mathanaliz

Лемма 2. Если lim xn = a R \ {0}, то существуют числа K > 0 и N = N(K) N такие, что n > N : |xn| > K.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Положим K = |a2|.

	6		îïð.24
(xn → a) =		(|xn| → |a|) =
	N = N(K)		N такое,что

||

| − | ||

< K =

a

n > N : xn

a

| | =

2

a

|

|

3

a

2

xn

<

2

n > N : | | <

· | |

.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из леммы 2 следует, что если предел последовательности не равен нулю, то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности отличны от нуля.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 35. Последовательность (xn) называется отделимой от нуля, если K > 0 и N = N(K) N такие, что

n > N : |xn| > K.

Из леммы 2 следует, что если

lim xn = a R \ {0},

то последовательность (xn) отделима от нуля.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Лемма 3. Если lim xn = a R\{0} и все члены последовательности отличны от нуля, то

последовательность x1n ограниченная.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

2

(xn → a) = ( Ê > 0, N = N(K) N такие,

что n > N : |xn| > K) =

1

1

n > N :

<

=

xn

K

1

1

1

1

M = max

,

,

,

,

такое, что

· · ·

x

1

x

2

x

N

K

|

|

|

|

|

|

1

n

:

.

N

< M

xn

Из

выделенного

синим

цветом

следует,

по

определению 23, что последовательность x1

n

ограниченная.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 14. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, lim xn = a, lim yn = b, причёмn N : yn 6= 0 и b 6= 0, то последовательность xn сходится и её предел равен

yn

отношению пределов последовательностей

(xn) и (yn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

					7
(xn → a) = (xn
					7
(yn → b) = (yn
xn				a a + αn
					=
			−
	y	n		b		b + β
						n

= a + αn, αn		→		0)
						=
= b + βn, βn	→		0)

a		=	1		b · αn − a · βn				,
− b			yn	·
							b
				αn			0, βn
										0
						→		→

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

			1
Так как последовательность					ограничена
				yn
b	→	0	(см. теоремы 11
(лемма 3), а b·αn−a·βn
и 9), то последовательность			b·αn−a·βn			- бес-
					b·yn

конечно малая (по теореме 11). Тогда, в силу теоремы 7, получаем, что

xn	→	a		или	xn			lim xn
					lim		=			.
yn		b				yn			lim yn

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.7. О неопределённостях.

При рассмотрении теорем о пределах мы не рассматривали последовательности стремящи-

еся к бесконечности, а также случай, когда при отыскании предела частного последовательность, стоящая в знаменателе, сходится к нулю.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit