mathanaliz

Пример 19. Найти

2n − 1 lim 3n + 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение. Последовательности xn = 2n − 1 и yn = 3n + 1 бесконечно большие. Для рас-

крытия неопределённости

∞!

воспользуемся

∞

"Методом доминант". Тогда получим

n

n

1

2

1

2

1

2n

lim

−

=

∞

= lim

−

= 0,

n

n

1

3

+ 1

∞

3

1 + 3n

т.к. доминанта знаменателя имеет более высокий порядок роста, чем доминанта числителя

(2n 3n).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 20. Найти

√							2 2
		n	2
				+ 1 + n
lim		√3					.
					n6 + 1

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Решение.

Последовательности

xn

=

√

2 2

√3

n

2

n

6

+ 1

бесконечно

+ 1 + n

и yn =

большие. Для

раскрытия

неопределённости

∞∞! воспользуемся "Методом доминант". Тогда получим

√

+ n2 2

n2 + 1

∞

lim

=

=

3

6

+ 1

√n

4

1 v

2

∞

1

n

1 +

u1 +

nu

n

= lim

t

= ∞,

2

1

1

n

3

1 +

n6

т.к. доминанта числителя имеет более высокий порядок роста, чем доминанта знаменате-

ля n2 n4!.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.7.2. О разности бесконечно больших последовательностей.

Пусть xn → ±∞ и yn → ±∞.

Что можно сказать про предел последовательности (xn − yn)?

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

xn = n2 + n

→

+

= xn

yn = n

+ ;

1.

= n

2

∞

−

y

2

→

+

∞

→ ∞

n

xn = n + 5

→

+

= xn

yn = 5

5;

2.

= n

2

∞

−

→

y

2

+

∞

n

→1

xn = n + n

→

+

= xn

1

0;

3.

= n

2

∞

−

yn = n

→

y

→

+

∞n

n

2

1

xn = n + (

−

1)

−

+

= xn

yn

= ( 1)

n

1

- предела не

4.

2

→

∞

−

−

yn = n

→

+

∞

−

имеет.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

xn = n2 + n

→

+

= xn

yn = n

+ ;

1.

= n

2

∞

−

y

2

→

+

∞

→ ∞

n

xn = n + 5

→

+

= xn

yn = 5

5;

2.

= n

2

∞

−

→

y

2

+

∞

n

→1

xn = n + n

→

+

= xn

1

0;

3.

= n

2

∞

−

yn = n

→

y

→

+

∞n

n

2

1

xn = n + (

−

1)

−

+

= xn

yn

= ( 1)

n

1

- предела не

4.

2

→

∞

−

−

yn = n

→

+

∞

−

имеет.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

xn = n2 + n

→

+

= xn

yn = n

+ ;

1.

= n

2

∞

−

y

2

→

+

∞

→ ∞

n

xn = n + 5

→

+

= xn

yn = 5

5;

2.

= n

2

∞

−

→

y

2

+

∞

n

→1

xn = n + n

→

+

= xn

1

0;

3.

= n

2

∞

−

yn = n

→

y

→

+

∞n

n

2

1

xn = n + (

−

1)

−

+

= xn

yn

= ( 1)

n

1

- предела не

4.

2

→

∞

−

−

yn = n

→

+

∞

−

имеет.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

xn = n2 + n

→

+

= xn

yn = n

+ ;

1.

= n

2

∞

−

y

2

→

+

∞

→ ∞

n

xn = n + 5

→

+

= xn

yn = 5

5;

2.

= n

2

∞

−

→

y

2

+

∞

n

→1

xn = n + n

→

+

= xn

1

0;

3.

= n

2

∞

−

yn = n

→

y

→

+

∞n

n

2

1

xn = n + (

−

1)

−

+

= xn

yn

= ( 1)

n

1

- предела не

4.

2

→

∞

−

−

yn = n

→

+

∞

−

имеет.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Приведённые примеры показывают, что если xn → ±∞ и yn → ±∞, то последовательность

(xn − yn) может сходится, может стремится к ∞ или вообще не иметь предела. Всё зависит от заданных бесконечно больших последовательностей (xn) и (yn). В этом случае говорят, что имеет место неопределённость вида (∞ − ∞). Раскрыть неопределённость вида (∞ − ∞) означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных беско-

нечно больших последовательностей xn и yn, решить вопрос о пределе последовательности

(xn − yn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit