TrAlg2s

21

						Продолжение задачи 2.8
12			у которых суммы элементов									B =			2		4		−2
			Матрицы 3-го порядка,												3		0			3
			любого столбца равны нулю
													−1				−4			5
			любой строки и										−						−
13			суммы элементов в обеих									B = (				3	3	−3 )
			Матрицы (2 ×				3), у которых									4	7		8
																	2
			строках одинаковы											-
													−
												ÂÌ
14			Матрицы, перестановочные с									МИРЭА
			матрицей A =					0	0	0		B =			0		−1		0
								0	1	0					1		1		0
								0	0	1					0		0		2
15	Матрицы,
			Кафедра
				антиперестановочные с								B =					−2
			матрицей A =					0	0	1					1					3
								1	0	0					0		1			1
							0 1 0					−1					−3		−2
16		Решения матричного уравнения										(							1 )
			· −1 0			1		( 0 0 0 )								1 3
			1	0		1							−2 1 −2
	X		0 0			−0 =			0 0 0			B =
17		Решения матричного уравнения										(								1 )
		·	1		ÌÃÒÓ( 0 0 0 )										1		2
				1		1							−1				−2		−1
	X		0	−0		0		=		0 0 0		B =
						−1											−
			−1	1

22

Продолжение задачи 2.8

18	Матрицы, перестановочные с								B =		2		3	0
	матрицей A =				1	0	0
					0	0	0				3		0	0
					0 1		0		−2 −2 3
19	Матрицы,
			перестановочные с						B =		0	1		2
	матрицей A =				0	1	0
					0	0	1				3	2		0
20	Матрицы,										-
												−
21					0	0	1		ÂÌ			22 3
											0
22	3-го порядка с нулевыми								BМИРЭА= 1 −1 −2
		антиперестановочные с							B = −1			−2		0
	матрицей A =				1	0	0
					0	0	0				2		0	0
					0 1		0		−1				1 2
	Матрицы,											3	−0
	Кафедраэлементов первой строки								−2
		антиперестановочные с							B =		0	0	−0
	матрицей A =				0	1	0
					0	0	1				2	0		2
					0	0	1				0	0		0
	Симметричные матрицы										2	1
			ÌÃÒÓ							−1		−2			3
	и третьего столбцов
	суммами элементов первого									−				−
23	3-го порядка с нулевой суммой								B =		2	0	−3
	Кососимметричные матрицы										0	2		2
24	Нижнетреугольные матрицы										4	2		0
	3-го порядка с нулевым следом								B =
	побочной диагонали										1	0		0
									−2			5	−3
	и нулевой суммой элементов

					23
	Продолжение задачи 2.8
25	Симметричные матрицы 3-го					B =				1			1	−0
	суммы элементов строк,
	порядка, у которых одинаковы									0			1			1
	а суммы элементов столбцов						−1					−0				1
	знакочередуются
26	Симметричные матрицы 3-го					B =		0				1			1
	суммы элементов столбцов,
	порядка, у которых одинаковы							0				0			0
	знакочередуются								-
	а суммы элементов строк							0			−21 −1
						ÂÌ
27	порядка, у которых суммa					МИРЭА
						B =				3		−2				1
	Симметричные матрицы 3-го									3			3			0
	равна нулю						−			0			1	−1
	элементов любого столбца
28	Кафедра					B = −1								0
	суммы элементов любого
	Матрицы (3	×	2), у которых									2 −3
	столбца равны нулю										−1			3
29	Симметричные матрицы,
	перестановочные с матрицей
		1	0	0							0	1		1
		0	1	0		B =					1	3		2
	A =	0 0 1									1 2 3
30
	Симметричные матрицы,
	антиперестановочные с матрицей
		0	1	0						2			0	0
	ÌÃÒÓ0 1 0									0		−0		2
	A =	0 0 1				B =				0			2	0
Задача 3.1. Линейный оператор C в пространстве													åñòü ïî-
					b						V3

		24
следовательное применение линейных операторов				A è B. Найти
	C? Если да, то описать его геометрическое			b b
матрицы операторов A, B, C в базисе i, j, k. Обратим ли опера-
	b b	b
òîð	•b	Операторы	действие.

1Поворот вокруг оси: а) Oz íà 90◦, á) Oz íà 45◦,

â) Ox íà 45◦, ã) Ox íà 30◦, ä) Oy íà 90◦, å) Oy íà 60◦.

