащиеся знакомятся с нумерацией 7—9-значных чисел, что дается также в основном с целью закрепления и обобщения знаний о десятичной системе счисления и натуральном ряде чисел. Работа над этими числами строится по такому же плану, как и над 4—6-значными числами.

Учащиеся читают задание по таблице вслух или про себя и выполняют его устно или письменно. Можно иногда предла­гать не все, а часть заданий. «Схема разбора числа» помогает закреплять знания детей по основным разделам нумерации.

Расширить и углубить знания по нумерации можно на внеклассных занятиях (например, на тему «Как считали люди в далеком прошлом», «Числа-великаны» и др.).

9. Методика раскрытия конкретного смысла действия сложения.

Раскрытие конкретного смысла действия сложения происходит при изучении темы сложение и вычитание в пределах 10

Выполняя многократно операции над множествами при нахождении результатов этих действий, а также при решении задач, учащиеся уясняют, что операции объединения соответствует действие сложения. Кроме того, обращается внимание детей на то, что, когда прибавляют, становится больше, чем было.

Вначале решение таких примеров обязательно иллюстрируют действиями с предметами, например:

• Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат.

• Сколько квадратов получилось?

• Придвиньте еще 1 желтый квадрат.

• Сколько квадратов получилось?

• Запишите пример: 4 + 1 + 1;

• Объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1, получится 5; к 5 прибавить 1, получится 6)».

Такая методическая работа проводится ежеурочно на протяжении изучения чисел первого «пятка» (а ± 1, а ± 2, а ± 3, а ± 4)

Учитель ставит цель перед детьми – научиться прибавлять 1 (потом 2 = 1 + 1). Решение первых примеров выполняется с опорой на предметное действие – усвоение операции объединения. Здесь же уточняются всевозможные действия с предметами (элементами множеств), соответствующие действиям:

Сложить – значит, присоединить, принести, прилететь, добавить и т.д. – ОБЪЕДИНИТЬ;

Например: 4 + 2.

Пусть эти букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета на столе – число 2.

Покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4 букетам (ученик переносит цветы на окно: сначала один букет, потом второй).

Запишем то, что сделал Вова.

Сколько сначала к 4 прибавили?

Сколько получилось?

Как же можно прибавить 2 к 4?

Чтобы прибавить 2 к 4, надо прибавить сначала 1 к 4, получится 5, а потом прибавить к 5 еще 1, получится 6).

На доске запись:

4 + 1 = 5

С помощью аналогичных упражнений раскрываются приемы вычислений для случаев а ± 3 и а ± 4.

После знакомства с вычислительными приемами на ряде уроков проводятся упражнения в вычислениях, для того чтобы знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем стали прочными навыками. Вначале примеры решаются с подробными пояснениями приема вычисления вслух, постепенно пояснения сокращаются, затем проговариваются кратко про себя.

Завершающим моментом в работе над каждым из приемов а±2, а±3, а±4 является составление и заучивание таблиц (см. учебник 1 класса).

10. Методика раскрытия конкретного смысла действия вычитания.

Раскрытие конкретного смысла действий вычитания происходит при изучении темы сложение и вычитание в пределах 10

Выполняя многократно операции над множествами при нахождении результатов этих действий, а также при решении задач, учащиеся уясняют, что операции удаления части множества соответствует действие вычитания. Кроме того, обращается внимание детей на то, что, когда вычитают, становится меньше.

Вначале решение таких примеров обязательно иллюстрируют действиями с предметами, например:

• Положите 4 синих квадрата, отодвиньте 1 квадрат.

• Сколько квадратов получилось?

• Отодвиньте еще 1 квадрат.

• Сколько квадратов получилось?

• Запишите пример: 4 – 1 – 1;

• Объясните, как решаем такой пример (из 4 вычесть 1, получится 3; из 3 вычесть 1, получится 2)».

• Так же рассматривается пример 7 — 1 — 1.

