Lesn4_Rjady
.pdfГлава III. Степенные ряды
Лекция 6
§3. Ряд Тейлора.
Разложение функции в ряд Тейлора
До сих пор мы в первую очередь рассматривали степенной ряд an (z z0 )n , а затем его сумму. Теперь будем рассматривать их в обратном порядке. Соответственно, изменится и терминология. Если степенной ряд an (z z0 )n сходится в области D к функции f(z), то будем говорить, что функция f(z) рас-
кладывается в области D в степенной ряд an (z z0 )n и
писать
f (z) an (z z0 )n .
ля каждого степенного ряда его сумма f(z) определяется однозначно. Возникает вопрос, а будет ли однозначным разложение функции в степенной ряд? Ответ на этот вопрос дает
Теорема 1. Если функция раскладывается в некотором круге в степенной ряд, то это разложение единственно.
Доказательство. Пусть функция f(z) раскладывается в некотором круге в степенной ряд
f (z) an (z z0 )n a0 a1 (z z0 ) ... an (z z0 )n ...
Функция аналитична в круге, поэтому имеет в нем производные любого порядка и ряд можно дифференцировать почленно. Вычислим первые n производных:
f (z) (1!)a1 (2!)a2 (z z0 ) ... nan (z z0 )n 1 ... ;
f (z) (2!)a2 (3!)a3(z z0 ) ... (n 1)nan (z z0 )n 2 ... ;
…
f (n) (z) (n!)an ((n 1)!)an 1(z z0 ) ...
Вычислим последнюю производную в точке z0 : f (n) (z0 ) (n!)an . Отсюда следует равенство
50
§3. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
a |
|
|
f (n) ( z |
0 |
) |
. |
n |
n! |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Из равенства следует, что все коэффициенты степенного ряда однозначно определяются значениями производных функции f(z). Теорема доказана. ►
Из доказательства теоремы следует, что если функция f(z) раскладывается в некоторой области в степенной ряд, то этот ряд
|
|
|
|
(n) |
(z0 ) |
|
|
|||
можно представить в виде |
|
|
f |
|
(z z0 )n . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n 0 |
n! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 1. Степенной ряд вида |
|
|||||||||
|
|
|
f |
(n) |
(z0 ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(z z0 )n |
(1) |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
n |
0 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
называется рядом Тейлора функции f(z). |
|
||||||||
|
Если z0 = 0, то ряд называется рядом Маклорена ** |
|
||||||||
|
|
Если функция раскладывается в некотором круге в степенной ряд (являющийся для нее рядом Тейлора), то согласно теореме 2 из §2 она аналитична в данном круге. Оказывается, верно и обратное утверждение.
Теорема 2. (Тейлора).
Если функция f(z) аналитична в круге | z z0 | R , то она раскладывается в этом круге в ряд Тейлора:
f (z) an (z z0 )n , |
(2) |
|||||||
a |
|
|
|
f (n) ( z |
0 |
) |
. |
(3) |
n |
|
n! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство опустим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 1. Функция f(z) |
раскладывается в круге |
| z z0 | R |
в ряд Тейлора (2) тогда и только тогда, когда она аналитична в этом круге.
Тейлор, Брук (1685 – 1731), английский математик.
** Маклорен, Колин (1698 – 1746), шотландский математик.
51
Глава III. Степенные ряды
Определение 2. Открытый круг | z z0 | R максимального ра-
диуса R с центром в точке z0, в котором функция f(z) раскладывается в ряд Тейлора (2), называется кругом разложения функции в окрестности точки z0.
Следствие 2. Радиус R круга разложения функции в окрестности точки z0 равен расстоянию от точки z0 до ближайшей точки z*, в которой функция не аналитична:
R | z |
* |
z0 | . |
(4) |
|
|
|
так, мы получили достаточно простой критерий того, что функцию можно разложить в степенной ряд. Как же практически выполнить это разложение? Рассмотрим несколько способов.
