UMK_UMF_010501

2. Привести к простейшему виду уравнение:

2uxx 7uxy 6uyy 3ux 5u 0.

Вариант 6

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

x

2u

2u

0.

x>0;

x

2

y

2

2u

2x

2u

x

2 2u

u

б)

2

0.

x

2

y

2

x y

y

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 6uxy 25uyy 4ux 8uy 0.

Вариант 7

1. Привести к каноническому виду уравнения:

2 2u

2u

2 2u

а) y

2xy

x

0.

x

2

x y

y

2

б) y

2u

x

2u

0.

x>0, y>0

x

2

y

2

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 2uxy 3uyy uy 0.

Вариант 8

1. Привести к каноническому виду уравнения:

2u

y

2u

а)

0. y>0

x

2

y

2

б)

y 2

2u

6xy

2 u

5x 2

2u

0.

2

2

x

x y

y

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 2uxy uyy 3ux 5uy 4u 0.

Вариант 9

1. Привести к каноническому виду уравнения:

2u

y

2u

а)

0. y<0

x

2

y

2

б)

y2

2u

x2

2u

2x

u

0.

2

2

x

y

x

2. Привести к простейшему виду уравнение:

4uxx 4uxy uyy 6ux 5uy 0.

Вариант 10

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)	2u	2 y	2u	y2	2u	2	u	0.
	2		x y		2
	x				y		x

21

б)	x	2u	y	2u	0. x<0, y<0
		2		2
		x		y

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 3uxy 2uyy 3ux 3uy u 0.

Вариант 11

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

xy

2u

2u

y u

1 u

0. x>0, y<0

x

2

y

2

2 x

2 y y

б)

y2

2u

4xy

2u

5x2

2u

0.

2

2

x

x y

y

2. Привести к простейшему виду уравнение: uxx 2uxy uyy 9ux 9uy 9u 0.

Вариант 12

1. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

2u

xy

2u

x

u

1

u

0. x<0, y<0

2

2

2 y

x

y

2x x

б) e2 x

2u

2ex

2u

2u

u

0.

2

2

x

x y

y

x

2.Привести к простейшему виду уравнение: uxx 4uxy 3uyy 5ux uy 4u 0.

Примерные задачи контрольной работы №2

Вариант 1

Найти решение задачи Коши:

а) u

u

12 u

0 ,

x

,

y 0;

u

e

x

, u

0 .

xx

xy

yy

y 0

y

y 0

б) utt uxx xsin t, t 0,

x

; u

3e x , ut

1

t 0

t 0

x 1

Решить смешанные задачи:

а) utt 9uxx , x 0, t 0, u x,0 x2 , ut x,0 x, u 0,t t2 .

б) 4utt uxx 6xt, x 0,

t 0, u x,0 cosx,ut x,0 0,ux 0,t sint

Вариант 2

Найти решение задачи Коши

а) u xx

4u xy

3u yy 0,

x

, y

0; u

y 0

0,

u y

y 0

sin x.

б) utt

9u xx

x2 t2 , t 0,

x

;

u

t 0

x2 sin

x, ut

t 0

cos 2 x.

Решить смешанные задачи:

x 0, t 0, u x,0 sin x,

x,0

1,

0,t cos t

а) utt uxx,

ut

ux

б) utt 9uxx e x t ,

x 0,

t 0, u x,0 1 x,

ut x,0 1 cos x,

u 0,t cost

Вариант 3

Найти решение задачи Коши

22

а) u xx

u xy 2 u yy 0 ,

x

,

y

0;

u

y 0 cos

x ,

u y

y 0 1 sin x.

б) utt

4uxx x t 2 ,

t 0,

x

;

u

t 0 ln x2 1 ,

ut

t 0 cos 2x.

Решить смешанные задачи:

0, u x,0 x

3

ut x,0 3x

2

,ux 0,t 9t

а) utt 9uxx, x 0, t

,

б) 25utt uxx e x ,

x 0,

t

0 , u x,0 x,

ut x,0 sin x, u 0,t sin t

Вариант 4

Найти решение задачи Коши

а) uxx

5uxy 4uyy

x

, y 0; u

1

u y

y 0 x.

0,

,

y 0

x 1

б) utt 25uxx e

2t

, t 0,

x

; u

t 0

1

,

ut

t 0 sin x.

x2 1

Решить смешанную задачу

, x 0,

t 0, u x,0 xcos x,

x,0 1,

u 0,t sint ln 1 t

а) utt

uxx

ut

б) 0,25utt

uxx

xt, x 0,

t 0 , u x,0 cosx,ut x,0 0,ux 0,t sint

Вариант 5

Найти решение задачи Коши

а) u xx 4u xy 3u yy

0,

x

, y

0; u

y 0

2 , u y

y 0 sin x.

