Lesn4_Rjady

Глава VII. Элементы операционного исчисления

Теорема 1. (Существования изображения).

Пусть f(t)

- оригинал с показателем роста

s0. Тогда его

изображение F(p)

существует и аналитично в полуплос-

кости

Re p > s0.

Доказательство.

Рассмотрим

произвольную

r

точку p = s + ir

данной полуплос-

. p = s + ir

кости. Тогда s > s0 и для некоторого

M R имеют место соотношения:

.

| F( p) |

O

s0

s

= | f (t)e pt dt | | f (t) | | e pt | dt ≤

0

0

st

(s s )t

(s s )t

s t

M

M

Me 0

e

dt M e

0

dt

e

0

.

s s

s s

0

0

0

0

0

Итак,

| F ( p) |

M

.

(*)

s s

0

Неравенство означает, что несобственный интеграл (1),

определяющий значение F(p), сходится и функция определена в

точке p. Таким образом, функция F(p) определена в полуплоскости Re p > s0.

Далее доказывается, что интеграл (1) можно дифференцировать по параметру p в соответствии с формулой Лейбница:

F ( p) ( t) f (t)e ptdt .	(**)
0
Таким образом, функция F(p) дифференцируема и, следо-
вательно, аналитична в области Re p > s0.	►
Следствие 1. Пусть f(t) оригинал с показателем роста	s0. То-
гда в полуплоскости Re p > s0 имеет место равенство
F (n) ( p) ( t)n f (t)e ptdt .	(2)
0

Равенство (2) получается последовательным дифференци-

130

§1. Понятие оригинала и изображения

рованием несобственного интеграла от параметра (**) по формуле Лейбница. Предварительно доказывается возможность ее применения.

Следствие 2. Если F(p) изображение, то

lim	F ( p) 0 .	(3)
Re p

Так как Rep = Re(s + ir) = s + , то для доказательства

(3) достаточно в неравенстве (*) перейти к пределу при s + .

Пример 5.

Найдем изображение функции Хевисайда (t). Имеют место соотношения:

		(t) 1 e ptdt			1	e pt		1	.
					p			p
				0			0
	Итак,	(t)	1	. Изображение определено в полуплоскости
			p

Re p > 0.

спомним снова преобразование Фурье. Для него определено и обратное преобразование Фурье. При этом соответствующие формулы имеют двойственную структуру. Оказывается, аналогичными свойствами обладает и преобразование Лапласа.

Рассмотрим, как по известному изображению F(p) восстанавливается оригинал f(t), то есть, как определяется обратное преобразование Лапласа.

Теорема 2. (Обращения).

Пусть F(p) изображение оригинала f(t) роста s0. Тогда для любой точки t R + функции f(t) выполняется равенство

		a i
f (t)	1	F ( p)e ptdp .
	2 i
		a i

с показателем непрерывности

(4)

Интеграл вычисляется вдоль произвольной прямой

Re p = a, где a > s0.

Доказательство опустим.

Интеграл в правой части равенства (4) называется инте-

131

Глава VII. Элементы операционного исчисления

гралом Меллина. Он является несобственным интегралом I рода,

вычисляемым в		смысле		главного
значения:				r
a i			a bi
F ( p)e ptdp		lim	F ( p)e ptdp .			.	.
a	b		a bi	O	s0	a	s
i

Здесь имеет место аналогия с обратным преобразованием Фурье.

Следствие. Если непрерывные оригиналы имеют одно и то же изображение, то они совпадают между собой.

Таким образом, между непрерывными оригиналами и их изображениями существует взаимнооднозначное соответствие.

Замечание. Из равенств (1) и (4) вытекает, что оригиналы и изображения обладают двойственными свойствами.

Приведем таблицу изображений простейших оригиналов.

§2. Изображения простейших оригиналов

Оригинал

Изображение

Оригинал

Изображение

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

1

1

e t

1

p

p

t n

n!

e t tn

n!

p

n 1

( p )

n 1

sin t

e t sin t

p

2

2

( p )

2

2

cos t

p

e t cos t

p

p

2

2

( p )

2

2

sh t

t sin t

2 p

p

2 2

p2 2 2

ch t

p

t cos t

p2 2

p

2 2

p2 2 2

Обоснование всех формул проведем позже.

132

§2. Изображения простейших сигналов

Перейдем к исследованию свойств преобразования Лапласа, которые дадут нам своеобразные правила выполнения этого преобразования.

