Atomnaya_fizika_UP

31

2 АТОМНАЯ ФИЗИКА (ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ АТОМА)

2.1 Закономерности в атомных спектрах. Формула Бальмера

Изолированные атомы в виде разреженного газа или паров металла испускают спектр, состоящий из отдельных спектральных линий — линейчатый спектр. Изучение атомных спектров послужило ключом к познанию строения атомов.

Прежде всего, было замечено, что линии в спектрах располагаются не беспорядочно, а сериями. Расстояния между линиями в серии закономерно уменьшаются по мере перехода от длинных волн к коротким. Швейцарский физик И. Бальмер в 1885 г. установил, что длины волн серии в видимой части спектра водорода могут быть представлены формулой:

	λ = λ		n2	,	(2.1.1)
		0 n2 −4

где λ0 = const ; n = 3,4,5,......

В спектроскопии принято характеризовать спектральные линии величиной, обратной длине волны. И. Ридберг (1854—1919 гг.) преобразовал формулу (2.1.1), придав ей современный вид:

1			1		1
		= R		−		, где n = 3,4,5,.....	(2.1.2)
	λ		22		n2
R =1,09 107 м−1 —		экспериментально найденная величина назы-

вается постоянной Ридберга.

В настоящее время известно большое число линий в спектре водорода (в ультрафиолетовой, в инфракрасной областях), и все они хорошо описываются обобщенной формулой Бальмера:

1		1		1
	= R		−		,	(2.1.3)
λ				n2
	к2

к=1, n = 2,3,4,..... — серия Лаймана, в ультрафиолетовой части спектра водорода;

к= 2, n = 3,4,5,..... — серия Бальмера;

к= 3, n = 4,5,6,..... — серия Пашена;

к= 4, n = 5,6,7,..... — серия Брэкета и т.д.

32

Значение n = ∞ определяет границу соответствующей серии. Иногда формулу Бальмера записывают через частоту спек-

тральных линий:

	ν = R′	1				−			1
											,		(2.1.4)
								n2
		к2
где R′ = R C = 1,0967 107 3 108 = 3,29 1015 c−1
		1							1
или	ω = R*						−					,	(2.1.5)
									n2
		к2

где R* = 2πC R = 2π3 108 1,0967 107 2,07 1016 рад . И R′ , и c

R* также называют постоянной Ридберга.

Ридберг показал, что в линейчатых спектрах не только водорода, но и других элементов наблюдаются спектральные серии, причем частоты всех линий данной серии удовлетворяют соотношению

ν = T (к) − T (n),

где к и n — целые числа, функции T (к) и T (n) называются спектральными термами. Например, для серии Бальмера

T (к) =	R′	, T (n) =	R′	, где n = 3,4,5,... .
			n2
22

Исследование линейчатых спектров атомов прежде всего показало, что атом не «неделимый», а имеет внутреннее строение. Было предложено несколько моделей строения атомов: Д.Д. Томсон (1903 г.), Нагаока (1904 г.), но все они либо противоречили экспериментальным данным, либо — никак не обоснованы.

2.2 Ядерная модель атома Резерфорда

В 1907 г. Э. Резерфорд (1871—1937 гг.) вместе со своими помощниками Г. Гейгером (1882—1945 гг.) и Э. Марсденом (1889—1970 гг.) начал серию измерений по прохождению α-час- тиц через тонкие слои металлов (Au, Pt, Aℓ и т.д.) толщиной 0,1—1 мкм. Скорость α-частиц, вылетающих из трубочки, за-

полненной радием, составляла 107 мс, масса α-частиц примерно в 7350 раз больше массы электрона, т.е. импульс α-частиц

33

был достаточно велик. Измерялись углы отклонения α-частиц по стинцилляционным вспышкам на экране из ZnS. Основная масса

α-частиц отклонялась на углы не более 3°, но наблюдались редкие вспышки, говорящие об отклонениях на бóльшие углы. Чтобы исключить случайность, установка была усовершенствована и

к1909 г. было твердо доказано, что примерно одна из 8000

α-частиц отклоняется на углы больше 90°.

Отклонение α-частиц на большие углы говорит о следующем: 1) что α-частицы сталкиваются с чем-то массивным, имеющим положительный заряд; 2) малая вероятность отклонения на такие углы — о малых размерах этого массивного положительного заряда. Основываясь на этих результатах, Резерфорд создал так называемую «планетарную модель» атома: внутри атома положительно заряженное ядро, в котором сосредоточено примерно 99,9 % массы атома, вокруг вращаются электроны, число которых таково, что компенсирует заряд ядра. Резерфорд вы-

числил размер ядра: ~ 10−14 м, что хорошо совпадает с современ-

ными данными (~ 10−15 м). Поскольку размер атома ~ 10−10 м, то следует признать, что атом практически пуст: если бы диаметр ядра былравендиаметру футбольного мяча, тодиаметр атома— 1 км (!).

