UMK_UMF_010501

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Кубанский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Факультет компьютерных технологий и прикладной математики Кафедра математического моделирования

Учебно-методический комплекс дисциплины

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Для образовательной программы по специальности 010501 Прикладная математика и информатика

Форма обучения

очная

Курс 3

Составитель д.ф.-м. н. Павлова А.В.

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры от « 22 » сентября 2011 г. (протокол № 2 )

Зав.кафедрой академик РАН, д.ф.-м. н. Бабешко В.А.

Краснодар 2011

	СОДЕРЖАНИЕ
		стр.
	Аннотация	3
1.	Организационно-методическая часть	5
2.	Рабочая программа дисциплины	10
3.	Задания для самостоятельной работы и формы контроля их	17
	выполнения
4.	Материалы для промежуточного контроля	19
5.	Примеры зачетных заданий	26
6.	Перечень вопросов, выносимых на экзамен и примеры	31
	экзаменационных задач
7.	Список рекомендуемой литературы	33
8.	Материально-техническое обеспечение дисциплины	34

2

Аннотация рабочей программы по дисциплине

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Курс 3 Семестр 5,6

Цель дисциплины: изучение фундаментальных основ теории уравнений математической физики в объеме, необходимом для общего развития и изучения смежных дисциплин физико-математического цикла; овладение аппаратом математической физики и подготовка к сознательному восприятия процедур прикладного анализа; освоение методов построения математических моделей на основе уравнений математической физики.

Задачи дисциплины:

Обучающие:

1.усвоение основных идей, понятий и фактов уравнений математической физики, необходимых для решения теоретических и прикладных задач применения дисциплины;

2.формирование навыков математически формулировать и решать задачи;

3.расширение и углубление теоретических знаний и развитие логического мышления.

Воспитательные:

4.подъем общего уровня математической культуры;

5.формирование творческого подхода к изучению физических процессов.

Место дисциплины в структуре ООП ВПО:

Место курса в профессиональной подготовке выпускника определяется выдающейся ролью методов и идей уравнений математической физики в формировании специалиста по любой области знаний, серьезно использующей математику; кроме того, многие дискретные, "конечные" модели, задачи и алгоритмы, характерные для данной специальности, имеют своим источником, прообразом или предельным случаем ту или иную бесконечномерную ситуацию, а потому требуют свободного владения идеями и подходами, выработанными в математической физике.

Данный курс наиболее тесно связан с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку большинство уравнений математической физики сводятся тем или иным способом к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Результаты обучения (знания, умения, опыт):

–знать основные теоремы теории уравнений математической физики (теоремы существования и единственности решения задач Коши основных типов, начально-краевых задач основных типов, теоремы о непрерывной зависимости решения задач Коши от начальных данных и параметров), представлять специфику задач решаемых с помощью уравнений математической физики;

–уметь находить решения: общие для основных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, задач Коши для уравнений параболического и гиперболического типов, начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов в ограниченных областях, внешних и внутренних краевых задач для уравнений эллиптического типа, уметь доказывать изучаемые теоремы.

3

–владеть основными методами решения начальных и краевых задач для уравнений математической физики и быть способным перевести конкретную прикладную задачу на язык дифференциальных уравнений с частными производными или интегральных уравнений и определить пути ее решения.

Содержание и структура дисциплины

№						Количество часов
	Наименование разделов			Всего	Аудиторная работа			Самостоятельная
раздела
								работа
					Л		ПЗ
1		2		3	5		6	7
1	Постановка и классификация			40	8		18	14
	задач математической физики
	Уравнения гиперболического
2	типа. Основные задачи и методы			40	28		–	12
	их решения
3	Вариационные методы в			4	2		–	2
	математической физике
	Итого 5семестр:			84	38		18	28
	Уравнения	гиперболического
4	типа. Основные задачи и методы			12	–		10	2
	их решения
5	Вариационные	методы	в	6	–		2	4
	математической физике
	Уравнения	параболического
6	типа. Основные задачи и методы			40	20		8	12
	их решения
	Уравнения эллиптического типа.
7	Основные задачи. Теория			40	20		8	12
	потенциала
	Применение интегральных
8	преобразований к решению			22	8		4	10
	задач математической физики
	Итого 6семестр:			120	48		32	40
	Итого:			204	86		50	68

Курсовые проекты или работы: не предусмотрены

Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях: лекции с мультимедийной техникой, мозговой штурм.

