Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Определение матрицы размера m×n.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

2. Определения квадратной, треугольной, диагональной и единичной матриц.

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпдают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы.

Квадратная матрица А порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i>j.

Квадратная матрица А порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j.

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E ⁿ, где n - порядок матрицы.

3. Определение равенства матриц.

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если  и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

4. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

Сложение: Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Умножение матрицы на число: Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

1. 

2. 

3. .

5. Операция умножения матриц.

Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

6. Операция транспонирования матрицы.

Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде 

7. Определение перестановки и инверсии в ней.

Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3, . . . , n в строчку одно за другим. Говорят, что в данной перестановке два числа образуют инверсию (беспорядок), если большее из чисел в данной перестановке стоит левее меньшего. В противном случае эти два числа образуют порядок.

8. Теорема о числе перестановок.

Теорема 7.2 (о числе перестановок). Число всех перестановок множества из n элементов определяется формулой (считаем, что по определению

Пример 3. Цифры 0, 1, 2, 3 записаны на 4-х карточках. Сколько различных 4-значных цифр можно составить из этих карточек?

Решение. Число различных комбинаций из 4-х цифр равно 4!; 3! комбинаций, начинающихся с 0, следует исключить. В результате количество различных 4-значных чисел равно 4! - 3! = 18.

Определение. Упорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k.

Размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо порядком.

9. Определение транспозиции в перестановке.

Транспозицией называется такое преобразование перестановки, при котором какие – либо два её элемента меняются местами, а все остальные элементы остаются на своих местах.

10. Четные и нечетные перестановки.

Перестановка называется чётной, если общее количество инверсий есть чётное число и, соответственно, нечётной, если общее количество инверсий, содержащихся в этой перестановке , число нечётное.

11. Терема об изменении четности перестановки при транспозиции.

Теорема: Все n! перестановок можно записать в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей с помощью одной транспозиции (такой порядок называется идеальным), при этом ни одна перестановка не встретится дважды, а начинать можно с любой перестановки. Следствие из теоремы: из какой–либо перестановки n-ой степени можно получить любую другую перестановку n-ой степени с помощью нескольких транспозиций. Теорема 2: Любая транспозиция меняет чётность перестановки на противоположную.

12. Вычисление определителя 2-го порядка.

Определителем 2-го порядка называют число, представленное в виде специальнойконструкции: =, которой ставят в соответствие число: . Записывают:

        ==.        (1)

Говорят, что правая часть выражения (1) определяет правило еговычисления определителя 2-го порядка.

При использовании определителя применяют термины:

• элементы определителя – числа a11, a12, a21, a22;

• строки определителя: 1-я строка: пара чисел: a11,a12 , 2-я строка: пара чиселa21,a22;

• столбцы определителя: 1-й столбец: пара чисел: a11,a21, 2-й столбец: пара чиселa12,a22;

• члены определителя: (a11·a22) и (–a21·a12).

13. Вычисление определителя 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка называют число, представленное в виде специальнойконструкции: =, которой ставят в соответствие число, определяемое суммой, составленной из шести слагаемых (членов определителя):

=++–––. 

14. Определение определителя порядка n.

15. Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

Определитель матрицы А есть число, равное .

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение nэлементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1), если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий  в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det(A). Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, .

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы .

16. Как изменится определитель при транспонировании матрицы?

При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

17. Чему равен определитель, имеющий строку или столбец, целиком состоящий из нулей?

Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

18. Как изменится определитель, если его строку или столбец умножить на число?

Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

19. Как изменится определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?

Если в матрице А поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

20. Как изменится определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число?

Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

21. Чему равен определитель, имеющий две пропорциональные строки?

Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

22. Как связаны между собой определители матриц А и λА?

Они пропорциопальны.

23. Чему равен определитель произведения квадратных матриц А и В?

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.

24. Определение минора порядка k.

Ранг матрицы — Рангом системы строк (столбцов) матрицы строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие

25. Определение минора элемента.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента  через .

26. Определение алгебраического дополнения элемента.

Алгебраическим дополнением к элементу  матрицы  называется число, равное , где  - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу  матрицы обозначается .

27. Теорема Лапласа о вычислении определителя порядка n.

Пусть выбраны любые n строк матрицы A. Тогда определитель матрицы A равен сумме всевозможных произведений миноров n-го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов 

28. Теорема о сумме произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по j-й строке (или по элементам j-й строки):

и разложения определителя по k-му столбцу:

для любых .

29. Определение обратной матрицы.

Матрица B называется обратной матрицей для квадратной матрицы A, если AB=BA=E.

Из определения следует, что обратная матрица B будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица A(иначе одно из произведений AB или BA было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы A обозначается . Таким образом, если  существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица A является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы A и  можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

30. Условие существования обратной матрицы.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Квадратную матрицу A назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .

Если квадратная матрица A является невырожденной, то обратная для нее существует и  (1) где  - алгебраические дополнения к элементам .

