Поставленную задачу решает следующая теорема, принадлежащая чешскому математику Больцано (B. Bolzano) и французскому математику Коши´ (A.E. Cauchy).
Теорема 24. (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность (xn) сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость.
Пусть lim xn = a.
Фиксируем произвольное ε > 0.
(xn → a) |
опр.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
N т.ч. |
|
| |
|
− |
| |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
N |
|
n > N : |
|
xn |
|
a |
< |
|
|
= |
|
n > N и |
|
|
|
|
| |
|
− |
|
|
| ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
p |
|
N : xn+p |
|
|
|
|
ε |
ε |
|
|
≤ | |
|
|
− |
| |
| |
|
− |
|
| |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
xn+p |
|
a |
+ a |
|
|
xn |
< |
|
+ |
|
= ε |
Из выделенного синим цветом, по определению 46, следует, что последовательность (xn) фундаментальная.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Достаточность. Пусть последовательность (xn) фундаментальная.
Фиксируем произвольное ε > 0.
опр.46
((xn) − фундаментальная ) =
N = N(ε) N такое что n > N и
|
|
|
|
|
|
ε |
|
10.16 |
|
| |
− |
xn |
| |
< |
|
|
|
|
|
|
p |
N : xn+p |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N : a = xn |
− |
ε |
|
ε |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
p |
|
|
|
|
< xn+p = yp < xn + |
|
= b |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Разделим промежуток [a, b] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содержаться
бесконечное множество элементов последовательности (yp), ибо, в противном случае, и
на всём промежутке [a, b] этих элементов содержалось бы конечное число, что невозможно. Итак, пусть [a1, b1] будет та из половин, которая содержит бесконечное множество чисел yp (или если обе половины таковы, то любая из них).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Аналогично, из промежутка [a1, b1] выделим его половину [a2, b2] – при условии, чтобы в ней содержится бесконечное множество чисел yp и т.д. Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-ой стадии его выделим проме-
жуток [ak, bk], также содержащий бесконечное множество чисел yp.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Каждый из построенных промежутков (начиная со второго) содержится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того длина k-го промежутка, равная bk −ak = b2−ka = 2·ε2k , стремится к нулю с возрастанием k.
В силу леммы 4, получаем, что (ak) и (bk)
стремятся к общему пределу c [a, b].
Тогда n > N : |xn − c| < ε.
Из выделенного синим цветом, в силу определения 24, следует, что lim xn = c. 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из теоремы 24 видно, что сходящиеся после-
довательности обладают свойством:
члены последовательности между собой безгранично сближаются по мере возрастания их номеров.
Критерий Коши часто используется при доказательстве теорем о последовательностях.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Замечание 1. Фундаментальные последовательности ввёл Больцано, пытавшийся, не располагая точным понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последовательности. Коши дал такое доказательство, приняв за очевидное лемму о вложенных промежутках, доказанную впоследствии Кантором.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 24 допускает следующую переформулировку, полезную для доказательства расходимости конкретных последовательностей.
Теорема 25. Для расходимости последовательности (xn) необходимо и достаточно чтобы существовало число ε > 0 такое, чтоN N нашлись бы номера n > N и p N, для которых выполнялось бы неравенство
|xn+p − xn| ≥ ε.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 31. Пользуясь теоремой 25, доказать, что последовательность (xn),
|
1 |
|
1 |
1 |
|
xn = 1 + |
|
+ |
|
|
+ · · · + |
|
(n = 1, 2, 3, . . .), |
2 |
3 |
n |
расходится.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
