Atomnaya_fizika_UP

91

жен представлять собой сумму орбитального и собственного моментов.

Модуль полного механического момента электрона опре-

деляется выражением	j( j +1),
L j =		(4.8.1)

где j — квантовое число полного момента («полное» квантовое число):

																					j =	+ S ,			−S		.	(4.8.2)
	При	= 0 ,							j =				1				— наблюдается одна спектральная линия; при
													2
	=1	j		=		3		,	j				=				1	— две спектральные линии.
											2
		1			2								2
		Проекция полного механического момента электрона
																					Lzj = m j				,			(4.8.3)
	где	m j			— квантовое число, отвечающее за проекцию полного
	момента на какую-либо ось:
																			m j		= − j,− j +1,..., j −1, j .							(4.8.4)
	Например,								если									j =	3	,	то	возможны следующие						значения:
																		2
	m j = −		3		,−		1		,	1		,		3		.
		2			2				2				2
		Расчет полного магнитного момента оказывается сложнее.

Дело в том, что у орбитального и собственного момента разные гиромагнитные отношения (см. 4.4.10). Французский ученый Ландé ввел поправку, учитывающую вклад собственного момента ( g -фактор или фактор Ланде):

g =1+	j( j +1)+ S(S +1)− ( +1)		.	(4.8.5)
		2 j( j +1)
При S = 0, j = , g =1; при		= 0 , j = S и g = 2.
С учетом g-фактора модуль полного магнитного момента
электрона равен:		= g μБ j ( j +1) .
	μj			(4.8.6)
Проекция полного магнитного момента электрона
		μzj = g mjμБ .		(4.8.7)

92

4.9 Механический и магнитный моменты атомов

В многоэлектронных атомах состояние каждого электрона определяется теми же квантовыми числами, что и в атоме водорода. Влияние на данный электрон всех остальных электронов проявляется в том, что поле, в котором движется электрон, пере-

стает быть кулоновским, т.е. изменяющимся по закону ~ 1 . Это r 2

обусловливает зависимость энергии не только от n, но и от . Механический и магнитный моменты атома слагаются из

орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов. При этом возможны два случая.

1.Орбитальные механические моменты (Le) взаимодействуют между собой сильнее, чем со спиновыми (собственными) моментами (Ls), которые, в свою очередь, сильнее связаны друг с другом, чем с Le. Вследствие этого, все Le складываются в результирующий орбитальный момент атома (Lea), а все Ls — в результирующий спиновый момент атома (Lsa). Затем уже Lea и Lsa, складываясь, дают суммарный момент атома. Такой вид связи называют S -связью.

2.Каждая пара Le и Ls одного электрона взаимодействуют между собой сильнее, чем с Le и Ls других электронов. Находится Lj электронов, а потом уже Lja. Такая связь называется jj- связью. Этот вид связи наблюдается значительно реже и только у тяжелых атомов.

Мы ограничимся кратким рассмотрением только S -связи.

Вэтом случае

			Lea =	a ( a +1) ,					(4.9.1)
где	a — орбитальное квантовое число атома.
	В случае двух электронов			a может иметь значения:
		a =	1 + 2 ,	1 + 2 −1,.....,		1 − 2		,
где	1 и	2 — орбитальные квантовые числа, определяющие мо-
дули электронов: Le =			( +1). Результирующий момент может
иметь 2		min +1 различных значений ( min — меньшее из							1 и 2 ).

93

В случае атома, имеющего более чем два электрона, максимальное значение a равно сумме всех электронов. Чтобы най-

ти минимальное значение a , нужно сложить сначала любых

двух электронов, затем каждый из полученных результатов складывается с третьего электрона и т.д. Наименьшее из получившихся при этом чисел будет представлять искомое минимальное значение a .

Пусть, например, 1 = 2 = 1, 3 = 3. Возможные значения

суммарного момента первого и второго электронов определяются числами 0,1,2. Сложение первого из этих чисел с 3 = 3 дает

a = 3, второго — a = 2,3,4 (1+3=4, 1+3-1=3, 1+3-2=2, 1−3 = 2 );

третьего числа — a =1,2,3,4,5. Следовательно, квантовое число,

определяющее результирующий момент в рассматриваемом случае, может иметь значения a =1,2,3,4,5. Минимальное значение

min =1, максимальное max = 5. Максимальное значение можно

было получить просто: 1+1+3=5.