б) utt 16 u xx 6,

t 0,

x

;

u

t 0 x 2 ,

ut

t 0 4 x.

Решить смешанные задачи:

t 0, u x,0 x

2

ut x,0 2x,

ux 0,t sin t

а) utt

uxx,

x 0,

x,

xsint,

x 0,

t 0,

u x,0 cos x,

x,0 1, u 0,t 1 sin t

б) utt 4uxx

ut

Вариант 6

Найти решение задачи Коши

а) u xx u xy 6 u yy

0 ,

x

,

y 0; u

y 0 e x ,

u y

y 0 0 .

б)

u

9u et ,

x

, t 0

,

u x,0 1 x, u

x,0

4 3 cos

x

tt

xx

t

3

Решить смешанные задачи:

а) 9utt uxx , x 0, t 0, u x,0 e x ,ut x,0 0,ux 0,t e t

б) utt uxx x2 t2, x 0, t 0, u x,0 x2 , ut x,0 x,u 0,t ln 1 t

Вариант 7

Найти решение задачи Коши

а) u xx

4u xy 3u yy 0,

x

, y 0; u

y 0

1,

u y

y 0

e x .

u xx e x , t 0,

б) utt

x

;

u

t 0 sin

x,

ut

t 0

cos

x.

Решить смешанные задачи:

а) utt 4uxx ,

x 0, t 0,u x,0 1 x,

ut x,0 cos x, u 0,t 1 sin t

б) 0,25utt

uxx e t ,

x 0,

t 0 , u x,0 cosx,ut x,0 0,ux 0,t t2

Вариант 8

Найти решение задачи Коши

а) u xx

3u xy

4 u yy

0,

x

,

y

0;

u

y 0

sin

2 x, u y

y 0

sin x.

t

1

e ,

t 0,

x

;

u

sin

x.

б) utt

9uxx

, ut

t 0

x2

1

t 0

23

Решить смешанные задачи:

						2
			,	x 0,	t 0, u x,0 x 1 ,		ut x,0 1, ux 0,t cos 10t
а) utt	0,01 uxx
б) utt 4uxx		2t		x 2 ,	x 0,	t 0, u x,0 cosx,		ut x,0 1,u 0,t ln 1 t cost

Вариант 9

Найти решение задачи Коши

а) u xx

3u xy 4u yy

0,

x

,

y 0; u

y 0

cos 2 x , u y

y 0 cos

x.

б) utt 9uxx 6xt,

x

, t 0 , u x,0 x2 1, ut x,0 4x.

Решить смешанную задачу

а) utt 16uxx , x 0,

t 0

, u x,0 x,ut x,0 sinx,ux 0,t cost

б)

u u t x 2

, x 0,

t 0

,

u x,0 x2 ,

u x,0 x,u 0,t

1 cost

tt

xx

t

Вариант 10

Найти решение задачи Коши

а) 2u xx 3u xy

u yy

0,

x

, y

0;

u

y 0

cos

x ,

u y

y 0

sin x.

u

u 4x

2

,

x

, t 0

2

2

, u x,0 x

x,0 x .

б)

tt

xx

1, ut

Решить смешанные задачи:

x 0, t 0, u x

,0

x

ut x,0 cos

ux 0,t t

а) utt

4uxx,

e

,

x,

б) utt uxx sin t x ,

x 0, t

0, u x,0 x2

1,

ut x,0 0,u 0,t t cost

Вариант 11

Найти решение задачи Коши

а) 2u xx u xy u yy

0,

x

,

y

0; u

y 0

sin

x ,

u y

y 0

cos x.

б) utt uxx

xe t ,

x

,

t 0,

u x,0 cos 2

x,

ut x,0 1.

Решить смешанные задачи:

t 0,

0,t cost

а) utt

16uxx , x 0,

u x,0 x,ut

x,0 sinx,ux

б) utt

uxx

tsin x,

x 0,

t 0, u x,0 2,ut x,0 x 1,

ux 0,t t2

t

Вариант 12

Найти решение задачи Коши

0,

y

, x 0;

u

2

y .

а) u xx

u yy

2u x 2u y

x 0 y

, u x

x 0 1

б) utt uxx

xsin t,

x

,

t

0 , u x,0 sin 2 x, ut x,0 x.