§3. Свойства преобразования Лапласа

Далее будем рассматривать оригиналы f(t), φ(t) с показателем роста s0 и их изображения F(p), Φ(p), определенные в полуплоскости Re p > s0.

Рассмотрим сначала, как изменяется изображение при определенных преобразованиях оригинала и наоборот.

1. Линейные преобразования функций и их аргументов

Теорема 1. (Линейность преобразования Лапласа).
	Для всякого C выполняются равенства:
	f (t) F(p);	(1)
	f (t) + φ(t) F(p) + Φ(p).	(2)

Доказательство вытекает из свойств линейности интеграла.

Из теоремы следует:

Умножение оригинала на константу приводит к умножению на эту константу изображения.

Изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений.

В общей теории цепей и сигналов (ОТЦиС) первое свой-

ство называется изменением масштаба амплитуды.

Теорема 2. (Подобия).

Для всякого R + выполняется равенство
f ( t)	1		p
		F		.	(3)

Равенство (3) называется изменением масштаба времени.

133

Глава VII. Элементы операционного исчисления

Доказательство. Имеют место равенства:

pt

p ( t )

f ( t)

f ( t)e

dt

1

f ( t)e

u

0

0

d( t) t

0

0

1

f (u)e

p u

1

p

►

=

du

F

.

0

Сформулируем двойственное свойство.

Теорема 2'.

Для всякого R+

выполняется равенство

F( p)

1

f

t

.

(3')

Доказательство сводится к замене в равенстве (3) числа на 1

и последующему использованию свойства линейности. Рассмотрим вещественный оригинал f(t) и его график.

y	y = f(t)
y0			y = f(t )
O t0		t0 +	t

Если R +, то график функции f(t ) получается из графика функции f(t) параллельным переносом на вдоль оси Ot в положительном направлении. Поэтому функция f(t ) тоже является оригиналом. В этом случае говорят о запаздывании

(задержке) оригинала на величину . Теорема 3. (Запаздывания оригинала).

Для всякого R + выполняется равенство
f (t ) e pF( p) .	(4)

Запаздывание оригинала на время приводит к умножению изображения на функцию e p .

134

§3. Свойства преобразования Лапласа.

Доказательство. Имеют место равенства:

									u 0
f (t ) f (t )e pt dt f (t )e pt d (t ) t
0
= f (u)e p(u )du e p f (u)e pudu e pF ( p) .										►
0				0
Рассмотрим двойственное свойство.
Теорема 3'. (Смещение изображения).
	Для всякого C выполняется равенство
				F( p ) e t f (t) .					(4')
Смещение изображения на вызывается умножением
оригинала на функцию e t .
Доказательство. Имеют место равенства:
	F ( p )			f (t)e ( p )t dt f (t)e t e ptdt e t f (t) . ►
0				0
Пример 1.
Найдем изображение показательной функции e t.
Имеем:		1	1	. Согласно (4') получаем:	1	e t	1 e t .
		p			p

Аналогичным образом находятся изображения еще трех оригиналов из второго столбца таблицы изображений.

Пример 2.

Найдем изображение sin t.

Так как

sin t

1

(ei t e i t ) ,

то согласно примеру 1 по

2i

sin t

1

1

1

свойству линейности получаем:

.

2i

p i

p i

p2 2

Итак, sin t .

p2 2

Аналогичным образом находятся изображения оригиналов cos t, sh t, ch t из первого столбца таблицы изображений.

Перейдем к исследованию классических для математического анализа операций над оригиналами и их изображениями.

135

Глава VII. Элементы операционного исчисления

Лекция 17

2. Операции над оригиналами и изображениями

Заметим сначала, что оригинал в точке t = 0 может иметь разрыв первого рода. См., например, функцию Хевисайда. При этом для левого предела имеем f( 0) = 0. В дальнейшем под f(0)

будем понимать правый предел: f(0) = f(+0) = lim f (t) . t 0

ассмотрим операцию дифференцирования.

Теорема 4. (Дифференцирование оригинала).
	Если производная f (t) оригинала f(t)	тоже является
	оригиналом, то
	f (t) pF( p) f (0) .	(5)
Доказательство. Справедливы равенства:

f (t)

0

f (t)e ptdt e ptdf (t)

0

e pt f (t)		p f (t)e ptdt =
	0	0

= 0 f(0) + pF(p) = pF(p) f(0).	►
Следствие 1. Если производная f (t) оригинала	f(t) есть ориги-
нал и f(0) = 0, то
f (t) pF( p) .	(6)

Равенство (6) означает, что дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на аргумент p.