Но такая модель находилась в явном противоречии с классической электродинамикой, по которой отрицательно заряженный электрон, движущийся вокруг положительного ядра с центростремительным ускорением, должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, быстро потерять энергию и упасть на ядро. Но атом устойчив, существует миллиарды лет! Пытаясь найти объяснение этому противоречию, Резерфорд два года не публиковал результаты измерений и свою модель; статья вышла только в 1911 г. и начиналась словами: «Вопрос об устойчивости предлагаемого атома на этой стадии не следует подвергать рассмотрению».

2.3 Элементарная теория Бора

Выход из тупика был найден Н. Бором (1885—1962 гг.) в 1913 г. Зимой 1912—1913 года Н. Бор стажировался в лаборатории Резерфорда, проникся идеями Резерфорда о строении атома

34

и, вернувшись в Копенгаген, создал теорию атома. Его теория базируется на двух постулатах:

1) электроны движутся только по определенным (для каждого атома) орбитам. При этом, даже двигаясь с ускорением, они не излучают энергию. Условие стационарности орбит

mυ r = n ,

(2.3.1)

где r — радиус круговой орбиты, υ — скорость электрона на этой орбите, n = 1,2,3,... — целое число, номер орбиты. Смысл равенства (2.3.1) — момент импульса электрона на стационарной орбите должен быть равен целому числу постоянных Планка. Это условие — догадка Бора, ничем им не обоснованная;

2) излучение или поглощение энергии в виде кванта происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую (из одного стационарного состояния в другое). Энергия кванта равна разности энергий электрона в стационарных состояниях.

hv = En − Eк или ω = En − Eк ,

(2.3.2)

где En , Eк — энергии электрона на соответствующих орбитах.

Найдем эти энергии.

Сначала найдем радиусы стационарных орбит. Электрон, вращаясь по круговой орбите вокруг ядра, испытывает действие центростремительной силы. В качестве центростремительной силы в данном случае выступает кулоновская сила взаимодействия между ядром и электроном:

mυ2

=

z e e

,

(2.3.3)

где z e — заряд ядра.

r

4πε0 r2

n

Выразим υ из (2.3.1): υ =

(2.3.3)

m r

mn2 2

=

ze2

n2 2

=

ze2

m2 r2 r

4πε0r2

m r 4πε0

Итак:

rn =

4πε0

2

n2

,

(2.3.4)

ze2 m

rn — радиус стационарной n

-орбиты.

35

При z =1 (зарядовое число атома водорода) и n = 1

r = 0,529 A — боровский радиус — радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода.

Энергия электрона складывается из кинетической и потенциальной энергии притяжения (отрицательной) между ядром и электроном:

E =

mυ2

−

z e2

.

2

4πε0 r

mυ2

z e2

Из (2.3.3):

=

(2.3.5);

2

8πε0 r

z e2

z e2

z e2

E =

−

= −

.

8πε0 r

4πε0 r

8πε0 r

Подставим сюда значение rn из (2.3.4):

E =

ze2

ze2 m

1

;

E

=

z2 e4 m

1

.

n

8πε0

4πε0

2 n2

n

32π2ε02 2 n2

Если положить z =1, n = 1,

то

E1 =

(1,6 10−19 )4 9,1 10−31

=

32 π2 (8,85 10−12 )2 (1,05 10−34 )2

= 2,187 10−18 Дж 13,6 эВ.

Итак, для водорода и водородоподобных атомов

En = −13,6 z2 (эВ). n2

(2.3.5)

(2.3.6)

(2.3.7)

(2.3.8)

Водородоподобными называются атомы, у которых на орбите находится только один электрон; z может быть любым, реально

z=1÷4.

Всоответствии со вторым постулатом Бора энергия фотона, испущенного атомом:

z2

z2

=13,6 z2

1

1

hv = En

− Eк = −13,6

−

−13,6

−

. (2.3.9)

n2

к2

к2

n2

Для атома водорода ( z = 1):

		36
	hv = 13,6	1		−	1		(эВ).	(2.3.10)
		к2			n2

Если в формуле (2.3.10) обе части равенства разделить на h, то получим:

v =

13,6 1,6 10−19

1

−

1

= 3,29 1015

1

−

1

c−1.