Решить смешанные задачи:

а) utt 4uxx , x 0, t 0, u x,0 x3 , ut x,0 0, u 0,t t3 .

u

u

e x t , x 0, t 0

u x,0

, u x,0 0, u

0,t 4t

б)

,

x

tt

xx

t

x

Примерные задачи контрольной работы №3

Вариант 1

Решить смешанные задачи:

а) utt 36uxx ,t 0,0 x 1, u(0,t) 0, u 1,t 0 , u x,0 5sin x0, ut (x,0) 0 .

24

б) ut uxx u xt 2 t ,t 0,0 x , ux (0,t) t2 , ux ,t t2 ,u x,0 cos 2x.

Вариант 2

Решить смешанные задачи:

а) u

tt

16u

xx

,t 0,0 x 1

ux (0,t) 0,

u 1,t 0 ,

,

u x,0 cos

3

x, ut (x,o) cos

x.

2

2

u l,t 0,u x,0 1.

б) ut uxx u,t

0,0 x l , u(0,t) 0,

Вариант 3

Решить смешанные задачи:

а)	utt	4uxx	t,t 0,0 x l , ux (0,t) 0,	ux l,t t,u x,0 0,	ut (x,0) 0.
б)	ut	9uxx	2u,t 0,0 x l , u(0,t) 0,	u l,t 0,u x,0 1.

Вариант 4

Решить смешанную задачу

а) utt	9uxx		e t ,t 0,0 x , u(0,t) 0,			ux ,t 0,u x,0 0, ut (x,o) 1 x.
б) ut	uxx	4u sin		2	,t 0,0 x l , u(0,t) 0, u l,t 0,u x,0 x.
				l

Вариант 5

Решить смешанные задачи:

а) utt

2ut

uxx

u,t 0,0 x , u(0,t) 0,

u ,t t,u x,0 x x2 ,

ut (x,0) 0.

б), utt 9uxx ,t 0,0 x 1, u(0,t) t 1,

u 1,t t3

2,u x,0 x 1,

ut

(x,0) 0.

Вариант 6

Решить смешанные задачи:

а) utt

uxx

2ut

u,t 0,0 x , u(0,t) 0,

u ,t 0,u x,0 0, ut

(x,0) x.

x,0

б) ut

uxx

,t 0,0 x

, ux (0,t) 0,

u

,t

0,u

2

x.

2

2

Вариант 7

Решить смешанные задачи:

а)	utt	36uxx 9sint,t 0,0 x l,			u(0,t) 0,	ux l,t 0,u x,0 x,ut x,0 0 .
									0,u x,0
б)	ut	uxx tcos x,t 0,0 x		, ux (0,t) 0,		u		,t		2	x.
			2
						2

Вариант 8

Решить смешанные задачи:

а) utt uxx

x,t 0,0 x , u(0,t) 0,

u ,t 0,u x,0 sin 2x,

ut (x,0) 0.

25

б) ut 4uxx u xt 2 t ,t 0,0 x , ux (0,t) t2 ,

ux ,t t2 ,u x,0 cos x.

Вариант 9

Решить смешанные задачи

а) utt	uxx	xe t ,t 0,0 x 1, u(0,t)	0, ux 1,t 0,u x,0 0, ut (x,0) 1 x.
б) ut	uxx	4u,t 0,0 x , u(0,t) 0,	u ,t 0,u x,0 x2 x.

Вариант 10

Решить смешанные задачи:

а) utt	25uxx xsint,t 0,0 x 1, u(0,t) 0, u 1,t 0,u x,0 0,	ut (x,0) 0.
б) ut	uxx u,t 0,0 x l, u(0,t) 0, u l,t 0,u x,0 l x x.

Вариант 11

Решить смешанные задачи:

а) utt	16uxx	5sint,t 0,0 x l , u(0,t) 0,						ux l,t 0,u x,0 x,			ut (x,0) 0.
								0,u x,0
б) ut	uxx ,t 0,0 x			, ux (0,t) 0,	u		,t		2	2x.
			2
					2

Вариант 12

Решить смешанные задачи:

а) 25utt 4uxx ,t 0,0 x 2, u(0,t) 0, ux 2,t 0,u x,0 sin			x,	ut (x,0) cos	3	x.
		4			2
б) ut uxx e t sin3x,t 0,0 x , u x,0 0,	u 0, t 0,ux ,t 0.

5. ПРИМЕРЫ ЗАЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1. Поставить краевую задачу:

Упругий стержень переменного сечения S x , концы которого упруго закреплены (коэффициент упругого закрепления k), совершает свободные малые продольные колебания, вызванные некоторым начальным возмущением. Плотность массы равна x , модуль упругости – E x .