1. Непосредственное разложение
Разложение функции в степенной ряд можно выполнить непосредственно по формулам (2) и (3). Сначала по формуле (3) находят коэффициенты ряда, а затем по формуле (2) записывают само разложение. Так получают, например, разложения некоторых из основных элементарных функций в ряд Маклорена. Наиболее важными из них являются следующие 6 разложений.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
(1 z) 1 ( 1) ... ( (n 1)) |
zn . |
||||||||
|
|
|
n 1 |
n! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
KR : | z | 1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z2 |
|
z3 |
|
zn |
|
||
2) |
ez |
zn |
1 z |
|
... |
... ; |
||||
n! |
2! |
3! |
n! |
|||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
KR = C.
|
|
|
|
zn |
|
|
z2 |
|
|
z3 |
||||||
3) |
ln(1 z) |
( 1)n 1 |
z |
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
n 1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
KR : | z | 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2n 1 |
|
z |
3 |
|
|
z |
5 |
|
|||||
4) |
sin z ( 1)n |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n 0 |
|
3! |
|
5! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1)n 1 znn ... ;
z 2n 1
... ( 1)n (2n 1)! ...
KR = C.
52
§3. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
|
|
|
z 2n |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
z 2n |
|
|
|
|||||||
5) |
cos z ( 1)n |
|
|
|
1 |
|
|
|
... ( 1)n |
|
|
|
|
|
... ; |
|||||||||||||||
(2n)! |
|
|
|
|
|
(2n)! |
||||||||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KR = C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2n 1 |
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
z |
5 |
|
|
|
|
|
|
z 2n 1 |
|
|||||
6) |
arctgz ( 1)n |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
... |
( 1)n |
|
|
|
|
|
... |
|||||||||||
2n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KR : |
| z | 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим разложение в ряд Маклорена функции |
f (z) ez . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Функция |
f (z) ez |
аналитична на всей комплексной плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||
C и имеет на ней производные любого порядка n: f (n)(z) = ez. |
Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
f (n) ( z ) |
|
|
e0 |
|
1 |
|
|
|||||||||||
z0 = 0, то согласно равенству (3) имеем |
|
|
0 |
|
|
|
. Под- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
n! |
n! |
ставляя z0 = 0 и найденные коэффициенты an в равенство (2), получаем разложение функции f (z) ez в ряд Маклорена. Оно имеет место во всех точках z комплексной плоскости, то есть KR = C.
Замечание. Ряды Маклорена для функций ln(1 x), sin x, cos x, arctgx в каждой точке из области сходимости являются рядами Лейбница.
2. Использование известных разложений
Суть этого метода заключается в следующем. Функцию f(z), которую предстоит разложить в степенной ряд, выражают через вспомогательные функции, для которых разложение уже известно или его можно легко получить. При этом в выражении для f(z) используют только такие операции над вспомогательными функциями, которые можно выполнять и для степенных рядов. Затем в полученное выражение для f(z) подставляют соответствующие степенные ряды и выполняют необходимые операции над рядами.
При использовании этого метода чаще всего используются арифметические операции, дифференцирование, интегрирование, подстановка вместо простой переменной z некоторой функции φ(z).
53
Глава III. Степенные ряды
Пример 2.
Используя разложение sinz в ряд Маклорена, получим разложение в ряд Маклорена cosz.
|
|
z 2n 1 |
|
|
Разложение |
sin z ( 1)n |
имеет место на всей |
||
(2n 1)! |
||||
|
n 0 |
|
||
|
|
|
комплексной плоскости C . По теореме о почленном дифференцировании степенного ряда получаем:
|
|
|
|
n z |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
z |
2n 1 |
|
|
|||
cos z (sin z) |
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(2n 1)! |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 1)! |
|
|||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(2n |
1)z |
2n |
|
|
|
|
z |
2n |
|
|
|
|
|||
( 1)n |
|
( 1)n |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
(2n 1)! |
|
(2n)! |
|
|
|
||||||||||||||
n 0 |
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное разложение имеет место на всей комплексной плоскости.
Пример 3.
Разложим в ряд Маклорена функцию f(z) = sin z2.