Обратная матрица для квадратной матрицы A существует тогда и только тогда, когда матрица A - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

31. Правило вычисления обратной матрицы.

Найти обратную матрицу для матрицы 

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить: Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках: Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: В данном случае:– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

–транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

5) Ответ:

32. Решение матричного уравнения А·Х = В, если det А ≠ 0?

Рассмотрим матричное уравнение вида А·Х = В, где А – невырожденная квадратная матрица порядка m, В – матрица размера m*р, А и В – известные матрицы. Чтобы найти неизвестную матрицу Х размера m*р умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу А^-1 – обратную к матрице А: А^-1 ·А·Х = А^-1·В. Учитывая, что А^-1·А = Е, где Е –единичная матрица порядка m, получим решение матричного уравнения:

Х = А^-1·В.

33. Решение матричного уравнения Y·А = В, если det А ≠ 0?

При решении матричного уравнения вида Х·А = В, в котором А – известная невырожденная квадратная матрица порядка m, В –известная матрица размера р* m, умножают обе части матричного уравнения справа на матрицу А^-1 – обратную к матрице А: Х·А· А^-1 = В· А^-1, после чего получают решение:

Х = В·А^-1.

34. Определение арифметического вектора.

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа  называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: ,

для любых и и любого числа 

35. Операции над арифметическими векторами.

Для любых , ,  из Rⁿ и любых чисел a, b справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

3. 

4. 

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

36. Определение ортогональных векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. a · b = 0

37. Определение линейной комбинации векторов.

Линейной комбинацией векторов a₁, ..., a_n с коэффициентами x₁, ..., x_n называется вектор: x₁a₁ + ... + x_na_n.

38. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.

Вектора a₁, ..., a_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору. Tоесть вектора a₁, ..., a_n линейно независимы если x₁a₁ + ... + x_na_n = 0 тогда и только тогда, когда x₁ = 0, ..., x_n = 0.

Вектора a₁, ..., a_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальной комбинации этих векторов равная нулевому вектору.

39. Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.

Теорема: Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных. Доказательство:Дана линейно зависимая система. Нужно доказать, что один вектор линейной комбинации всех остальных.

а_1, а_2, а_{3, …} а_n – ЛЗ система векторов, т.е. среди α_1, α₂ ,α₃ … α_n существует число отличное от нуля так, что ЛК α₁а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n а_n= 0.

Положим для определения, что коэффициент α₁ ≠ 0. Разделим обе части последнего равенства на α₁ ≠ 0:

Отсюда следует, что а₁ - ЛК остальных векторов.

Необходимость доказана.

Достаточность ( ).

Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.

Пусть α_n = α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n-1 а_n-1.

α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n-1 а_n-1- 1α_n = 0.

Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n- линейно зависима.

Ч.т.д.

40. Теорема о линейно зависимой подсистеме векторов.

Теорема: Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов а_1, а_2, …,а_к, а_{к+1 …} а_n, где а_1, а_2,…, а_к - линейно зависимый кусочек. α₁ а₁+ α₂а₂+ … +α_ка_к= 0. Есть коэффициент отличный от нуля.

Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство

α₁ а₁+ α₂ а₂+…+α_к а_к+…+0· а_к+1+…+ 0·α_n = 0.

Отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

41. Теорема о подсистеме линейно зависимой системы векторов.

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1,λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

42. Определение линейного пространства.

Непустое множество Е элементов любой природы Е = { x, y, z, t, … } называется линейным или векторным пространством над полем действительных чисел R , если выполняются следующие условия:

а) имеется правило, посредством которого любым двум элементам х, у множества Е ставится в соответствие элемент z этого же множества Е, называемый суммой этих элементов : z = x + y;

b) имеется правило, посредством которого каждому элементу х множества Е и любому действительному числу λ ставится в соответствие элемент u = λ x , называемый произведением х на λ .

При этом указанные правила ( операции ) удовлетворяют восьми аксиомам:

1) x + y = y + x - коммутативное ( переместительное ) свойство суммы ;

2) ( x + y ) + z = x + (y + z ) - ассоциативное ( сочетательное ) свойство суммы;

3) Существует нулевой элемент 0 Є Е такой, что х + 0 = х для любого элемента х Є Е ;

4) Для любого элемента х Є Е существует противоположный элемент (- х ) Є Е такой, что х + ( - х ) = 0 ;

5) Для любых действительных чисел α и β верно равенство α(βх) = (αβ)х - ассоциативное относительно числового множителя свойство ;

6) 1∙х = х для любого элемента х Є Е ( особая роль числового множителя 1 );

7) Для любого действительного λ и произвольных элементов х, у Є Е выполняется равенство λ ( х + у ) = λ х +λ у - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы элементов свойство;

8) Для любых действительных чисел α и β и произвольного элемента хЄ Е верно равенство (α + β ) х = α х + β х - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы числовых множителей свойство.

43. Примеры линейных пространств.

Примеры линейных пространств