Вид аттестации: 5 семестр – зачёт; 6 семестр – экзамен

Основная литература

1.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во Моск.

ун-та: Наука, 2004. 798 с.

2.Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2008. 399 с.

2.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.

М.:Физматлит, 2004. 688 с.

3.Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики: методические указания. Краснодар: Изд-во КубГУ, 2002. 36 с.

Автор д.ф.-м.н. Павлова А.В.

4

1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цели изучения дисциплины определены «ГОСУДАРСТВЕННЫМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМ СТАНДАРТОМ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Специальность 010501 Прикладная математика и информатика. Квалификация - математик, системный программист»

Сферами профессиональной деятельности математика, системного программиста являются научно-исследовательские центры, государственные органы управления, образовательные учреждения и организации различных форм собственности, использующие методы прикладной математики и компьютерные технологии в своей работе.

Математик, системный программист подготовлен к выполнению аналитической, проектно-производственной и исследовательской деятельности в областях, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке и применению современных математических методов и программного обеспечения для решения задач науки, техники, экономики и управления; использованию информационных технологий в проектноконструкторской, управленческой и финансовой деятельности.

Выпускник подготовлен для продолжения образования в аспирантуре.

Основная образовательная программа подготовки математика, системного программиста разрабатывается на основании государственного образовательного стандарта и включает в себя учебный план, программы учебных дисциплин и практики. Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки математика, системного программиста, к условиям ее реализации и срокам ее освоения определяются государственным образовательным стандартом.

Содержание дисциплины ОПД.Ф.04 «Уравнения математической физики» в соответствии со стандартом:

уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач для уравнений математической физики.

Цели

изучение фундаментальных основ теории уравнений математической физики в объеме, необходимом для общего развития и изучения смежных дисциплин физикоматематического цикла;

овладение аппаратом математической физики и подготовка к сознательному восприятия процедур прикладного анализа;

освоение методов построения математических моделей на основе уравнений математической физики.

Задачи

Обучающие:

усвоение основных идей, понятий и фактов уравнений математической физики, необходимых для решения теоретических и прикладных задач применения дисциплины;

формирование навыков математически формулировать и решать задачи;

расширение и углубление теоретических знаний и развитие логического мышления.

5

Воспитательные:

подъем общего уровня математической культуры;

формирование творческого подхода к изучению физических процессов.

Место среди смежных дисциплин

Место курса в профессиональной подготовке выпускника определяется выдающейся ролью методов и идей уравнений математической физики в формировании специалиста по любой области знаний, серьезно использующей математику; кроме того, многие дискретные, "конечные" модели, задачи и алгоритмы, характерные для данной специальности, имеют своим источником, прообразом или предельным случаем ту или иную бесконечномерную ситуацию, а потому требуют свободного владения идеями и подходами, выработанными в математической физике.

Данный курс наиболее тесно связан с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку большинство уравнений математической физики сводятся тем или иным способом к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Сфера использования

Уравнения математической физики лежат в основе математических моделей реальных явлений, используются в моделировании физических, химических, биологических, экономических и социальных процессов, а также в инженернотехнических приложениях.

Начальные знания, умения и навыки

Для успешного освоения курса "Уравнения математической физики" студент должен владеть знаниями из курсов математического анализа, линейной алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений, в объеме, предусмотренном для соответствующей специальности.

Итоговые знания, умения и навыки

В результате изучения дисциплины студенты должны:

-знать основные теоремы теории уравнений математической физики (теоремы существования и единственности решения задач Коши основных типов, начально-краевых задач основных типов, теоремы о непрерывной зависимости решения задач Коши от начальных данных и параметров), представлять специфику задач решаемых с помощью уравнений математической физики.

