№2. Для системы векторов xr1 = (1,1,1), xr2 = (1,2,3), xr3 = (1,3,2)																																																																построить
ортонормированную систему.
{ 1		,Ur			2	,Ur				3}			- ортонормированный базис. Метод Грама-Шмидта.
Ur
Решение:
xr1, xr2 , xr3 - линейно-независимые векторы
r			r																r									Vr								1						1							1
V1 = x1 = (1,1,1),																		U1				=						r1			=								,							,								,
r			r							r					r						r							V1									3 3 3
																									= (1,2,3) −(2,2,2) = (−1,0,1) ,
V2	= x2 −(x2 ,U1) U1
r					Vr													1									1
U2	=				r2					=					−						,0,										.
																			2								2
					V2
Vr3 = xr					3 −(xr3,Ur1 ) Ur1 −(xr3,Ur2 ) Ur2 =
														1						3								2								1						1							1											1					2							1						1
= (1,3,2)−																		,					,															,						,								−					−						,0,							−				,0,									=
																																																												2					2							2						2
															3 3 3																					3 3 3
= (1,3,2)−												6								1					,		1			,			1									1									1				,0,				1
																																					−								−																	=
														3																																					2								2
																				3 3 3																						2
= (1,3,2)−(2,2,2)−																											−		1		,0, 1							=				(−1,0,0)												−			−		1 ,0, 1					=					−1 ,1,−				1			.
																													2 2																														2 2										2					2
					Vr
r																				1																1							1								2									1					1							1				2							1
U3	=				r3					=																							−			2	,1,					−	2						=								−			2		,1,−			2			=		−			,						,−					.
																	1																																					6
					V														+1+									1																																												6 6											6
						3											4										4

1.11. Линейные операторы и их матрицы. Действия над линейными операторами. Обратный оператор

№1.	Пусть				(x1 , x2 , x3 )T ,						) = (x1 + x3 , −x2 , x2 −3x3 ), g(			)= (− x3 ,2x1 , x 2 ). Найти
				x					f (				x
										x
матрицы операторов f и g, и матрицу оператора 3g +2 f 2 .
Решение:
	1 0				1			0	0		−1
A =		0				, B		2	0	0
			−1 0				=					.
		0	1					0	1	0
				−3
Матрица оператора 3g +2 f 2									равна

43

	0	0	−1			1	0	1			1	0	1			0	0	−3
	2	0	0			0	−1 0				0	−1 0				6	0	0		+
3B + 2A2 = 3					+ 2										=
	0	1	0			0	1				0	1				0	3	0
								− 3					− 3

1 1			− 2			0	0	−3		2 2			− 4	2 2				− 7
	0	1	0			6	0	0			0	2	0			6	2	0
+ 2					=					+					=				.
	0	− 4 9				0	3	0			0	−8 18				0	− 5 18

№2. Является ли линейным следующее преобразование

Bxr = (2x1 + x2 +3, x1 − x2 , 4)T ?

Решение:

r

r

αx + βy =α (x1, x2 , x3 )+ β (y1, y2 , y3 )= (αx1 + βy1, αx2 + βy2 , αx3 + βy3 ),

r

+

r

B(αx

βy) = (2(αx1 + βy1 )+(αx2 + βy2 )+3, αx1 + βy1 −αx2 − βy2 , 4)=

= (2αx

1

+ 2βy +αx

2

+ βy

2

+3, αx + βy −αx

2

− βy

2

, 4).

r

r

1

1

1

αBx + βBy

=α (2x1 + x2 +3, x1 − x2 , 4)+ β (2y1 + y2 + 3, y1 − y2 , 4)=

(2αx1 +αx2 +α 3 + 2βy1 + βy2 +3β, αx1 −αx2 + βy1 − βy2 , 4α + 4β ).

3α + β = 3,

Возьмем α = β =1.

Такие значения не удовлетворяют системе.

4α + 4β = 4.

r

r

r

r

Равенство B(αx + βy)

=αBx +

βBy должно выполняться для α, β .

преобразование не является линейным. Ответ: не является.

№3. а) Выписать матрицу ЛО, б) найти его ядро, в) определить множество значений, если f ( xr) = (0, 2x1 − x2 + x4 , 3x1 +5x2 )T .