Орбитальные квантовые числа всегда бывают целыми или нулями.

Проекция результирующего момента на некоторое направление z определяется, как и для любого момента, выражением:

Laz = ma , где ma = − a ,− a +1,..., a −1, a .

Результирующий спиновый механический момент атома и

проекция этого момента определяются выражениями:
Lsa = Sa (Sa +1) и Lsza = ms .	(4.9.2)

Квантовое число Sa результирующего спинового момента

атома может быть целым или полуцелым в зависимости от того, четным или нечетным является число электронов в атоме. Например, при N = 4, Sa может принимать значения 0,1,2; при

N = 5 — Sa = 1 , 3 , 5 . 2 2 2

Результирующие орбитальный и спиновый механические моменты атома образуют в сумме полный момент импульса атома:

LJ = J (J +1),

(4.9.3)

где J = La + Sa , La + Sa −1,..., La −Sa .

94

Следовательно, J будет целым, если Sa									— целое число (при
четном числе электронов в атоме). Например, при L											= 2, S	a	= 3
									a				2
возможны значения J =	1	,	3	,	5	,	7	; а при L	= 2, S		= 1 возмож-
										a
2		2			2		2	a
ные значения J = 1,2,3.
Проекция полного механического момента атома
LJa = mJ , где mJ					= −J ,−J +1,..., J −1, J .							(4.9.4)

С механическими моментами связаны магнитные моменты, которые взаимодействуют между собой. Поэтому энергия атома зависит от взаимной ориентации L и LS и от взаимной ориента-

ции	L a и LSa . Следовательно, состояние атома (и его энергия)
определяется квантовыми числами La , Sa , J .
	Модуль магнитного момента атома определяется
		μJ	= μБ g	J (J +1),		(4.9.5)
где	g = 1+	J (J +1)+ Sa (Sa +1)− La		(La +1)
					.
		2J (J	+1)
	Если Sa = 0 , J = La ,		g = 1; если La = 0 , J = Sa ,			g = 2. Для
атомов фактор Ланде может быть g < 1 или даже g = 0 .
	Проекция магнитного момента атома
	μJz = μБ gmJ , где mJ		= −J ,−J +1,..., J −1, J .			(4.9.6)

Теперь становится ясно, почему у разных атомов в опытах Штерна и Герлаха появлялось разное число полос — у них разное число проекций магнитных моментов атомов (рис. 4.5).

экран

– Hg, Mg — у этих атомов μJ = 0 .

– Ag, Na, K, Cu, Al, H

– V (ванадий), N (азот)

– Mn (марганец)

Рис. 4.5 — Результаты опытов Штерна и Герлаха по измерению магнитных моментов различных атомов

95

Расчет механических и магнитных моментов атомов не прост,

но он облегчается тем, что у полностью заполненных оболочек суммарные механический и магнитный моменты равны нулю.

4.10 Спектр атома водорода. Правило отбора при внутриатомных переходах

Как выяснилось, спином обладают все без исключения частицы. Спин — более фундаментальная характеристика, чем, например, заряд. Спин фотона S = 1.

Закон сохранения момента импульса требует, чтобы при поглощении или излучении фотона полный момент импульса атома изменялся на единицу, т.е. возможны не любые переходы, а подчиняющиеся так называемому правилу отбора.

Пусть атом до испускания фотона имел Jнач. = 0. Закон со-

хранения момента импульса позволяет утверждать, что после излучения Jкон. =1. Аналогично, в конечное состояние с J = 0 атом

может перейти из состояния с J = 1. Рассмотрим случай, когда J ≠ 0.

	1		1	1
Jнач.		Jнач.		Jнач.
	Jкон.			Jкон.
		Jкон.

Рис. 4.6 — Возможные изменения полного момента многоэлектронного атома при испускании и поглощении фотона с S = 1.