Такая методическая работа проводится ежеурочно на протяжении изучения чисел первого «пятка» (а ± 1, а ± 2, а ± 3, а ± 4)

Учитель ставит цель перед детьми – научиться вычитать число 1 (потом 2 = 1 + 1). Решение первых примеров выполняется с опорой на предметное действие – усвоение операции удаления. Здесь же уточняются всевозможные действия с разными предметами (элементами множеств), соответствующие действиям:

Вычесть – значит, убрать, улететь, выбросить, унести и т.д. – УДАЛИТЬ.

Например: Ученикам дается задание нарисовать в тетрадях 7 яблок, затем 2 яблока зачеркивают (раскрашивают), записывают пример 7 – 2 и,

опираясь на свою практическую работу (дети рассуждают: Сначала раскрасили 1 яблоко, а потом еще 1 яблоко), объясняют, как вычесть 2 (из 7 вычесть 1, получится 6; из 6 вычесть 1, получится 5),

С помощью аналогичных упражнений раскрываются приемы вычислений для случаев а ± 3 и а ± 4.

После знакомства с вычислительными приемами на ряде уроков проводятся упражнения в вычислениях, для того чтобы знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем стали прочными навыками. Вначале примеры решаются с подробными пояснениями приема вычисления вслух, постепенно пояснения сокращаются, затем проговариваются кратко про себя.

Завершающим моментом в работе над каждым из приемов а±2, а±3, а±4 является составление и заучивание таблиц.

11. Методика раскрытия конкретного смысла действия умножения.

Раскрывая конкретный смысл умножения, следует, прежде всего, расширить опыт учащихся в выполнении соответствующих операций над множествами.

Еще в I классе при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целесообразно ввести счет пар предметов, троек и т.д. и предлагать задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых:

1. В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?

2. В первой коробке 3 карандаша, во второй — 6, в третьей — 8. Сколько всего карандашей в коробках?

Подобные задачи (примеры) полезно иллюстрировать предметами или рисунками. Следует включать и обратные упражнения: по данным рисункам составить задачи (примеры) на сложение (рис. 18).

Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых.

Во II классе сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6 + 6 + 6 + 6 = 24; 6 * 4 = 24).

Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, с записью умножения, усваивают роль множителей.

Сложение одинаковых слагаемых называют умножением.

Умножение обозначают знаком — точкой.

Затем выполняется несколько упражнений на замену суммы произведением. При этом дети устанавливают, что показывает каждое число в новой записи.

Очень важно, чтобы учащиеся поняли, при каких условиях возможна замена суммы произведением и когда она невозможна. Этому помогает решение примеров с одинаковыми и разными слагаемыми. На доске пример: 7 + 7 + 7.

Замените пример на сложение примером на умножение (7 * 3).

Можно ли пример 2 + 3 + 7 заменить примером на умножение? (Нельзя.)

Почему? (Слагаемые разные. Слагаемые неодинаковые.)

Всегда ли можно пример на сложение заменить примером на умножение? (Не всегда.)

В каких случаях это сделать можно? (Когда слагаемые одинаковые.)

Далее вводится первый вычислительный прием нахождения произведения, основанный на конкретном смысле умножения, — это замена произведения суммой и выполнение сложения.

Например, предлагается найти результат: 3 * 4.

Прочитайте пример. (3 умножить на 4.)

Что в этой записи показывает число 3? (Это число берется слагаемым.)

Что обозначает число 4? (Столько берется слагаемых.)

Заменим пример на умножение примером на сложение.

Запись: 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Надо уделить особое внимание закреплению знаний этого приема, так как в дальнейшем он используется при составлении всех таблиц умножения.

С этой целью полезно научить детей вести рассуждение при замене произведения суммой по определенному плану:

• назвать первый множитель,

• сказать, какое число берется слагаемым;

• назвать второй множитель

• сказать, сколько надо взять таких слагаемых;

• вычислить сумму.

При вычислении некоторых сумм одинаковых слагаемых целесообразно ознакомить детей с приемом группировки слагаемых (не вводя этого термина) и использовать этот прием тогда, когда это удобно.