Воспользуемся |
уже |
известным |
|
|
разложением |
|||||
|
z 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z ( 1)n |
. |
Оно имеет место на всей комплексной |
||||||||
|
||||||||||
n 0 |
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
плоскости C, формально – в круге |z | < + . |
|
|
|
|
||||||
Представим произвольное |
z C в виде |
|
z = t2 и подста- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
)2n 1 |
|
||
вим его в данное разложение: sin t 2 ( 1)n |
(t |
|
. Это ра- |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n 0 |
(2n 1)! |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
венство имеет место для всякого t, удовлетворяющего условию | t2 | < + , которое равносильно неравенству |t | < + . Заменив теперь t на z, получим разложение функции f(z) = sin z2 в ряд Маклорена на всей комплексной плоскости:
|
|
z |
4n 2 |
|
||
sin z 2 |
( 1)n |
|
|
. |
||
(2n 1)! |
||||||
|
n 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
Задание. Разложить функции shz, chz в окрестности точки z0 = 0.
54
§3. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
3. Разложение рациональных дробей
В основе разложения в степенной ряд рациональных дро-
бей лежит формула суммы |
S |
a |
|
|
бесконечной убывающей |
|||
|
|
|||||||
1 q |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
геометрической прогрессии |
aqn . |
|
|
|
||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
||
Пример 4. Разложить функцию |
f (z) |
1 |
в ряд Тейлора в окрестно- |
|||||
z 6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
сти точки z0 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем сначала круг разложения функции. Функция f (z) |
1 |
|
||||||
z 6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
аналитична на всей комплексной плоскости, кроме точки z* = 6. Согласно следствию 2 из теоремы Тейлора радиус R круга разложения равен R = |z* – z0| = |6 – 2| = 4. Функция будет раскладываться в круге |z
– 2| < 4.
Преобразуем функцию следующим образом
|
|
f (z) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
z |
6 |
(z |
2) |
4 |
4 1 |
z |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим число |
q |
z 2 |
. В круге разложения оно удовле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
творяет условию | q | |
|
| z 2 | |
|
|
1 . Это неравенство позволяет предста- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вить второй множитель функции f(z) |
|
в виде суммы убывающей гео- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
метрической прогрессии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
z 2 |
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 1 |
|
|
|
4 1 q |
|
|
4 n 0 |
|
|
|
|
|
|
4 n 0 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z 2 n . |
|
|
||||||||||||
Окончательно получаем |
f (z) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
Глава III. Степенные ряды
Способы разложения, рассмотренные в примерах 2 и 4, позволяют разложить в ряд Тейлора любую рациональную дробь в окрестности любой точки z0, в которой эта дробь является аналитической функцией.
Перейдем к рассмотрению одного из приложений разложения функции в ряд Тейлора.
§4. Нули функции
Определение 1. |
Точка z0 называется нулем функции f(z), если |
|||
|
|
f(z0) = 0. |
|
(1) |
|
Точка z0 |
называется нулем кратности m функции f(z), |
||
|
если для некоторой функции (z), аналитической в точке |
|||
|
z0, выполняется условие |
|
|
|
|
|
f (z) (z z )m (z) , |
(z0) 0. |
(2) |
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
Равенство (2) будем называть стандартным видом функ- |
||||
ции в окрестности нуля. |
|
|
||
Пример 1. |
|
|
|
|
Найти нули функции f (z) ez (z2 4)3 . |
|
|
||
Представим функцию в виде f(z) = (z 2i)3(z + 2i)3ez |
. Так как |
|||
ez 0 при любом |
z C , то f(z) имеет только два нуля: z0 |
= 2i. Со- |
гласно условию (2) оба нуля имеют кратность m = 3.
Теорема 1. Точка z0 является нулем кратности m функции f(z) тогда и только тогда, когда функция раскладывается в некоторой окрестности точки z0 в ряд Тейлора вида
f (z) an (z z0 )n , am 0. (3) n m
Доказательство. Пусть точка z0 является нулем кратности m функции f(z). Согласно определению это означает, что для некоторой функции (z), аналитической в точке z0, выполняется
56
§4. Нули функции.
условие (2). |
|
|
|
|
|
|
Разложим функцию (z) |
в окрестности точки |
z0 |
в ряд |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Тейлора |
(z) cn (z z0 )n . При этом получим c0 |
= (z0) 0. |
||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
Согласно |
равенству |
(2) |
имеем |
f (z) (z z )m (z) = |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= (z z0 )m cn (z z0 )n cn (z z0 )n m an (z z0 )n |
- ра- |
|||||
|
n 0 |
n 0 |
|
n m |
|
|
венство (3). Здесь мы изменили индексацию и переобозначили коэффициенты. Так как am = c0 0, то условие (3) выполнено.