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а)	2u	x	2u		=0, x<0;
	x2		y2
								0.
б) uxx		4uxy		4uyy		3ux	6uy

Вариант 2

1. Поставить краевую задачу:

Боковая поверхность стержня 0 x l теплоизолирована. Начальная температура стержня нулевая, один конец поддерживается при нулевой температуре, а другой теплоизолирован и с момента t 0 действует распределенный внутренний источник тепла мощности q(x).

2. Привести к каноническому виду уравнения:

26

а)	2u	x	2u	=0, x>0;
	x2		y2
''		''		''		1 '		'
б) uxx		+2uxy		+5uyy	+		ux	+2uy	= 0.
						2

Вариант 3

1. Поставить краевую задачу:

Боковая поверхность стержня теплоизолирована, а на концах происходит

конвективный теплообмен со средами, температура которых и1 и и2. Начальная

температура стержня нулевая

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а) x

2 2 u

2 xy

2 u

y

2 2 u

0 .

x

2

y

2

x y

0.

б) 3uxx

5uxy

2uyy

3ux uy

Вариант 4

1.

Поставить краевую задачу:

На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвективный теплообмен по

закону

Ньютона

со

средой,

температура которой uср t . На одном конце его

поддерживается температура

f t , а на другой теплоизолирован. Начальная температура

точек стержня равна нулю.

2.

Привести к каноническому виду уравнения:

а) y

2 2u

x

2

2u

2x

u

0.

x

2

y

2

x

б) uxx 4uxy 5uyy ux uy 4u 0.

Вариант 5

1. Поставить краевую задачу:

Струна длины l плотностью (x) с жестко закрепленными концами совершает свободные малые поперечные колебания под действием импульса Р(х), сообщенного

точкам струны в момент времени t										0, смещения точек струны в начальный момент
равны нулю.
2. Привести к каноническому виду уравнения:
	а) x	2u			2u
							0. x<0;
		x	2		y	2
	б) 2uxx		7uxy			6uyy 3ux 5u 0.
1.	Поставить краевую задачу:									Вариант 6
	Однородный стержень плотностью длины l, один конец которого закреплен
жестко, а к другому с момента t 0										приложена сила F0 const , совершает свободные
малые продольные колебания. Начальные условия произвольные
2. Привести к каноническому виду уравнения:
	а) x	2u			2u
							0. x>0;
		x	2		y	2
	б) uxx 6uxy					25uyy		4ux	8uy 0.
3.	Поставить краевую задачу:									Вариант 7

27

Однородная струна длины l с линейной плотностью совершает малые поперечные колебания в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Концы струны закреплены жестко. В начальный момент времени струна имеет форму x l x , начальные скорости точек струны нулевые, внешние воздействия отсутствуют.

4. Привести к каноническому виду уравнения:

а) y

2 2u

2xy

2u

x

2 2u

0.

x

2

x y

y

2

0.

б) uxx

2uxy

3uyy uy

Вариант 8

1. Поставить краевую задачу:

Однородный стержень плотностью длины l, конец которого x=0 закреплен, а к противоположному концу приложена сила Q, направленная вдоль стержня, совершает свободные малые продольные колебания. Скорости точек стержня в момент времени

t 0	описываются функцией v x , смещения в начальный момент равны нулю.
2. Привести к каноническому виду уравнения:
а)		2u		+y	2u	=0, y>0;
		x2			y2
б) 3uxx 10uxy							3uyy 2ux 4u 0.
								Вариант 9
1. Поставить краевую задачу:
	Однородная						струна,	натянутая между точками x 0 и	x l , совершает

вынужденные малые поперечные колебания под действием силы f(x,t), рассчитанной на единицу длины. В точке x=l/2 струна оттягивается на небольшое расстояние h от

положения равновесия и в момент времени t

0 отпускается без начальной скорости.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

2u

+y

2u

=0, y<0;

x2

y2

б) 4uxx

4uxy

uyy

6ux 5uy 0.

Вариант 10

1. Поставить краевую задачу:

на концах x 0

и x l , имеет в

Однородная струна, жестко закрепленная

2

начальный

момент

форму

u0 x =asin

x ,

Струна совершает

свободные малые

l

поперечные колебания Начальные скорости отсутствуют.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

2u

2x

2u

x2

2u

2

u

0.

2

2

x

x y

y

y

б) uxx 3uxy 2uyy 3ux 3uy u 0.