Например, вычисляя сумму 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, надо обратить внимание детей, что сумма пяти слагаемых равна 10, а к 10 легко прибавить сумму остальных слагаемых: 10 + 4 = 14.

Этот прием используется в дальнейшем при составлении таблиц умножения.

Закреплению знания конкретного смысла действия умножения и вычислительного приема, основанного на этом знании, помогают такие упражнения:

1. Составьте по данному рисунку примеры на сложение. Замените, где возможно, примеры на сложение примерами на умножение (рис. 19). Чем сходны и чем отличаются эти примеры?

∆∆∆ ∆∆ ∆∆∆ ∆∆∆

3 + 2 = 5 3 * 2 = 6

2. По данным примерам 4 + 3 и 4 * 3 сделайте рисунки. Сравните примеры и решите их.

3. Замените примеры на умножение примерами на сложение и решите их: 7 * 4, 1 * 5, 10 * 6, 15 * 4.

4. Решите задачу сначала сложением, а затем запишите решение умножением: «5 пионеров вырезали для октябрят по 4 звездочки каждый. Сколько звездочек вырезали пионеры?»

Сначала при выполнении подобных упражнений надо, чтобы ученики заменяли произведения суммами:

2 * 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 + 2 = 16

Этот прием нахождения произведения с опорой на другое произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, используется при составлении таблиц умножения, поэтому ему надо уделить особое внимание.

12. Методика раскрытия конкретного смысла действия деления.

Конкретный смысл деления раскрывается в процессе решения простых задач на деление по содержанию и на равные части.

Ученики должны научиться выполнять по условию задачи операцию разбиения данного множества на ряд равночисленных подмножеств и связывать эту операцию с действием деления, научиться записывать решение задач с помощью этого действия.

На знании конкретного смысла действия деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами.

Например, чтобы найти частное 8 : 4, берут 8 кружков (палочек и т.п.), раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части.

Для закрепления знания конкретного смысла действия деления и вычислительного приема, основанного на этом знании, включается решение простых задач на деление по содержанию и на равные части, а также решение примеров на деление с помощью действий с конкретными предметами (кружки, палочки и т.п.).

В это время ученики знакомятся с названиями компонентов и результатов действий умножения и деления:

позднее — делимое, делитель, частное.

Здесь же дети узнают, что термин «частное» обозначает не только результат действия, но и соответствующее выражение, например: 20 : 5.

В связи с введением терминов дается еще один способ чтения примеров на умножение и деление, 20 : 5 – делимое 20, делитель 5, найти частное.

Выражение дети читают так: частное чисел 20 и 5.

13. Методика составления таблиц умножения и соответствующих случаев деления.

2 * 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 + 2 = 16

Прием нахождения произведения с опорой на другое произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, используется при составлении таблиц умножения, поэтому ему надо уделить особое внимание:

2 * 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 + 2 = 16

Используя изученные приемы, составляется таблица умножения двух, которую дети должны будут постепенно запомнить. Другие таблицы составляются несколько позднее. Это позволит рассредоточить во времени изучение материала, который надо запомнить наизусть.

При составлении таблицы умножения двух результат находят сложением, используя при этом наглядные пособия, например квадрат с уголком (рис.), или обводят в тетради 9 рядов клеток, по 2 клетки в ряду.

Таблица на доске и в тетрадях записывается так:

2 * 2 = 4 2 + 2 = 4

2 * 3 = 6 2 + 2 + 2 = 6

2 * 4 = 8 2 + 2 + 2 + 2 = 8

2 * 5 = 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

2 * 6 = 12 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

2 * 7 = 14 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 16 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16

2 * 9 = 18 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18

При вычислении результатов дети используют известные им приемы:

Таблицу умножения двух на данном этапе читают так:

2 умножить на 2, получится 4,

или по 2 взять 2 раза, получится 4.

Для заучивания таблицы надо включать специальные тренировочные упражнения, предлагая их в занимательной форме.

Далее изучаются связи между компонентами и результатами действий умножения и деления. На основе этих связей вводятся приемы для табличных случаев деления.