Если выполнено условие (3), то можем записать:
|
|
f (z) an (z z0 )n cn (z z0 )n m |
|
n m |
n 0 |
Рассмотрим сумму степенного ряда
(z z0 )m cn (z z0 )n .
n 0
(z) cn (z z0 )n . Она
n 0
аналитична в окрестности точки z0. При этом (z0) = c0 = am 0.
Кроме того, выполняется равенство f (z) (z z |
0 |
)m (z) . Следо- |
|
|
|
|
|
вательно, точка z0 является нулем кратности |
m аналитической |
||
функции f(z). Теорема доказана. |
|
|
► |
Следствие. Точка z0 является нулем кратности m функции f(z), тогда и только тогда, когда выполняется условие
f (z |
) f (z |
) ... f (m 1) (z |
) 0, |
f (m) (z |
) 0 . |
(4) |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
Доказательство вытекает непосредственно из теоремы и равен-
ства an f (n) ( z0 ) для коэффициентов ряда Тейлора. n!
Условия (4) используются при практическом нахождении порядка нуля функции.
Пример 2.
Рассмотрим функцию f(z) = sin z2 и точку z0 = 0.
57
Глава III. Степенные ряды
Точка z0 является нулем функции f(z). В примере 3 из §5 было получено разложение функции в окрестности точки z0
|
|
z |
4n 2 |
|
|
1 |
|
|
|
sin z 2 |
( 1)n |
|
|
z 2 |
|
z 6 |
... . |
||
(2n 1)! |
|
||||||||
|
n 0 |
|
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме 1 из него следует, что точка z0 = 0 является нулем кратности m = 2. Этот же результат мы получим, если воспользуемся следствием из теоремы. Предлагается проверить это самостоятельно.
Рассмотрим теперь, как решаются некоторые задачи математического анализа с использованием рядов Тейлора.
§5. Приложения рядов Тейлора
На практических занятиях будут рассмотрены следующие приложения:
1)Приближенное вычисление значения функции в точке f (z0 ) ;
2)Вычисление предела функции: lim f (z) ;
z0
3) Вычисление значения производной высокого порядка данной
функции: f (n) (z0 ) ;
4) Приближенное вычисление определенного интеграла:
b
f (x)dx ; a
5) Решение задачи Коши для дифференциальных уравнениний высшего порядка.
58
§1. Ряд Лорана. Основные понятия.
Лекция 7
Глава IV.
Ряды Лорана
В данной главе рассмотрим функциональные ряды более общего вида, чем степенные ряды.
§1. Ряд Лорана. Область сходимости ряда
Степенные ряды строятся из степенных функций с целыми неотрицательными показателями. При построении ряда Лорана используются дополнительно степенные функции с целыми отрицательными показателями. Посмотрим, как это делается.
|
|
(z z0 )n . Он |
Возьмем произвольный степенной ряд |
an |
|
|
n 0 |
|
сходится (абсолютно) в некотором круге |
| z z0 | R . Сумма |
|
ряда f1 (z) аналитична в этом круге. |
|
|
Рассмотрим теперь
Сделав в нем замену |
1 |
|
|
||
z z0 |
||
|
|
|
bn |
|
|
|
функциональный ряд |
|
|
|
. |
|
(z z |
|
|
|||
|
0 |
)n |
|||
|
n 1 |
|
|
|
w , получим степенной ряд bnwn .
n 1
Он сходится (абсолютно) в некотором круге |w| R1 к аналити-
|
|
|
bn |
|
|
|
ческой функции f 2 |
(w) . Тогда функциональный ряд |
|
|
|
||
(z z |
0 |
)n |
||||
|
|
|||||
|
|
n 1 |
|
|
сходится в соответствующих точках z, удовлетворяющих нера-
венству |
|
1 |
|
| w | R |
. Обозначив |
1 |
r , получим для точек |
||||
|
|
|
|||||||||
|
z z0 |
|
|
1 |
|
R1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z условие |
|z-z |
| |
1 |
|
1 |
|
r . |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|w| |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59