III этап. Умножение на двузначное и трехзначное число.

Умножение на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе свойства умножения числа на сумму.

Полезно начать работу с устного умножения двузначного числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбираются более легкие случаи, например:

16 • 12 = 16 • (10 + 2) = 16 • 10 + 16 • 2 = 160 + 32 = 192

Затем надо предложить более трудный случай, например:

87 • 64 = 87 • (60 + 4) = 87 • 60 + 87 • 4

Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учитель предлагает выполнить вычисления письменно:

х	87		х	87		+	5520
	60			4			348
	5220			348			5568

Далее учитель показывает более короткую запись и дает соответствующее объяснение:

х	87
	64
+	348
	5520
	5568

Чтобы умножить 87 на 64, надо сначала умножить 87 на 4, затем умножить 87 на 60 и полученные числа сложить.

• Умножаем 87 на 4: четырежды семь — 28; 8 запишем, 2 запоминаем;

• четырежды восемь — 32, да 2, получим 34, записываем 34.

• Получили 348.

• Теперь умножаем 87 на 60.

• Для этого надо 87 умножить на 6 и полученное число умножить на 10, т.е. приписать к нему справа нуль, пишем нуль на месте единиц.

• 7 умножить на 6 — 42, 2 пишем на месте десятков, 4 запоминаем.

• 8 умножить на 6 — 48, да 4 — 52, пишем 52.

• Получим 5220.

• Сложим числа 348 и 5220.

• Произведение 5568.

Здесь 87 и 64 — множители,

348 — первое неполное произведение,

5220 — второе неполное произведение,

5568 — окончательный результат или произведение чисел 87 и 64.

Полезно, чтобы при объяснении вычислительного приема учащиеся сначала указывали все основные операции в определенной последовательности. Это способствует пониманию места и значения каждой операции. Подробное объяснение дается только тем операциям, которые являются новыми для учащихся, знакомые же операции выполняются самостоятельно, при этом даются краткие пояснения.

После решения нескольких примеров (134 • 46, 268 • 37, 451 • 32) учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения: оно всегда оканчивается нулем, следовательно, при сложении неполных произведений единиц всегда будет столько, сколько их в первом неполном произведении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками.

Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число.

На первых порах изучения умножения на двузначное и особенно на трехзначное число наряду с решением примеров полезно включать упражнения на составление плана решения, который записывают в виде выражения, но самого действия не выполняют, например:

286 • 374 = 286 • 4 + 286 • 70 +286 • 300

Целесообразно предлагать и обратные упражнения, когда по плану решения (84 • 6 + 84 • 30) надо составить пример (84 • 36), а в целом можно записать следующее равенство: 84 • 6 + 84 • 30 = 84 • 36.

Подобные упражнения фиксируют внимание учащихся на вычислительном приеме и том свойстве, которое лежит в его основе.

Следует обратить внимание еще на одну группу упражнений, цель которых состоит в том, чтобы предупредить смешение сходных вычислительных приемов при умножении на двузначные числа. Укажем некоторые из них.

1) Учащимся предлагается рассказать способ решения пары примеров, составленных с таким расчетом, чтобы на фоне сходного ярче выступало различие приемов. Как умножить письменно 138 на 14? (Надо 138 умножить на 4, 138 умножить на 10, полученные результаты сложить: 138 • 14 = 138 • 4+ 138 • 10.)

Как умножить 138 на 40? (Надо 138 умножить на 4 и полученный результат умножить на 10; 138 • 40 = 138 • 4 • 10.)

2. Упражнение, обратное первому. Если 376 умножили на 4, 376 умножили на 10 и полученные числа сложили, то на какое число умножили 376? (376 • 14) И вопрос, и ответ можно записать так: 376-4+376-10=376-14. Если 376 умножим на 4 и полученный результат умножим на 10, то на какое число умножили 376? (376 • 40.) Запись: 376 • 4 • 10 = 376 • 40.

2. Устное и письменное решение пар примеров в одно действие: 25 • 12 и 25 • 20; 194 • 16 и 194 • 60, а также письменное решение пар примеров в несколько действий и сравнение их. Что больше и на сколько: произведение 346 • 7 • 10 или сумма произведений 346 • 7 + 346 • 10?

2. Решение примеров разными способами, например:

25 • 16 = 25 • (4 • 4)=25 • 4 • 4

25 • 16 = 25 • (2 • 8) =25 • 2 • 8

25 • 16 = 25 • (10 + 6)

25 • 16 = 16 • 25=16 • (5 • 5) = 16 • 5 • 5 и др.

5) Решение примеров наиболее удобным способом:

32 • 2 • 50 = 32 • 100 73 • 6 • 3 + 73 • 2 = 73 • 20

54 • 80 + 54 • 20 = 54 • 100 83 • 16 + 17 • 16 = 100 • 16

Учитель записывает на доске только левую часть приведенных равенств, а правую часть записывают учащиеся.

После того как общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число рассмотрены, включаются частные случаи умножения: умножение чисел, в записи которых на конце или в середине множителей есть нули. При изучении этих случаев умножения учащиеся имеют дело с уже знакомыми им приемами, только в новых условиях, поэтому им надо предоставлять как можно больше самостоятельности.

После умножения на двузначное и трехзначное число нату­ральных чисел вводится умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. При этом используется один спо­соб: величину, выраженную в единицах двух наименований, вы­ражают в единицах одного наименования, умножают эту вели­чину на число и результат выражают в единицах двух наиме­нований.

При изучении всех случаев умножения прежде всего необ­ходимо добиться понимания вычислительного приема, после че­го вести работу по формированию вычислительных навыков. Для выработки навыков большое значение имеет, во-первых, своевременное сокращение объяснений решения примеров и соответст­вующих записей, во-вторых, тщательно продуманная система тренировочных упражнений.

Для предупреждения ошибок надо приучить детей выполнять проверку решения. Письменное умножение проверяют способом прикидки результата. С этой целью находят произведение чи­сел высшего разряда множителей и сравнивают его с получен­ным результатом. Так, проверяя решение первого из приведен­ных примеров, найдем произведение 100-200 = 20 000, в резуль­тате же получили только 3288, значит, пример решен непра­вильно. Можно также проверять решение примеров на умно­жение делением.

В связи с изучением умножения многозначных чисел необ­ходимо повторять правила порядка выполнения действий; это­му способствуют упражнения: «Запишите выражения и найди­те их значения —к числу 803 прибавьте произведение чисел 254 и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их разность и т. п.».

20. Методика изучения письменного алгоритма деления (1 этап).

Как уже отмечалось, деление многозначных чисел "целесообразно изучать параллельно с ум­ножением, выделяя при- этом следующие этапы: после умноже­ния на однозначное число вводится деление на однозначное, чис­ло, вслед за умножением на разрядные числа дается деление на разрядные числа, сразу же после изучения умножения на двузначное и трехзначное число изучается деление на двузнач­ное и трехзначное число.

Рассмотрим каждый из названных этапов в отдельности.