Связь между компонентами и результатом действия умножения раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся предлагается составить пример на умножение по рисунку:

□□□□ □□□□ □□□□

Ученики составляют пример: 4 * 3 = 12.

Назовите первый множитель. (4.)

Назовите второй множитель. (3.)

Назовите произведение. (12.)

Пользуясь этим же рисунком, составьте два примера на деление. Получается запись:

4 * 3 = 12

12 : 4 = 3

12 : 3 = 4

Сравните примеры на деление с примером на умножение.

Как получили второй множитель 3? (Произведение 12 разделили на первый множитель 4.)

Как получили первый множитель 4? (Произведение 12 разделили на второй множитель 3.)

Позднее эти два вывода объединяют в один: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель.

На этом же этапе на основе связи между произведением и множителями рассматриваются табличные случаи деления с числом 2.

Ученики записывают по памяти известную им таблицу умножения на 2. Затем, используя знание связи между компонентами и результатом действия умножения, находят результаты соответствующих случаев деления. Получается запись:

2 * 2 = 4 4 : 2 = 2

2 * 3 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2

2 * 4 = 8 8 : 2 = 4 8 : 4 = 2 и т.д.

При закреплении знания этих связей надо ознакомить учащихся с приемом подбора частного. Например, надо 18 разделить на 6, для этого подбираем такое число (частное), при умножении которого на делитель 6 получается делимое 18; это число 3, так как 6 * 3 = 18. Этот прием в дальнейшем широко используется при делении чисел в пределах 100.

14. Приемы сложения и вычитания в концентре 10 и методика их изучения.

В целях подготовки к изучению сложения, и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. Поэтому при изучении нумерации рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах пяти:

2 + 2, 3 + 2, 1 + 3. 2 + 3. 1+4. 4-2. 5-2 и т.д.

а также отдельные случаи в пределах, 10.

При изучении этой темы необходимо обеспечить усвоение детьми рациональных вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах первого десятка:

• сформировать прочные вычислительные навыки;

• добиться запоминания наизусть результатов сложения и вычитания;

• добиться запоминания наизусть состава чисел из слагаемых.

В органической связи с изучением сложения и вычитания включаются элементы алгебры и геометрии:

• знакомство с математическими выражениями (сумма, разность);

• их чтение и запись;

• получение числового равенства и неравенства вида: 4 + 2 > 7, 7 – 3 < 7 + 3 и т.д.

• знакомство с уравнениями вида: х – 3 = 7, 5 + х = 9 (их решение);

• закрепление умений чертить и измерять отрезки;

• включение задач на составление геометрических фигур и на вычленение знакомых фигур из заданной фигуры.

Изучение сложения и вычитания в пределах 10 можно провести по такому плану:

1. Подготовительный этап:

• раскрытие конкретного смысла действий сложения и вычитания;

• запись и чтение примеров, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания образования натуральной последовательности чисел.

Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4.

Изучение приема перестановки слагаемых для случаев прибавить 5, 6, 7, 8, 9. Таблица сложения и состав чисел из слагаемых,

Изучение приема вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычесть 5, 6, 7, 8, 9.

На специально отведенном уроке приводят в систему все изученные случаи а±1, под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их наизусть.

На втором этапе рассматривают случаи сложения и вычитания вида: а±2, а±3, а±4, результаты которых находятся присчитыванием или отсчитыванием.

Чтобы подчеркнуть, с одной стороны, сходство вычислительных приемов, а с другой стороны, противоположный характер действий сложения и вычитания, случаи «прибавить 2» и «вычесть 2» так же, как позднее случаи «прибавить 3» и «вычесть 3», затем «прибавить 4» и «вычесть 4», изучаются одновременно в сопоставлении друг с другом.

На уроке по ознакомлению с новыми приемами вычислений вначале так же выполняют несколько подготовительных упражнений: дети решают примеры (8 + 1 + 1, 9 – 1 – 1 и т. п.) с пояснением каждого примера.