2

Проектирование на плоскость: а) xOy, á) xOz, â) yOz.

2

3

-

Проектирование на ось: а) Ox, á) Oy, â) Oz.

4

Отражение относительно плоскости: а) xOy,

á) xOz, â) yOz.

МИРЭА

5

Отражение относительно оси: а) Ox, á) Oy, â) Oz.

6

Векторное умножение на вектор: а) a = i + j + k,

á) a = i + j − k, â) a = i − j + k, ã) a = i + 2k,

Кафедра

ä) a = j − 2k, å) a = 2ÂÌi − j.

7

Гомотетия с коэффициентом: а) k = 2, á) k =

1

,

â) k = −2.

2

• âàð.

A

B

• âàð.

A

B

• âàð.

A

B

1

b

b

2

b

b

3

b

b

1a

2á

ÌÃÒÓ

1â

3a

4a

2a

4

4a

7à

5

5a

3à

6

6a

2à

7

7a

5a

8

1á

4á

9

2á

6á

10

3á

6â

11

4á

1ã

12

5á

2â

13

4á

3â

14

7á

2á

15

1â

5á

16

2â

6ã

17

3â

7â

18

4â

2á

19

5â

6ä

20

6å

1ä

21

7â

2à

25

		Продолжение задачи 3.1
22	1ã	5á		23	6ã	3á			24	1ä	4â
25	6ä	3á		26	1å	6å			27	6å	4â
28	2a	5á		29	4a	6ä			30	7a	1å

Задача 3.2. Линейный оператор b

A в пространстве V3 геометри- ческих векторов определяется действием отображения α на концы

радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу линейного оператора A в подходящем2базисе
пространства V3, а затем в каноническом базисе i,										-
										j, k.
2) В какую точку трехмерного			пространства переходит точка с
				b
координатами (1, 0, 0) под действием отображения α?
3) Найти An, ãäå A матрица оператора в базисе i, j, k.
		ÂÌ
	• âàð.	Отображение α
	1, 16	Отражение относительно плоскости						x + y + z = 0
	2, 17	Поворот на 180◦ вокруг оси x = y = z
	3, 18	Проектирование на ось				x =		y		= z
							2
	4, 19	Проектирование на плоскость				x + y + z = 0
					МИРЭА
	5, 20	Отражение относительно плоскости						x + y − z = 0
	6, 21	Поворот на 180◦ вокруг оси				x = y = −z
	7, 22	Проектирование на ось		2x = 2y = −z
	8, 23	Проектирование на плоскость				x − y + z = 0
		Кафедра
	9, 24	Отражение относительно плоскости						x − y + z = 0
		Поворот на 180◦ вокруг оси
	10, 25					− x = y = z
	11, 26	Проектирование на ось			x = 2y = 2z
		ÌÃÒÓ
	12, 27	Проектирование на плоскость				− x + y + z = 0
	13, 28
		Отражение относительно плоскости					− x + y + z = 0

26

Продолжение задачи 3.2

14, 29	Поворот на 180◦ вокруг оси	x = −y = z
15, 30	Проектирование на плоскость	x + y − z = 0

Задача 3.3. Пусть A матрица оператора A èç задачи 3.2 в каноническом базисе i, j, k. Найдите собственные значения и

собственные векторы матрицы	A	. Объясните, как полученный ре-
		b
зультат связан с геометрическим действием оператора A.
		2
		-b

3) Найти собственные значения и собственные векторы оператора. Является ли данный оператор оператором простого типа?

Задача 3.4. 1) Какое из перечисленных преобразований является
линейным оператором в пространстве R3?
2) Найти матрицу оператора в каноническом базисе
пространства R3.	ÂÌ
	МИРЭА

4) Найти ядро оператора.

5) Обратим ли данный оператор? Если да, найти обратный оператор.