Вариант 11

1. Поставить краевую задачу:

Один конец стержня длины d и площадью поперечного сечения S и плотностью закреплен упруго (коэффициент упругости k), а другой – свободен, совершает вынужденные продольные колебания под действием распределенной силы G(t), действующей вдоль стержня, при произвольных начальных данных.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

28

а) xy

2u

2u

y u

1 u

0.

x>0, y<0

x

2

y

2

2 x

2 y y

б) uxx 2uxy uyy 9ux 9uy 9u 0.

Вариант 12

1.Поставить краевую задачу:

Кконцам однородного стержня длины d с площадью поперечного сечения S и

плотностью приложены сжимающие силы F(t) и G(t), начиная с момента t 0. Стержень совершает вынужденные продольные колебания под действием постоянной распределенной силы P, при нулевых начальных данных.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а) xy

2u

2u

y u

1 u

0.

x<0, y<0

x

2

y

2

2 x

2 y y

4u 0.

б) uxx

4uxy

3uyy

5ux

uy

Вариант 13

1. Поставить краевую задачу:

Начальная температура тонкого однородного стержня длиной l равна нулю. Конец x 0 стержня поддерживается при постоянной температуре u 0 , а на конце x l происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю. Внутренних источников тепла стержень не имеет.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а)

y

2u

x

2u

0. x<0, y<0

x

2

y

2

12u 0.

б) 9uxx

6uxy

uyy

4ux

6uy

1. Поставить краевую задачу:

Вариант 14

Дана тонкая

прямоугольная пластинка со сторонами l, m для которой известно

начальное распределение температуры f(x, y). Боковые стороны x 0 и x l все время наблюдения удерживаются при температуре, равной нулю, а оба основания имеют

заданное распределение температуры: g0 x,0,t ,											g1 x,m,t .
2. Привести к каноническому виду уравнения:
а) y	2u		x	2u
							0.	x<0, y>0
	x	2		y		2
										u 0.
б) 2uxx		2uxy			uyy 4ux				4uy
										Вариант 15

1. Поставить краевую задачу:

Концы однородной струны длиной l упруго закреплены (коэффициент упругости k). Струна совершает свободные поперечные колебания при известных начальных смещениях а(х) и скоростях v(x).

2.	Привести к каноническому виду уравнения:
	а) y2	2u	x	2u	4		u	2		u	u 0. x>0
		2		2						x
		x		y			y
											u 0.
	б) 2uxx 3uxy 2uyy					2ux			5uy
1.	Поставить краевую задачу:										Вариант 16

29

Однородная струна длины l с линейной плотностью совершает малые поперечные колебания в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Концы

	струны закреплены жестко. В начальный момент времени струна имеет форму sin									x	,
									l
	начальные скорости точек струны нулевые, внешние воздействия отсутствуют.
	2. Привести к каноническому виду уравнения:
	а) x2	2u	y	2u	2		u	u 0. y<0
		2		2			x
		x		y
	б) 2uxx 5uxy 2uyy					ux		4uy 3u 0.

Вариант 17

1. Поставить краевую задачу:

На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой и0. На одном конце его поддерживается

температура

f t , а другой теплоизолирован. Начальная температура точек стержня равна

нулю.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

2u

2u

2u

1

y

u

а) y

2

xy

x

y

0.

x

2

x y

y

2

2 x

y

б) uxx

3uxy

2uyy 4ux 4uy 0.

Вариант 18

1. Поставить краевую задачу:

Боковая поверхность стержня теплоизолирована, на одном конце происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой и1, а на другом поддерживается постоянная температура и2. Начальная температура стержня нулевая 2. Привести к каноническому виду уравнения:

а)	y 2	2u	6xy	2 u	5x 2	2u	0.
		2		x y		2
		x				y

б) uxx 2uxy uyy 3ux 5uy 4u 0.

Вариант 19

1. Поставить краевую задачу:

Струна длины l плотностью x с упруго закрепленными концами (коэффициент упругости k) совершает свободные малые поперечные колебания под действием под действием внешней распределенной нагрузки F(x) смещения точек струны и их скорости в начальный момент равны нулю.

2. Привести к каноническому виду уравнения:

а)	x2	2 u	6xy		2u		7 y 2		2u	0.
		2							2
		x			x y				y
б)										2u 0.
	4uxx 4uxy			5uyy		2ux		4uy

Вариант 20

1. Поставить краевую задачу:

Один конец стержня длины d и площадью поперечного сечения S(x) и плотностью(x) закреплен упруго (коэффициент упругости k), а другой – жестко, совершает свободные продольные колебания. В начальный момент времени стержень недеформирован, а его точки имеют скорость v(x).

2. Привести к каноническому виду уравнения:

30