Для приемов а ± 4 запись может быть такой же, но целесообразнее начать записывать по-другому: 5 + 4 = 5 + 2 + 2 = 9, ]0 – 4 = 10 – 2 – 2 = 6.

Такие записи готовят детей к изучению свойств действий, тождественным преобразованиям выражений, обоснованию вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах 100.

С целью выработки навыков включаются устные упражнения (устный счет, игры «молчанка», «эстафета», «лесенка», «круговые примеры» и др.). Очень полезны арифметические диктанты – устные вычисления с показом ответов разрезными цифрами или записью ответов в тетрадях. Выполняются также разнообразные письменные упражнения в решении примеров и задач. Особенно ценны упражнения с элементами творчества, догадки: составить примеры, задачи, исправить неверно решенные примеры, вставить пропущенное число или знак действия в примерах:

□ – 3 = 7, 8 – □ = 6, 8 + □ = 10;

6 * 4 = 10, 6 * 4 = 2.

Завершающим моментом в работе над каждым из приемов а±2, а±3, а±4 является составление и заучивание таблиц.

2 + 2 = 4 4 = 2 + 2 4 – 2 = 2

3 + 2 = 5 5 = 3 + 2 5 – 2 = 3

4 + 2 = 6 6 = 4 + 2 6 – 2 = 4

… … …

8 + 2 = 10 10 = 8 + 2 10 – 2 = 8

На третьем этапе изучают прием сложения для случаев «прибавить 5, 6, 7, 8, 9».

При сложении в пределах 10 в этих примерах второе слагаемое больше первого (1 + 9, 2 + 7, 3 + 5, 4 + 6 и т.п.).

Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изученным видам: а + 1, а + 2, а + 3, а + 4.

На данном этапе целесообразно раскрыть СУТЬ переместительного свойства сложения (на примере тяжелых мешков).

В процессе упражнений у детей формируется умение применять прием перестановки слагаемых. После этого составляется краткая таблица сложения в пределах 10, зная которую можно решать все примеры на сложение в пределах первого десятка:

2 + 2 = 4

3 + 2 = 5

4 + 2 = 6 3 + 3 = 6

5 + 2 = 7 4 + 3 = 7

6 + 2 = 8 5 + 3 = 8 4 + 4 = 8

7 + 2 = 9 6 + 3 = 9 5 + 4 = 9

8 + 2 = 10 7 + 3 = 10 5 + 5 = 10

Рассмотрев таблицу, дети сами могут пояснить, почему включены только эти случаи и почему не включены остальные.

На данном этапе продолжается работа над усвоением состава чисел из слагаемых.

15. Методика изучения письменного алгоритма сложения.

Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 раскрываются вслед за устными приемами. Усвоение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел является условием успешного применения их к числам любой величины.

Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычитания.

При сложении столбиком используется правило сложения суммы с суммой. Это правило повторяют перед тем, как ознакомить детей с письменным приемом сложения. Для этого решают примеры вида:

(8 + 7) + (2 + 3) или (20 + 4) и (10+6).

Учащиеся вспоминают, как можно по-разному вычислить результат.

Затем правило применяется к сложению сумм нескольких слагаемых с числами в пределах 1000, например:

(300 + 40 + 5) + (200 + 20 + 4) = (300 + 200) + (40 + 20) + (5 + 4) = 569

(300 + 40 + 5) + (200 + 4) = (300 + 200) +40+ (5 + 4) =549

(300 + 40 + 5) + (20 + 4) = 300+ (40 + 20) + (5 + 4) =369

Решив несколько таких примеров, дети замечают, что удобнее складывать сотни с сотнями, десятки с десятками, единицы с единицами. При этом полезно установить, какие числа складывали (345 и 224, 345 и 204, 345 и 24).

Такой подготовительной работы вполне достаточно, чтобы ввести общеизвестную запись письменного приема сложения столбиком. Учащиеся понимают целесообразность такой записи — сложение при этом выполняется быстро, так как промежуточные результаты записываются по мере их получения каждый на своем месте.