-уметь находить решения: общие для основных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, задач Коши для уравнений параболического и гиперболического типов, начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов в ограниченных областях, внешних и внутренних краевых задач для уравнений эллиптического типа, уметь доказывать изучаемые теоремы.

-владеть основными методами решения начальных и краевых задач для уравнений математической физики и быть способным перевести конкретную прикладную задачу на язык дифференциальных уравнений с частными производными или интегральных уравнений и определить пути ее решения

6

Требования к уровню освоения содержания курса определяются вышесказанным, содержание курса должно быть усвоено настолько глубоко и основательно, чтобы обеспечить потребности смежных курсов, а также активное владение методами математической физики (в особенности прикладного), которые могут встретиться в дальнейшей практической работе выпускника.

Объем дисциплины «Уравнения математической физики» и виды учебной работы

Вид учебной работы		Всего часов
Общая трудоемкость дисциплины
	5 семестр
Общая трудоемкость дисциплины		84
Аудиторные занятия		56
Лекции (Л)		38
Практические занятия (ПЗ)		18
Семинары (С)		–
Самостоятельная работа		28
Форма итогового контроля		зачет
	6 семестр
Общая трудоемкость дисциплины		120
Аудиторные занятия		80
Лекции (Л)		48
Практические занятия (ПЗ)		32
Семинары (С)		–
Самостоятельная работа		40
Форма итогового контроля		экзамен

Курс «Уравнения математической физики» изучается студентами в 5, 6 семестрах в объеме 136 часов аудиторных (лекционных – 86, практических занятий 50) и 68 часов самостоятельной работы.

Распределение часов дисциплины по темам и видам работ

5 семестр

			Тема	Количество часов
				Лекции	Практика
	1.	Постановка	и классификация задач	8	18
	математической физики
	2.	Уравнения гиперболического типа. Основные		28	–
	задачи и методы их решения
	3.	Вариационные	методы в математической	2	–
	физике
	Итого 5семестр			38	18

7

6 семестр

	1.	Уравнения гиперболического типа. Основные			–	10
	задачи и методы их решения
	2.	Вариационные методы в	математической		–	2
	физике
	3.	Уравнения параболического типа.		Основные	20	8
	задачи и методы их решения
	4.	Уравнения эллиптического	типа.	Основные	20	8
	задачи. Теория потенциала
	5.	Применение интегральных преобразований к			8	4
	решению задач математической физики
	Итого 6 семестр				48	32
	Итого				86	50

Виды учебной работы

5 семестр

Курс «Уравнения математической физики» изучается студентами в 5 семестре в объеме 86 часов: лекционных – 38, практических занятий 18, и 28 часов самостоятельной работы:

-лекции (2 часа в неделю);

-практические занятия (1 час в неделю);

-самостоятельная работа с литературой и решение задач.

6 семестр

Курс «Уравнения математической физики» изучается студентами в 6 семестре в объеме 118 часов: лекционных – 48, практических занятий 32, и 40 часов самостоятельной работы:

-лекции (3 часа в неделю);

-практические занятия (2 часа в неделю);

-самостоятельная работа с литературой и решение задач.

Формы текущего, промежуточного и итогового контроля

Текущий контроль проводится на протяжении семестра в ходе занятий. При этом оценивается уровень участия студентов в аудиторной работе. С целью текущего контроля проводится проверка домашних заданий. Результатом текущего контроля являются оценки, выставляемые преподавателем. При этом учитывается также посещаемость студентами практических занятий и активность на них.

Результаты текущего контроля периодически обсуждаются на заседаниях кафедры.

Промежуточный контроль (аттестация) студентов осуществляется в рамках практических занятий. Промежуточный контроль обеспечивает проведение контрольных работ. Результаты промежуточного контроля проставляются преподавателем в Журнале учета учебных занятий и обсуждаются на заседании кафедры.