Срав-

10−34

n2

n2

6,6

к2

к2

ните с (2.1.4).

Получение формул Бальмера и вычисление постоянной Ридберга для водородоподобных систем, объяснение структуры их линейчатых спектров явилось большим успехом теории Бора. Все это было важным подтверждением основных идей, содержащихся в теории Бора.

Новое, что ввел в науку Бор, содержалось в его постулатах: стационарные орбиты (состояния) электрона; испускание или поглощение фотонов связано с переходом электрона из одного стационарного состояния в другое. Отсюда с необходимостью следовал вывод о дискретности значений энергии электронов, находящихся в этих стационарных состояниях и подчиняющихся закону целых чисел (см. 2.3.8). После работы Бора стала понятна гипотеза Планка об испускании электромагнитных волн порциями (квантами, фотонами) — по другому атомы и не могут излучать.

Очень наглядно все эти представления Бора можно изобразить с помощью так называемых энергетических «лестниц» (диаграмм), характерных для каждого атома (рис. 2.1). По оси орди-

E = 0

нат откладывается энергия элек-

Е, эВ

трона, находящегося на стацио-

(n = ∞)

Еi

hv

нарной орбите, n-номер орбиты.

Испускание

или

поглощение

n = 4

hv

атомом

фотона

обусловлено

–1,5

n = 3

переходом

электрона с одной

–3,4

n = 2

орбиты на другую (при погло-

щении фотона электрон пере-

–13,6

n =1

ходит на более «высокую» ор-

биту).

В

атомной

физике

за

Рис. 2.1 — Энергетическая лестница

«ноль» принята энергия сво-

атома водорода

бодного

электрона, этому

со-

37

стоянию соответствует «орбита» с n = ∞ . Поэтому разность энергий между состояниями с n = ∞ и n = 1 (для водорода) будет равна энергии ионизации ( Ei , см. рис. 2.1) — минимальной энергии,

которую нужно затратить, чтобы оторвать электрон от атома. Для атома водорода Ei =13,6 эВ.

Однако с самого начала в теории Бора обнаружились существенные недостатки. Главнейший — внутренняя противоречивость теории: механическое соединение классической физики с квантовыми постулатами. («Если это правильно, то это означает конец физики как науки» — А. Эйнштейн, 1913 г.). Теория не могла объяснить вопрос об интенсивности спектральных линий, серьезной неудачей явилась невозможность применить теорию для объяснения спектров многоэлектронных атомов, даже для атома гелия, где на орбите два электрона. Стало ясно, что теория Бора является лишь переходным этапом на пути создания более общей и правильной теории. Такой теорией и явилась квантовая (волновая) механика.

2.4 Опыт Франка и Герца

В1914 г. появилась статья Джеймса Франка (1887—1964 гг.)

иГустава Герца (1887—1975 гг.), которая вошла в историю науки как первая экспериментальная работа, подтверждающая постулаты Бора. Изначально целью их работы являлось измерение потенциалов ионизации атомов.

Основной частью установки (рис. 2.2, а) является трубка, заполненная исследуемым газом (например, парами ртути). Внут-

ри трубки — накаливаемый катод (К), сетки C1 и C2 , электрически соединенные между собой, и анод (А). Между А и C2 приложено небольшое задерживающее напряжение UЗ = −(0,2 ÷0,5)В. Ускоренные между катодом и C1 электроны попадают в свободное от поля пространство (между C1 и C2 ), где, в основном, и происхо-

дят их столкновения с атомами. Те электроны, которые потеряли всю свою энергию в результате столкновения с атомами, не смогут преодолеть задерживающее поле между C2 и А. Остальные (быстрые) электроны попадают на анод и создают в цепи анода ток.

		38
К С1	С2 А	J
		С1
≈ 0,5 В		А
	V1
V
R	R1
а		0	4,9	9,8	U, В
				б

Рис. 2.2

а — схема установки Франка и Герца для измерения потенциалов ионизации атомов; б — зависимость анодного тока (J)

от напряжения (U) между катодом (К) и сеткой (С1)

Удивительным было наличие пиков тока при значениях энергии электронов (равных ускоряющему напряжению между К и C1), значительно меньших энергии ионизации (потенциала ионизации) атомов. Например, потенциал ионизации атомов ртути ϕi =10,4 В, а пики тока наблюдались при UK −C1 = 4,9 и 9,8 В (см.