Письменное сложение изучается в таком порядке:

1) случаи, где сумма единиц и сумма десятков меньше 10;

2) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) равны 10;

3) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) больше 10.

Прежде всего, решаются примеры на сложение без перехода через десяток: 232 + 347, 235 + 43. Учащиеся решают их сначала устно с подробной записью в строчку приема вычисления, затем учитель показывает запись этих примеров в столбик, поясняя: числа записывают так, чтобы единицы второго числа были под единицами первого, десятки под десятками, сотни под сотнями. Дается объяснение приема сложения:

К 2 единицам прибавим 7 единиц, получится 9 единиц.

Записываем 9 в сумме под чертой на месте единиц;

к 3 десяткам прибавим 4 десятка, получится 7 десятков.

На месте десятков в сумме пишем 7.

К двум сотням прибавим 3 сотни, получится 5 сотен.

На месте сотен в сумме пишем 5. Сумма равна 579.

+	232
	347

Дети упражняются в записи и объяснении решений примеров, запоминают, что сложение в столбик начинают с единиц.

При решении примеров вида 427+133, 363 + 245, 236 + 464 легко показать, почему письменное сложение следует начинать не с высших разрядов, как устное сложение, а с единиц I разряда: пусть дети решат один из примеров (457 + 243), начиная сложение с сотен — они сами убедятся в неудобстве такой последовательности вычисления, поскольку цифру сотен и десятков придется исправлять.

Перед решением примеров на сложение с переходом через десяток необходимо повторить таблицу сложения и включить подготовительные упражнения вида: 8 ед. + 6 ед., 6 дес + 7 дес. и т.п., в которых требуется выразить результат в более крупных единицах. Так же, как и на предыдущем этапе, сначала примеры решаются с подробным объяснением:

• к 4 единицам прибавим 8 единиц,

• получится 12 единиц, или 1 десяток и 2 единицы.

• 2 единицы пишем под единицами, а один десяток прибавим к десяткам и т.д.

Постепенно надо перейти к краткому пояснению: 4 да 8 — двенадцать, 2 пишу, I запоминаю; 4 да 1 — пять, да еще 1 — шесть, 6 пишу; 5 и 2 — семь, всего 762. Подробного пояснения требуют от ученика, если он допустил ошибку.

На заключительных уроках изучения письменного сложения учащиеся знакомятся с формой записи и рассуждением при сложении нескольких слагаемых.

Помимо усвоения учащимися приема выполнения письменного сложения, на всех этапах изучения данной темы необходимо добиваться выработки навыка быстрых и правильных вычислений. С этой целью включают в достаточном количестве разнообразные упражнения: решение примеров, задач, уравнений и др.

Чтобы учащиеся наряду с письменными упражнялись в устных вычислениях, полезно давать такие задания: «Записывайте решения примеров столбиком только тогда, когда устно решить трудно (например: 610 + 290, 638 + 294, 605 + 295)».

16. Методика изучения письменного алгоритма вычитания.

Работа над письменными приемами вычитания строится аналогично. Сначала рассматривают правило вычитания суммы из суммы, а затем раскрывают прием письменного вычитания. Первыми вводятся самые легкие случаи вычитания вида: 563 – 321. Детям предлагается вычислить результат устно и выполнить подробную запись приема вычисления:

563 – 321 = (500 + 60 + 3) – (300 + 20+1) = (500 – 300) + (60 – 20) + (3 – 1) = 242

Они сами догадываются, что проще и быстрее найти результат, если записать пример столбиком, как при сложении.

На первых порах вычитание выполняется с подробным пояснением, затем вводятся краткие пояснения.

Далее рассматривают случаи вычитания чисел с нулями в середине или на конце (547 – 304, 547 – 340, 507 – 304).

Перед их включением целесообразно повторить действия с нулем (5 + 0, 5 – 0, 0 – 0, 7 – 0 – 0, 0 : 9 + 0 и т.п.).

Следующими рассматриваются случаи вида: 540 – 126 и 603 – 281.

Предварительно нужно повторить соотношение между разрядными единицами.

Сколько единиц в 1 десятке?