Порядок проведения итоговой аттестации определяется в соответствии с установленным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 010501 – Прикладная математика и информатика.

8

5семестр

Врамках данного курса в 5 семестре предусмотрена 1 контрольная работа. Основная форма итогового контроля в 5 семестре — зачет.

Необходимыми условиями сдачи зачета является знание основных уравнений и постановок задач математической физики и решение задач (приведение уравнений второго порядка к каноническому и простейшему виду).

6семестр

Врамках данного курса в 6 семестре предусмотрено проведение 2 контрольных работ. Основная форма контроля — экзамен.

Экзамен имеет целью выявить и оценить теоретические знания и практические умения студентов по конкретной дисциплине. Необходимыми условиями сдачи экзамена являются твердое знание теоретических основ курса и решение задач.

Календарно-тематический план

		5 семестр
1–4-ая недели	– Постановка и классификация задач математической физики.
5–18-ая недели	– Уравнения	гиперболического	типа.	Основные	задачи		и
методы их решения
19-ая неделя	– Вариационные методы в математической физике
		6 семестр
1–7-ая недели	– Уравнения	параболического	типа.	Основные	задачи		и
методы их решения.
7-14-ая недели	– Уравнения эллиптического типа. Основные задачи.					Теория
потенциала
14–16-ая недели	– Применение интегральных преобразований к решению					задач

математической физики

9

2.РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

1.Постановка и классификация задач математической физики

Вывод основных уравнений математической физики (волновое, теплопроводности, стационарные) (2 ч.). Начальные и граничные условия. Постановка задач. Задача Коши. Теорема Ковалевской. Корректность постановки задач математической физики. Пример Адамара. Понятие обобщенных решений задач математической физики и пространства Соболева. Принцип суперпозиции для линейных задач математической физики. (2 ч.). Классификация уравнений второго порядка, линейных относительно старших производных. Характеристики. Приведение уравнений к каноническому виду (4 ч.).

Теоретический материал: 8 часов.

Тихонов А.Н., А.А. Самарский. Уравнения математической физики (глава 1, §1; глава 2, §1; глава 3, §1).

Практические занятия: 18 часов.

1) Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике, 2) Евдокимов А.А., Павлова А.В., Рубцов С.Е. Уравнения математической физики. Методические указания.

1. Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны и малых продольных колебаний стержня, интегральный закон сохранения количества движения. Начальные и граничные условия. Постановка задач.

Ваудитории: №№ 11, 15, 18, 20, 22 (1, глава 2) На дом: №№ 12, 16 (1, глава 2); 1–4 стр. 8 (2)

2.Вывод уравнения теплопроводности, интегральный закон сохранения энергии. Вывод уравнения диффузии, интегральный закон сохранения количества вещества. Начальные и граничные условия. Постановка задач.

Ваудитории: 3, 7, 12 (1, глава 3)

На дом: №№ 145, 146; 6–9 стр. 9 (2)

3. Вывод уравнений гидродинамики и акустики. Уравнения установившихся процессов. Граничные условия. Постановка задач.

В аудитории: 3, 6, (1, глава 4) На дом: №№ 4, 7 (1, глава 4)

4. Постановка задач математической физики

Ваудитории: 20, 22 (1, глава 2), 6, 17 (1, глава 3), 1 (1, глава 4) На дом: №№ 7 (1, глава 2), 9 (1, глава 3), 2 (1, глава 4)

5.Классификация уравнений 2-го порядка многих переменных. Классификация уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными, характеристическое уравнение и характеристики.

Ваудитории: №№ 24–27 (1, глава 1),

На дом: №№ 28, 29, 2, 4,5 (1, глава 1)

6. Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к каноническому виду (уравнения с постоянными коэффициентами)

Ваудитории: 1–5 (2) На дом: №№ 6–9(2)

7.Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к каноническому виду (уравнения с переменными коэффициентами)

Ваудитории: 6–11 (1, глава 1), 1,5,7 стр. 13 (2)

На дом: №№ 12–16 (1, глава 1)

10