рис. 2.2, б). Объяснить наличие этих пиков возможно только на основе представлений о дискретности энергетических состояний электронов в атоме ртути.

Столкновения электронов с атомами Hg могут быть упругими и неупругими. При упругих столкновениях внутреннее состояние атомов ртути не меняется. Кинетическая энергия электрона может переходить в кинетическую энергию атома Hg как целого. Поскольку масса атома Hg примерно в 400 000 раз больше массы электрона, то потерей энергии электроном при упругих столкновениях можно пренебречь (электрон отражается от атома Hg как от массивной стенки).

Положение меняется, когда энергия электрона достигает значения E1 = 4,9 эВ. Атомы ртути, как и любые другие атомы,

обладают дискретными энергетическими уровнями. Для атомов Hg разность энергий между уровнем, где находятся валентные электроны, и ближайшим свободным уровнем составляет 4,9 эВ, поэтому электроны с E < 4,9 эВ их возбуждать не могут. Возбу-

39

ждение атома, т.е. переход электрона на более высокий энергетический уровень, происходит лишь тогда, когда атому передается энергия, равная разности энергий этих уровней. Эта энергия называется энергией возбуждения. При возбуждении атома происходит неупругое столкновение, при этом электрон отдает свою энергию атому и уже не может достичь анода, ток уменьшается

(см. рис. 2.2, б).

Пик тока при U = 9,8 В говорит о том, что электрон, набравший энергию в 9,8 эВ, может возбудить два атома Hg и, растеряв всю энергию, опять не может достичь анода.

Опыты Франка и Герца подтверждают и второй постулат Бора (правило частот). При U < 4,9 В пары атомов ртути не светятся. Но как только UC1−K достигает 4,9 В, начинаются неупру-

гие столкновения, атомы ртути возбуждаются. Среднее время

жизни атома в возбужденном состоянии τ 10−8 c , после чего электроны возвращаются обратно в свои стационарные состояния, испустив квант энергии, равный энергии возбуждения, т.е. 4,9 эВ, — пары ртути начинают светиться. Экспериментально измеренная длина волны этого свечения λ = 253,7 нм. Теория Бора:

hC	= eU λ =	hC	=	6,6 10−34 3 108	= 253,3 нм.
λ				1,6 10−19 4,9
		eU

Совпадение более чем убедительное.

2.5 Примеры решения задач на элементарную теорию атома

2.5.1 Определить скорость и частоту вращения электрона на второй орбите атома водорода.

Решение. Сначала определим радиус второй орбиты по

формуле (2.3.4):							4π8,85 10−12 (1,05 10−34 )2 22
		4πε0	2	n	2
r	=					=		2,1 10−10 м.
2		e2	m				(1,6 10−19 )2 9,1 10−31

40

В качестве центростремительной силы в теории Бора выступает сила кулоновского притяжения между ядром ( q1 = z e = e) и

электроном ( q = e ). Учтем, что	1	= K = 9	10	9	Н м2	:
	4πε0
2					Кл2

mυ2

r

				1						(1,6 10				)			1
									9				−19		2	2
	K q q			K e2 2																м
									9 10										6
=		1 2	υ =				=											= 1,2	10		.
		2									−10		−31
	r			r m					2,1 10											с
												9,1 10

Частоту вращения найдем из:

	υ		1,2 106
v =		=		9 1014 Гц.
	2πR		2π 2,1 10−10

2.5.2 Определить наименьшую и наибольшую энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана). Вычислить соответствующие им длины волн.

Решение. Для решения нам понадобятся формула (2.3.8) и рис. 2.1. Энергия фотона равна разности энергий электрона на разных орбитах. Серия Лаймана образуется при переходе электрона с любой орбиты на первую. Поэтому минимальная энергия фотона будет при переходе электрона с ближайшей к первой, т.е. второй, орбиты.

				1			1
Eф		= E2 − E1	= 13,6			−			= 10,2	эВ.
				12			22
	min

Максимальная энергия фотона будет при переходе электрона с максимально возможного уровня ( n = ∞ ) на первый:

E			1	−	1		= 13,6	эВ.
	фmax	= 13,6
		12			∞

Максимальная энергия фотона равна энергии ионизации атома водорода (см. рис. 2.1).

Длины волн соответствующих фотонов найдем по формуле

Eф = hλС .

λmin	=	h C	=	6,6 10−34 3 108	= 0,91 10−7 м = 91 нм,
		E		13,6 1,6 10−19
		фmax