Сколько десятков в 1 сотне?

Сначала решение примеров сопровождается подробным пояснением:

Из нуля не можем вычесть 6 единиц.

Берем из 4 десятков 1 десяток. Чтобы не забыть об этом, ставим точку над цифрой 4.

В 1 десятке 10 единиц. Из 10 вычтем 6 единиц, получится 4 единицы.

Запишем ответ под единицами.

Из 3 десятков вычтем 2 десятка, получится 1 десяток и т.д.

–	540
	126

Аналогично объясняется решение примера 603 – 281, когда приходится «занимать» 1 сотню, раздроблять ее в десятки и вычитать 8 десятков из 10 десятков. Точка над цифрой сотен (6) показывает, что уже взяли одну сотню и осталось 5 сотен.

Затем вводятся примеры вида: 875 — 528, 628 — 365 и, наконец, примеры вида: 831—369.

Во всех этих примерах приходится «занимать» (один или два раза) единицу соседнего высшего разряда. В качестве подготовительных упражнений полезно повторить табличные случаи вычитания и включить такие устные задания, как 1 дес. 6 ед. —7 ед., 1 сот. 5 дес. – 8 дес. и т.п. Следует также повторить:

• соотношение разрядных единиц и

• преобразование единиц высших разрядов в единицы соседних низших разрядов.

Решая пример 875 – 528, ученик рассуждает так:

–	875
	528

• из 5 единиц не можем вычесть 8 единиц;

• берем 1 десяток из 7 десятков (ставим точку над цифрой 7);

• 1 дес. и 5 ед.— это 15 единиц,

• из 15 единиц вычтем 8 единиц, получится 7 единиц,

• записываем ответ под единицами и т.д.

На одном из подобных примеров можно пояснить, почему удобнее письменное вычитание начинать с единиц.

Наиболее трудным является решение примеров вида:

900 – 547, 906 — 547, 1000-456, которые рассматриваются в III классе.

Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз (1000 – 456, так как единиц, десятков и сотен нет, берем 1 тысячу, раздробляем ее в сотни, получаем 10 сотен; из 10 сотен берем одну сотню — ставим точку и запоминаем, что осталось 9 сотен; 1 сотню раздробляем в десятки, получаем 10 десятков и т. д.). Можно еще раз обратиться к наглядным пособиям (квадратам или счетам) и показать, что 1 сотня — это 9 десятков и 10 единиц, 1 тысяча — это 9 сотен, 9 десятков и 10 единиц.

Для выработки вычислительных навыков на каждом этапе изучения вычитания необходимо давать достаточное количество упражнений тренировочного характера. В процессе выполнения этих упражнений рассуждения учащихся должны становиться более краткими, а вычисления выполняться быстрее.

Примеры упражнений:

1. решите примеры на сложение и проверьте их вычитанием;

2. решите примеры на вычитание и проверьте их вычитанием;

3. решите в столбик только те из данных примеров, которые устно решить трудно;

4. объясните ошибки, допущенные при письменном решении данных примеров;

4. вставьте пропущенные цифры:

_252 _625 _857 _865

18 . 1.. .2. 2.7

. .4 .23 6.8 658

6) решите данные примеры, установите, чем похожи приемы вычислений в каждом столбике, составьте к каждому столбику и решите еще 2 (3, 4) подобных примера:

567 – 209 478 – 89 538 – 229

684 – 406 234 – 65 465 – 156

395 – 107 356 – 78 644 – 335

Позднее включаются упражнения с равенствами, неравенствами, уравнениями, в которых приходится применять письменные вычисления.

17. Методика изучения письменного алгоритма умножения (1 этап).

Переход от устного умножения к письменному необходимо построить так, чтобы учащиеся поняли, что сущность вычислительного приема как при устном, так и при письменном умножении на однозначное число одна и та же: в обоих случаях используется свойство умножения суммы на число, но письменное умножение начинается с низших разрядов, устное — с высших. Кроме того, дети должны осознать, что к письменному умножению обращаются в том случае, когда устно вычислять трудно.