3. Требования к результатам освоения дисциплины

С курса линейной алгебры начинается высшее профессиональное математическое образование. Слушатели должны владеть математическими знаниями в рамках программы средней школы.

Знания, полученные в этом курсе, используются в следующих курсах ООП ВПО:

Математический анализ,

Методы оптимальных решений,

Теория вероятностей и математическая статистика,

Анализ и математическое моделирование социально экономических показателей,

Эконометрика,

Микроэкономика,

Макроэкономика.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-14, ПК-15.

В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные определения и понятия по следующим разделам линейной алгебры: теория матриц, системы линейных уравнений, линейные пространства и линейная зависимость, геометрия евклидова пространства, собственные векторы и собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов, свойства квадратичных форм. Студенты должны знать логические связи между ними.

Уметь: формулировать и доказывать основные результаты этих разделов.

Владеть: навыками решения типовых задач с применением изучаемого теоретического материала.

4. Содержание и структура дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц.

4.1 Содержание разделов дисциплины

Таблица 1

№ п/п	Наименование раздела	Содержание раздела	Форма текущего контроля
1	Вводная лекция.	Понятие множества, операции над множествами. Действительные числа. Операции с числами, понятие алгебраического поля. Геометрическое изображение действительных чисел. Плотность множества рациональных чисел. Сравнение действительных чисел, свойства неравенств. Ограниченные множества, точные нижняя и верхняя грани. Традиционные математические обозначения, кванторы существования и общности.	Проверка домашнего задания
2	Матрицы	Понятие матрицы. Определения равных матриц, транспонированной, нулевой матриц. Диагональные, треугольные и единичные матрицы. Операции с матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на вектор и матрицу. Целая степень матрицы.	Проверка домашнего задания
3	Определители	Определители квадратных матриц произвольного порядка. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Понятия минора и алгебраического дополнения. Теорема Лапласа и вытекающие из нее свойства определителей. Пример вычисления определителя четвёртого порядка разложением по строке или по столбцу. Доказательство свойств определителя. Тождественные преобразования определителя с обнулением части его элементов.	Проверка домашнего задания
4	Обратная матрица.	Определение обратной матрицы. Доказательство единственности. Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Пример нахождения обратной матрицы к матрице третьего порядка.	Проверка домашнего задания
5	Ранг матрицы.	Понятие ранга матрицы, основанное на ненулевых минорах. Элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы. Ступенчатый вид матрицы. Пример приведения матрицы к ступенчатому виду. Свойства ранга. Понятие линейной независимости строк матрицы. Теорема о ранге матрицы по строкам и по столбцам.	Проверка домашнего задания
6	Системы линейных алгебраических уравнений.	Постановка задачи. Матричная запись системы. Пример системы второго порядка, геометрический смысл решений. Влияние рангов матрицы системы и расширенной матрицы на множество решений. Методы решения систем с невырожденными матрицами: обратной матрицы, Крамера, Гаусса. Обобщение метода Гаусса на системы с вырожденными или неквадратными матрицами. Теорема Кронекера–Капели. Линейность пространства решений системы линейных однородных алгебраических уравнений, его размерность. Фундаментальная система решений. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.	Проверка домашнего задания, контрольная работа
7	Аналитическая геометрия на плоскости.	Прямоугольная и полярная системы координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении. Общее уравнение прямой на плоскости и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Способы построения уравнения прямой: по угловому коэффициенту и точке, по двум точкам, по точке и направляющему вектору. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.	Проверка домашнего задания
8	Комплексные числа как элементы плоскости.	Алгебраическая форма представления комплексных чисел. Понятия модуля и аргумента комплексного числа, тригонометрическая и экспоненциальная формы представления комплексных чисел Арифметические операции над комплексными числами.	Проверка домашнего задания
9	Аналитическая геометрия в пространстве. Трехмерное векторное пространство.	Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Понятие вектора как элемента линейного пространства. Трехмерное линейное пространство, координаты вектора в прямоугольной системе координат. Скалярное произведение. Векторное произведение. Смешанное произведение. Понятия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.	Проверка домашнего задания
10	Аналитическая геометрия в пространстве. Трехмерное аффинное пространство.	Аффинное пространство точек и связанное с ним векторное пространство. Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Нормальный вектор к плоскости. Уравнение плоскости с заданным нормальным вектором, проходящей через заданную точку. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Способы задания прямой в трехмерном пространстве. Угол между прямыми, а также угол между прямой и плоскостью в трехмерном пространстве.	Проверка домашнего задания, контрольная работа
11	Евклидово пространство.	Арифметическое пространство . Операции над его элементами. Скалярное произведение в этом пространстве. Общее понятие линейного пространства. Размерность и базис конечномерного линейного пространства. Аксиомы скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Метрические соотношения в евклидовом пространстве. Ортогональная система векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Существование ортонормированного базиса. Ортогональное дополнение к подпространству и ортогональная проекция вектора на подпространство евклидова пространства.	Проверка домашнего задания
12	Линейные операторы.	Определение линейного оператора, действующего из в. Матричное представление линейного оператора в заданном базисе приm=n. Сумма, произведение операторов и умножение оператора на число. Связь матриц оператора в разных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, их связь с собственными значениями и собственными векторами матриц. Матрица оператора в базисе его собственных векторов в случае их линейной независимости. Линейная модель международной торговли.	Проверка домашнего задания
13	Квадратичные формы	Определение квадратичной формы от n переменных, ее матричное представление. Преобразование матрицы квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании переменных. Понятие канонического вида квадратичной формы, теорема о приведении к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.	Проверка домашнего задания, контрольная работа