Из рис. 4.6 видно, что при сложении единичного вектора 1 с вектором J длина последнего может измениться на единицу или

не измениться вовсе. Никакие другие изменения			из-за квантова-
ния J невозможны. Таким образом, правило отбора при излуче-
нии (или поглощении):		= 0;
J = ±1	Jнач. = 0 или Jкон.
J = ±1,0	Jнач. ≠ 0 и Jкон.	≠ 0.	(4.10.1)

96
Аналогично, для квантового числа mJ :
mJ = ±1,0	(4.10.2)

Для атома водорода и водородоподобных атомов (имеющих на орбите только один электрон) правило отбора выглядит подругому. Излучение света связано с электромагнитными свойствами электрона. Во взаимодействии с электромагнитной волной участвуют как заряд, так и магнитный момент электрона. Испускание света возможно либо в результате изменения движения заряда, либо в результате изменения (поворота) собственного магнитного момента. Расчет показывает, что для электромагнитного излучения, лежащего в оптическом диапазоне, взаимодействие фотона с зарядом электрона оказывается гораздо сильнее взаимодействия с магнитным моментом. Орбитальный момент импульса влияет как на первый, так и на второй, а направление спина — только на магнитный момент. Поэтому при испускании фотонов оптического диапазона S = 0 и изменение J на единицу фактически связано только с изменением на единицу. Итак, для водорода правила отбора:

= ±1.

(4.10.3)

На рис. 4.7 показаны возможные переходы электрона в атоме водорода с учетом правила отбора.

									ℓ		S		P		d		f
E,эВ											0	1		2		3
									n
						5
–0,85								4
																	Серия Пашена
–1,5									3
–3,4							2								Серия Бальмера

–13,6		1		Серия Лаймана

Рис. 4.7 — Схема возможных переходов электрона в атоме водорода с учетом правила отбора

97

4.11 Тонкая структура уровней водородоподобных атомов

Исследование спектров водорода и водородоподобных атомов (по спектральным характеристикам к ним относятся и щелочные металлы: K, Na, Ag,…) с помощью приборов с большой разрешающей силой показало, что каждая линия этих спектров, кроме S-состояний, является двойной. Почему? До введения понятия спина объяснений не было.

μ		Орбитальное движение электрона
		создает орбитальный магнитный момент
	μS	μ , т.е. магнитное поле B . Спиновый
J		магнитный момент, конечно же, взаимо-
		действует с этим магнитным полем. Та-
	−μS	кое взаимодействие называется спин-
ϑ		орбитальным. И в зависимости от ори-
Рис. 4.8		ентации спина это взаимодействие по-
		разному изменяет энергию электрона.
Если μ ↑↑ μS	— будет отталкивание (см. рис. 4.8), энергия уве-

личивается; если μ ↑↓ μS — притяжение, энергия уменьшается.

Вместо одного основного уровня мы имеем два уровня. Расщепление уровней с данным n из-за спин-орбитального

взаимодействия называется тонкой структурой. Тонкой называют потому, что расщепление мало по сравнению с «расстоянием» между значениями энергии En с разными n (см. рис. 2.1).

На рис. 4.9, а изображена схема расщепления уровня с n = 2. Принято состояние электрона обозначать так: n j .

					2P				3P3
=1		3								2
		2
					2P1				3P1
										2
		2
	= 0				2S1				3S	1
						°		°
										2
		2					5090 A	5096 A
				а
						Рис. 4.9		б

а — к объяснению тонкой структуры уровня с n = 2 ; б — тонкая структура атома Na (дублет натрия)

98

У многоэлектронных атомов может быть по несколько линий тонкой структуры — мультиплеты. Число линий определяется числом возможных значений J и правилом отбора (например, у Mn — 6 линий, у Fe — 9 линий).

Почему у Na (11 электронов) только две линии (дублет, см. рис. 4.9, б)? У Na слои с n = 1 и n = 2 полностью заполнены: ∑μ = 0. В слое n = 3 находится только один электрон: он может

находиться либо в S-, либо P-состоянии.

4.12 Постоянная тонкой структуры

Обусловленное спин-орбитальным взаимодействием расщепление энергетических уровней является релятивистским эффектом, поскольку сам спин — релятивистский параметр. Из решения релятивистского уравнения Дирака (см. раздел 3.4) получается следующее выражение для интервала между энергетическими уровнями тонкой структуры (в системе СГС):

E =

α2

E ,

(4.12.1)

16

i

=13,6 эВ;

где Ei — энергия ионизации, для атома водорода Ei

α =

e2

1

— постоянная тонкой структуры.

