Миноры определителя Гурвица

1

cm 1

cm 3

cm 5

…

cm 2

cm 4

2

c

m

…

3

0

cm 1 cm 3

…

На границе устойчивости

m c0 m 1 0

• Пример: пусть m 1	, тогда Aз*(w) c1w c0,
причём	c0 a1 a0
c1 a1 a0

Условия устойчивости САУ:

c1 a1 a0 0, c2 a1 a0 0.

• Аналог критерия Михайлова

При исследовании устойчивости САУ с АИМ с помощью аналога критерия Михайлова в характеристическом

полиноме

Aз*(q) amemq am 1e(m 1)q a1eq a0

производят замену оператора дискретного преобразования Лапласа q на переменную j и на комплексной плоскости строят характеристическую кривую

Aз*( j ) ame j m am 1e j (m 1) a1e j a0

U ( ) jV ( j ).

Замкнутая система с АИМ будет устойчива, если при возрастании от 0 до характеристическая

кривая обходит последовательно в положительном направлении 2m квадрантов комплексной плоскости, где m – степень характеристического полинома.

Im Aз*( j )	m 3
	m 2
	m 1
0	0	Re Aз*( j )

Граница устойчивости системы определяется совокупностью параметров, при которых характеристическая кривая проходит через начало координат, т.е. на границе устойчивости

Re A( j ) Uз*( ) 0,

Im A( j ) Vз*( ) 0.

Значение частоты , при котором выполняется эта система уравнений, определяет граничную частоту

• Аналог критерия Найквиста

Используется амплитудно-фазовая частотная

характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы

Wp*( j ,0) Wp*( j )

Критерий устойчивости формулируется следующим образом

Для того чтобы замкнутая система с АИМ,

непрерывная часть которой устойчива, была
устойчивой необходимо и достаточно, чтобы
годограф АФЧХ разомкнутой системы			W *( j )
			p	при
возрастании
	от 0 до не охватывал точку с
координатами		1, j0

Годограф АФЧХ устойчивой САУ

ImWp*( j )

ReWp*( j )

-1 ω π 0

0

На границе устойчивости

ReWp*( j ) 1,

ImW *( j ) 0.

p

Удаление годографа от точки 1, j0 характеризует запасы устойчивости по фазе и амплитуде (модулю, усилению).

• Запас устойчивости по фазе определяется как
величина угла ψ *(ω) π					для частоты среза cp,
при которой		W *( j )		1
		p

•Запас устойчивости по амплитуде (модулю, усилению) определяется как величина, обратная

модулю АФЧХ	a		1
				W *( j )
				p
для частоты, на которой				*(ω) π

ImWp*( j )

1	а		0
		0	*	( j )
cp			ReWp

Частоты, при которых *(ω) π , называют критическими, а частоту, при которой определяется запас устойчивости по амплитуде, называют граничной. Если критическая частота одна, то она является граничной