Следствие 2. Если производные f '(t), f "(t), …, f(n)(t) оригинала f(t) являются оригиналами, то

f (n) (t) pnF( p) pn 1 f (0) ... pf (n 2) (0) f (n 1) (0) . (7)

Доказательство сводится к последовательному применению равенства (5) к производным f "(t), …, f(n)(t). Например,

f (t) pL( f (t)) f (0) p[ pF( p) f (0)] f (0) = p2 F( p) pf (0) f (0) .

Сформулируем двойственное свойство.

136

§3. Свойства преобразования Лапласа.

Теорема 4'. (Дифференцирование изображения).

Для всякого n N выполняется равенство
F (n) ( p) ( t)n f (t) .	(7')

Доказательство. См. следствие 1 теоремы 1 из §1.

Равенство (7') означает, что однократное дифференцирование изображения вызывается умножением оригинала на t.

Пример 3.

Найдем изображение функции (t) tn .

Так как

f (t) 1

1

F( p) ,

то согласно (7) получаем:

p

( t)n

1 ( t)n f (t) F( p)(n)

1

(n)

( 1)n

n !

.

p

p

n 1

Следовательно, t n

n !

.

pn 1

ерейдем к интегрированию оригинала.

Теорема 5. (Интегрирование оригинала).

t

Если f(t) оригинал, то интеграл f (t)dt с переменным

0

верхним пределом тоже является оригиналом и

	t		F ( p)
	f (t)dt			.	(8)
			p
	0

Равенство (8) означает, что интегрирование оригинала сводится к делению его изображения на аргумент p.

Доказательство. Обоснование первой части теоремы носит технический характер, и мы его опустим.

t

Пусть функция (t) f (t)dt является оригиналом и

0

(t) (p). Тогда, с одной стороны, по свойству интеграла с переменным верхним пределом имеем: (t) f (t) F( p). С дру-

гой стороны, по следствию 1 теоремы 4 получаем (t) pΦ( p) ,

137

Глава VII. Элементы операционного исчисления

0
так как (0) f (t)dt 0 . Получили два изображения одного и
0
того же оригинала. Следовательно, они равны:	p (p) = F(p). От-
сюда вытекает равенство (8).	►

Двойственный результат формулируется так.

Теорема 5'. (Интегрирование изображения).

Пусть интеграл F ( p)dp сходится абсолютно, если путь p

интегрирования лежит в		полуплоскости					Re p > s0 и
Re p при	p . Тогда		1	f (t) является оригиналом и
			t
					f (t)
	F ( p)dp					.	(8')
	p				t

Доказательство опустим.

Равенство (8') означает, что интегрирование изображения вызывается делением оригинала на аргумент t.

Пример 4.

Найдем изображение функции (t) sint t .

Так как

f (t ) sin t

1

F ( p) ,

то по формуле (8') получаем:

p2 1

f (t )

dp

sin t

F ( p)dp

arctgp

arctgp .

t

t

1 p

2

p

2

p

p

Как мы уже знаем, сложение оригиналов приводит к сложению их изображений. Аналогичное свойство для умножения оригиналов не имеет места. Это вытекает из свойств интегралов. В связи с этим рассмотрим особый вид умножения оригиналов.

138

§3. Свойства преобразования Лапласа.

3. Свертка функций и ее изображение

Введем основное понятие.

Определение 1. Пусть f(t), (t) оригиналы. Функция (f )(t), определяемая равенством

t
( f )(t) f ( ) (t )d ,	(9)
0
называется сверткой оригиналов f(t) и (t).
Рассмотрим сначала простейшие свойства свертки.
1. Если f(t), (t) оригиналы с показателями роста	s1 и s2,

то их свертка f является оригиналом с показателем роста s0 max(s1, s2 ) .

Доказательство опустим.
2. Свертка обладает свойством перестановочности
f = f.	(10)

Доказательство сводится к выполнению замены u = t в интеграле (9). Действительно,

t	t
( f )(t) f ( ) (t )d f ( ) (t )d(t ) t			0t u		t0
0	0

0

t

t
f (t u) (u)du = (u) f (t u)du = ( f )(t) .	►
0
Обратимся к основному свойству свертки.

Теорема 6. (Бореля . Умножение изображений).

Свертывание оригиналов сводится к умножению их изображений:

f

F( p) ( p) .

(11)

Доказательство. Рассмотрим интеграл, изображающий свертку

Борель, Эмиль (1871 1956), французский математик.

139