Решение:

f (αx + βyr) =

= (0, 2(αx1 + βy1 )−(αx2 + βy2 )+(αx4 + βy4 ), 3(αx1 + βy1 )+5(αx2 + βy2 ))=

= (0, 2αx1 −αx2 +αx4 , 3αx1 +5αx2 )+(0, 2βy1														− βy2	+ βy4	, 3βy1 +5βy2 )=
=α(0, 2x1 − x2 + x4 , 3x1 +5x2 )+ β (0, 2y1 − y2 + y																r	r
														4 , 3y1 +5y2 )=αf (x) +			βf (y)
	0	0		0		0			f		- линейный оператор.
	2	−1		0		1		−матрицаоператораf .
A =
	3	5		0		0
2x − x				+ x		= 0, 2x − x					= −x		,
б)	1		2		4				1	2		4
3x1 −5x2 = 0.								3x1 +5x2 = 0.

44

=		2			−1			=10 +3 =13,									X1	=			−x4			−1					= −5x4.
		3			5																	0		5
X2 =				2		−x4							= 3x4 , x1				= −	5x			4		, x2	=		3x				4	, x4 .
				3					0									13									13
										5C					3C
Ker f =						−				1				,	1	, C , C							C ,C									.
																	2	1					1		2
									13						13

в)

1.прибавим к первому столбцу второй, умноженный на 2,

2.прибавим ко второму столбцу четвертый:

0	0	0	0	0	0	0 0		0	0	0	0
A = 2	−1 0		1	0	−1 0		1	0	0	0	1 .
	5	0				0				0
3			0	13 5			0	13 5			0
Imf = L(ar(		0, 2, 3), b(0, 1, 0)).

rangf + def f = n = 4.

№4. а) Доказать линейность, найти матрицу в базисе i, rj,kr , Ker f . f - поворот относительно оси Ox в положительном направлении на угол π4 .

Решение:

f (αxr + βyr)=αAxr + βAyr.

f ri = A(1, 0, 0)= ri - вектор, параллельный оси Ox , не изменяется.

r

r

3π r

r

π r

2 r

2 r

f j=

Aj

cos

j +

Aj

sin

k

=

j

+

k.

4

4

2

2

r

r

3π r

r

π r

2 r

2 r

Ak =

Ak

cos

j +

Ak

sin

k = −

j +

k.

4

4

2

2

1

0

0

2

2

A =

0

−

.

2

2

2

2

0

2

2

1.12. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

45

№1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

					1	− 4	−8
					− 4	7	− 4
с матрицей A =								.
					−8	− 4	1
Решение:
			1− λ		− 4	−8
	A − λE		= − 4	7 −λ		− 4 = (1 −λ)(7 −λ)(1 −λ)−128 −128 −64(7 −λ)−16(1 −λ)−
			−8		− 4	1 − λ

−16(1 − λ)= (7 − λ)(1 − 2λ + λ2 )− 256 − 64(7 − λ)−32(1 − λ)= 7 −14λ + 7λ2 − λ + 2λ2 −

−λ3 − 256 − 448 + 64λ −32 + 32λ = −λ3 + 9λ2 + 81λ − 729 = (− λ3 + 81λ)+ (9λ2 − 729)= = λ(81 − λ2 )+ 9(λ2 −81)= (λ − 9)(81 − λ2 )= (λ −9)(9 − λ)(9 + λ)= 0 .

λ1 = λ2 = 9, λ3 = −9 – собственные значения матрицы. Найдем собственные

векторы, им соответствующие системы имеют вид:

−8

− 4

−8

x

1

0

1)

При λ1 = λ2 = 9 система имеет вид:

− 4

− 2

− 4

0

. Если в

x

2

=

−8

− 4

−8

0

x

3

матрице из первой и третьей строки вычесть вторую, помноженную на 2 , тогда

		0	0	0
мы получим следующую матрицу		− 4	− 2	− 4		. Видно, что ранг матрицы
		0	0	0

равен 1.

4x1 + 2x 2 + 4x3 = 0 ; x 2 = −2x1 − 2x3 .

x

x

x

0

1

0

1

1

1

− 2x3

= x1

− 2

+ x3

− 2

,

x1 , x3 R ≠0 .

x

2 =

− 2x1 − 2x3

=

− 2x1

+

x3

0

x3

0

1

x

3

Линейно независимые собственные векторы соответствующие двум кратным

корням

λ = 9 ,

= (1;−4;0), при x1 =1, x3 = 0 и

= (0;−4;1), при x1

= 0, x3 =1.

x1

x 2

10

− 4

−8

x

1

0

2)

При λ3 = −9 система имеет вид:

− 4

16

− 4

0

. Если в

x

2

=

−8

− 4

10

0

x

3

матрице ко второй строке прибавить первую, помноженную на 4 , и от третьей отнять первую, тогда мы получим следующую матрицу

46