C

137

(В системе СИ: α =

e2

1

7,3 10−3

1

).

C 4πεo

137

E , вычисленная по 4.12.1, примерно в 105 раз меньше, чем E между основными уровнями, определяемыми значением n.

Постоянная тонкой структуры принадлежит к числу фундаментальных констант природы. Ее смысл становится очевидным при переходе к естественной системе единиц, применяемой в квантовой электродинамике: единица массы равна массе электрона ( me ), единица длины равна C — комптоновской длине

электрона: C	=	λC	=		; единица энергии равна энергии по-
		2π		me C

коя электрона me C2 ; уже знакомые нам: — естественная еди-

99

ница измерения механического момента импульса; μБ — естест-

венная единица измерения магнитного момента импульса и т.д. Найдем энергию взаимодействия двух электронов, находя-

	щихся на расстоянии				C (в единицах системы СГС):
	E =	e2		, ε =1, r = C ; E =		e2	m C		e2
							e	=		= α.
						(meC2 )
		ε r							C
	(Разделив			E	, мы выразили E в «штуках» естественной
			m C2
				e

единицы энергии, т.е. в виде безразмерной величины α).

Итак, постоянная тонкой структуры характеризует энергию взаимодействия двух электронов. Иначе можно сказать, что α определяет, как сильно электрон связан с электромагнитным полем. Поскольку в выражение для α масса электрона не входит, то α является const связи с электромагнитным полем любой элементарной частицы, имеющей заряд е.

4.13 Эффект Зеемана

4.13.1 Нормальный эффект Зеемана

Эффектом Зеемана (Питер Зееман, 1865—1940 гг.) называ-

ется расщепление энергетических уровней и, следовательно,

спектральных линий на несколько компонентов в магнитном поле. Это расщепление было обнаружено голландским физиком П. Зееманом в 1896 г. Расщепление невелико: при B 1 Тл оно

составляет несколько десятых долей ангстрема ( Δλ ~ 10−11м). Расщепление объясняется тем, что атом, обладающий маг-

нитным моментом, связанным с орбитальным движением электронов, приобретает в магнитном поле дополнительную энергию

E = −μ B B ,

где μ B — проекция магнитного момента на направление внешне-

го магнитного поля B . Поскольку m = 0, ±1, ±2,..., ± , то ясно, что энергетический уровень расщепляется на 2 +1 компонентов

(рис. 4.10).

100

(	=1)								ωo + Δω, Eo +	E
		P							ωo , Eo
				ωo					ωo − Δω, Eo −	E
(	=1)	S							E = Δω
				B = 0				B ≠ 0

Рис. 4.10 — К объяснению нормального эффекта Зеемана

Все это соответствует нормальному (или простому) эффекту Зеемана. Объяснение его было сделано Г. Лоренцем задолго до введения квантовых чисел и m.

Рассуждения просты: раз в атоме есть электроны, они как-то движутся и, следовательно, обладают магнитным моментом, который взаимодействует с внешним магнитным полем. Квантовые числа и m дали четкие и понятные количественные соотношения.

4.13.2 Аномальный эффект Зеемана

При использовании более чувствительной аппаратуры уже в относительно слабых магнитных полях было обнаружено бóльшее число линий, чем это следовало из простого эффекта Зеемана. Такая структура линий была названа тонкой структурой, а сам эффект — аномальным эффектом Зеемана. Он не был объяснен до тех пор, пока в науку не было введено понятие спина. Как было отмечено в разделе 4.11, тонкая структура есть следствие спин-орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие существует всегда, т.е. и в отсутствие внешнего магнитного поля; магнитное поле нужно для выявления этого взаимодействия. На рис. 4.11 показана тонкая структура дублета натрия при B = 0 и при включении магнитного поля.

Число состояний тонкой структуры определяется числом

возможных значений J: при = 0 (S-состояние) J =				1	; при = 1
(P-состояние) J = 3		1	2
	и		. При включении магнитного поля ка-
2		2