•				Преобразования A, B, C
1	Ax = (4x1			2x2	x3, x1 + 3xb2		x		,		2x2 + 2x3)
							b3		bx1
16	bBx = (4			− 2x2	− x3,	−x1 + 3x2	− x3, x1				− 2x2 + 2)
				−	−	−	−				−
					2					3	− 2x2 + 2x3)
	CКафедраxb= (4x1 2x2 − x3, −x1 + 3x2						− x3, x1
2	b	Ax−= (3x1 + 4, x1 + 3x2, x1 − x2 + 1),
17			x	2						3
		B bÌÃÒÓ= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1 − x2 + x3),
		b						−
		Cx		= (3x1 + 4x2, x1 + 3x2, x1						x2 + x3)
		b

27

Продолжение задачи 3.4

3

Ax = (−x1 − x2 − x3, 4 − x3, −x2 + 4),

18

Bxb= (−x1 − x2 − x3, 4x2 − x3, −x2 + 4x3),

Cx = ( x

1

−

x4

−

x

, 4x

2 −

x

,

−

x2

+ 4x

)

b

−

2

3

3

2

3

4

bAx = (3x1 − x2 − x3, 2x2 + x3, x2 + 2x3),

19

bBx = (3x1 − 1 − x3, 2 + x3, x2 + 2x3),

2

x = (3x2

−

x

2 −

x

, 2x

2

+ x3, x

2

+ 2x

)

Cb

1

3

3

3

5

(3 2x

2

+ x

, x

1

+ 2x

2

x

, x

1

2 + x

),

Ax = b

−

3

−

−

3

−

-3

−

20

Bxb= (3x1 − 2x2 + x32, −x1 + 2x2 − x3, −x1 − 2x24 + x3),

Cx = (3x

1

−

2x

2

+ x

,

x

1

+ 2x

2

−

x

,

x

1

−

2x

2

+ x

)

b

3

−

3

−

3

6

Кафедраb − 1 2 1 − 2

−

1

2

3

b Ax = (3x1

+ x2

−

x3

, 2 + 2x2

−

x3,

−

2x1

+ x2 + 4),

21

Bxb= (3x1

+ x2

−

x3, 2x1 + 2x2

−

xÂÌ3, 2x1 + x2 + 4x3),

−

7

Cx = (3x + x3

x , 2x + 2x

x2,

2x + x + 4x )

b

Ax = (2x1− x3, 2x1 + x2

−x3,

−x1

+ 2x3),

3

b

1

2

3

1

2

3

1

2

−

−

−

22

bBx = (2x1 − x3, 2x1 + x2 −

МИРЭА1, −x1 + 2),

x = (2x4

−

x

, 2x

1

+ x2

−

x

,

−

x

1

+ 2x

3

)

Cb

1

3

2

3

8

bAx = (

−

2x1 + x2, x1

−

2, x1 + x2 + 2),

−

23

Bxb= (−2x1 + x23, x1 − 2x2, −x12 + x2 + 2x3),

Cx = ( 2x + x , x

2x , x + x + 2x )

9

bAx = (4x1

−

x3, x1 + 5 + x3,

−

x1 + 4),

−

24

Bxb=ÌÃÒÓ(4x1 − x3, −x1 + 5x2 + x3, −x1 + 4x3),

Cx =

4

2

(4x1

x3,

x1 + 5x2 + x3, x1 + 4x3)

b

−

−

b

−

28

Продолжение задачи 3.4

10

Ax = (4x1 − 3x2 − 7x3, x1 − x3, 3x1 − 3x2 − 6x3),

25

bBx = (4x1 − 3 − 7x3, x1 − x3, 3x1 − 3x2 − 6),

Cxb= (4x12

3x2

7x3, x13 − x3, 3x1 − 3x2 − 6x3)

11

bAx = (4x1−

5x2−+ 5, 2x1 + 2x3, 2x1 + 1 + x3),

−

+ 2x4, 2x

2

26

x = (4x

1 −

5x

2

+ 5x

, 2x

1

1

+ x

2

+ x2),

B b

3

3

3

Cx = (4x

1 −

5x

2

+ 5x

, 2x

1

+ 2x

3

, 2x

1

+ x

2

+ x

)

b

3

3

12

Ax = (3 + 4x

+ 2x

,

x

−

МИРЭА

b

2

3

−

2

1

2-3

27

Bxb= (3x1 + 4x2 + 2x3, −x2 − 2x3, 2x1 + 4x2 + 3x3),

Cx = (3x2

+ 4x

2

+ 2x

,

−

x3

−

2x

, 2x

1

+ 4x

2

+ 3x

)

b

1

3

2

3

3

13

Ax = ( x

4x + 4x , 2x + 3x + 2x , 2x + 5x ),

28

b

bBx =−(−x1

− 4x2

+ 4, 2x1

+ 3xÂÌ2 + 2x3, 2 + 5x3),

Кафедра− − −

−

3

−

1

3

b

1

−

2

3

1

2

Cxb= (

x1 − 4x24 + 4x3, 2x1 + 3x2 + 2x32, 2x1 + 5x3)

14

b

−Ax = (4x1 − 2x2 + 2, 4, 3x2 − x3),

29

Bxb= (4x1

− 2x2

+ 2x32

, 4x2, 3x2 − x33),

линейные

ÌÃÒÓb R

b

x

)

Cx = (4x

1

−

2x

2

+ 2x

, 4x

, 3x

2

−

b

3

2

3

15

Ax = (

−

2b+ 2x2

−

2x3, 5x1 + 7x2

−

3x3,

−

x1 + 3 + x3),

−

30

Bxb= (−2x1 + 2x2 − 2x3, −5x1 + 7x2 − 3x3, −x1 + 3x2 + x3),

Cx

4

2

b

= ( 2x1 + 2x2

2x3, 5x1 + 7x2

3x3, x1 + 3x2 + x3)

Задача 3.5. Пусть Ax = (x

−

x

, x

, x +x3), Bx = (x2, 2x3, x1)

2

3

1

1

3. Найти:

операторы в пространстве

29

•

•

•

bb

( b

−

b

b

b

1

ABx

2

(A2 + 3B)x

3

(A2

− B)x

(Ab

+ b

b

b

b

b

4

(A + B2)x

5

B2

4A)x

6

(2A + 3B2)x

7

2

B

2

)x

8

(B

2

+ A)x

9

BAx

b

b

b

11

b

b

b

12

b b

b

10

(2A B)x

A(2B A)x

A(Bb+b2A)x

Bc

b

b b

−

−

13

b b

17

(b

b

18

(A b b2B )x

(A

−

B)2x

14

(B

−

2A2)x

15

BA2x

-

19

(2 b −

b

b

b

b

− b

2

16

(3A2

−

B)x

A2

+ B)x

2

−

A(b

b

b

b

МИРЭА

b

− b

B A2)x

20

(B3

+ A)x

21

(B2

2A)x

25

b b

b

bb

b b

b

22

B + A)x

23

AB2x

24

B(B A)x

28

B b

b

26

b

b

b

27

b

b

b

2(A2 + B2)x

B(A

−

2B)x

(B

−

A + B2)x

b

b

b

b

b b

− b

b

b

(3A + B)x

29

(A + BA B)x

ÂÌ30 (3B + 2A2)x

Задача 3.6. 1) Доказать, что A линейный оператор в простран-

2) Найти его матрицу в

b

ñòâå Pn многочленов степени не выше n.

каноническом базисе.

3) Существует ли обратный оператор к A? Если да, то найдите

его матрицу в том же базисе.

4) Найдите ядро оператора

A, òî åñòü

множество

KerA =

p(t)

Pn : (Ap)(t) ≡ 0}.

b

b

b

{

b

• âàð.

n

(Ap)(t)

Кафедра1, 16 2 [(t +b1) · p(t)]′

2, 17

2

[t

·

p(t + 1)]′

ÌÃÒÓ

3, 18 3 (t + 1) p′(t)

·

4, 19 3

t · p′(t + 1)

30

	Продолжение задачи 3.6
5, 20		3	p(t) − p(t + 2)
6, 21		3	3t · p(t) − t2 · p′(t)
7, 22		2	(t	·	p(t))′ + p′′(t)
8, 23		3	6t · p(t) − t3 · p′′(t)
9, 24		2	(t + 1) · p(t + 1) − t · p(t)									2
10, 25		2	[(t			−		2)	·	p(t)]′
11, 26		3				[t · p′(t)]′
											ÂÌ
				·							−
12, 27	2			[t			p(t				МИРЭА
						·			−
13, 28 3			t · p′(t) − p(t + 1)
14, 29 2			(t − 2) · p(t − 2) − t · p(t)
15, 30 2 (2t + 1) p(t) + t(1 t)p′(t)

Задача 3.7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей A. Доказать, что это

оператор простого типа, привести его матрицу к диагональному виду (найти матрицу перехода к собственному базису и сделать проверку). Вычислить An для любого n N.

•			•					•
âàð.	A		âàð.		A			âàð.		A
	Кафедра
1	( 2 −1 ) 2 ( −4 2 )							3	(	1	2 )
	4	3		−	3	1				2	1
	−
			ÌÃÒÓ
4	( −1	2	) 5 ( 2 −2 )					6	( −6		−2 )
	4	5	3		−	2				5	2
	−