ппэ

Тема 2. АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Цель: закрепление знаний студентов по вопросам анализа временных ря­ дов и приобретение практических навыков расчета характеристик динамики из­ менения уровней рядов.

Для экономического анализа, прогнозирования и планирования вводится система показателей, определяющих характер, направление и интенсивность количественных изменений экономических явлений. Основными показателями развития изучаемого экономического процесса являются абсолютный прирост, темп прироста, темп роста, средние величины, автоковариация, автокорреля­ ция, тренд.

Скорость изменения исследуемого явления характеризуется абсолют­ ным приростом (конечной разностью), который является абсолютной величи­ ной и определяется разностью двух уровней. Если абсолютные приросты опре­ деляются разностями всех уровней ряда и одного и того же первоначального уровня:

1уt;0 = уt − у0 ,

где 1уt;0 - абсолютный прирост;

уt - уровень динамического ряда в период t;

у0 - уровень ряда в базисный (первый) период, то они называются базисны­

ми первого порядка.

Цепные абсолютные приросты первого порядка определяются как разно­ сти последующего и предыдущего уровней:

1уt;t−1 = уt − уt−1.

Разности абсолютных приростов первого порядка образуют абсолютные

приросты второго порядка:

2 уt;0	= 1уt;0 −	1у1;0 ,
2уt;t −1 =	1уt;t −1 −	1уt −1;t −2 ,...

Абсолютные приросты порядка n определяются как разности абсолютных приростов (n-1) – го порядка:

n уt;0 =	n −1уt;0 −	n −1уt −1;0 ,
n уt;t−1 =	n−1уt;t−1 −	n−1уt−1;t−2.

Рассмотрев отношение двух уровней динамического ряда, получим ба­

зисные и цепные коэффициенты роста:

Кр; t; 0 = уt / у0 , Кр; t; t+1 = уt / уt-1 .

11

Коэффициенты роста показывают, во сколько раз данный уровень дина­ мического ряда больше или меньше базисного или смежного уровня: Кр>1 – для случая роста уровня; Кр =1 – при постоянном уровне; Кр <1 – для уменьшающе­ гося уровня, т.е. они характеризуют интенсивность изменения уровня динами­ ческого ряда.

Отношение абсолютного прироста к начальному (базисному) или преды­ дущему уровню называется коэффициентом прироста:

Кпр; t; 0 = (∆1уt;0)/у0, Кпр; t; t-1 = (∆1уt;t-1)/уt-1.

Коэффициенты роста и прироста, выраженные в процентах, называются соот­ ветственно темпом роста и прироста:

Трt;0=(уt/у0) 100%,	Трt;t−1 = (уt/уt−1) 100%,
Тпрt;0 = (Δ1уt/у0) 100%,	Трt;0 = (Δ1уt;t−1/уt−1) 100%.

Они выражают относительные рост и прирост в процентах. Темпы роста и прироста связаны между собой следующим образом:

Тр= Тпр +100.

Для обобщающей оценки скорости и интенсивности изменения динами­ ческого ряда вычисляют средний абсолютный прирост и средний темп ро­ ста. Указанные показатели могут вычисляться различными способами, завися­ щими от содержания экономических задач. Наиболее распространены два способа вычисления средних:

1)исходя из общего абсолютного прироста за период;

2)исходя из суммы абсолютных уровней за период.

Применяя указанные способы, средний абсолютный прирост вычисля­ ют по формуле

			n
1у		= (1/n)			1у		= (у		- у		)/n.
	t , t - 1		å			t;t - 1		n		0
			t =	1

Для более полной характеристики динамических рядов применяются аб­ солютные и относительные ускорения.

Абсолютным ускорением называется абсолютный прирост второго по­ рядка, т.е. разность между последующим и предшествующим цепными абсо­ лютными приростами:

2уt+1;t = 1уt+1;t − 1уt;t−1 = (уt+1 − уt) − (уt − уt−1) = уt+1 − 2уt + уt−1.

Относительным ускорением называется отношение абсолютного уско­ рения к цепному абсолютному приросту:

δ2 уt+1;t = ( 2 уt+1;t ) /( 1уt;t−1) = (уt+1 + 2уt + уt−1) /(уt − уt−1).

Величина δ характеризует темп прироста абсолютного прироста.

12

Пример 2.1. Динамический ряд товарооборота по реализации имеет вид, приведенный в табл. 2.1.

			Таблица 2.1
Год t Товарооборот по реализации у,		Год t	Товарооборот по реализации у,
	млн. руб.		млн. руб.
1989	40458	1995	57160
1990	42165	1996	58884
1991	45202	1997	60833
1992	56502	1998	70619
1993	62306	1999	75128
1994	59020

Вычислим показатели изменения уровней динамического ряда. Вычисленные характеристики динамики товарооборота по реализации

сведем в табл. 2.2.

					Таблица 2.2
Динамический ряд		Абсолютный	Темп ро­	Темп	Абсолютное	Относи­
Год t	Товарооборот	прирост∆1уt,	ста Тр, %	прироста	ускорение	тельное
	уt, млн. руб.	млн. руб.		Тпр, %	∆2уt, млн.	ускорение
					руб.	δt+1,t
1989	40458	-	-	-	-	-
1990	42156	1698	104,2	4,2	-	-
1991	45202	3046	107,2	7,2	1348	0,794
1992	56202	11300	125,0	25,0	8254	2,71
1993	62306	5804	110,3	10,3	-5496	-0,486
1994	59020	-3286	94,7	-5,3	-9090	-1,566
1995	57160	-1860	96,8	-3,2	1426	-0,434
1996	58884	1724	103,0	3,0	3564	-1,916
1997	60833	1949	103,3	3,3	225	0,131
1998	70619	9786	116,1	16,1	7837	4,021
1999	75123	4509	106,4	6,4	-5277	-0,54

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Вычислить характеристики динамики изменения уровней ряда. Ре­ зультаты вычислений представить в виде таблицы. Указать тип динамического ряда, характеристики скорости и интенсивности.

Исходные данные для 10 вариантов рядов динамик представлены в соот­ ветствующих таблицах (табл. 2.3 – 2.12).

13

										Таблица 2.3
Год t		Производство холодиль­				Год t				Производство
		ников Yt , тыс.шт.								холодильников
										Yt , тыс.шт.
1987		557					1994			605
1988		567					1995			601
1989		603					1996			603
1990		614					1997			608
1991		582					1998			600
1992		607					1999			602
1993		605
										Таблица 2.4
Год t		Производство ковровых			Год t			Производство ковров и ковро­
		изделий Yt, млн м2							вых изделий Yt, млн м2
1987		7.7			1994				16.1
1988		8.7			1995				16.0
1989		9.1			1996				16.2
1990		9.6			1997				16.4
1991		12.4			1998				15.9
1992		15.1			1999				16.0
1993		15.9
										Таблица 2.5
Год t	Производство цемента Yt, млн т.				Год t Производство цемента Yt, млн т.
1984	122				1992				128
1985	124				1993				130
1986	127				1994				131
1987	127				1995				145
1988	123				1996				137
1989	125				1997				139
1990	127				1998				140
1991	124				1999				142
										Таблица 2.6
Год t		Выработка Yt, тыс. руб.					Год t		Выработка Yt, тыс. руб.
1989		476					1995		786
1990		479					1996		604.6
1991		513.6					1997		620.7
1992		621					1998		706.8
1993		649					1999		736.5
1994		774.4

14

								Таблица 2.7
Год t			Фондоотдача Yt, тыс. руб.		Год t			Фондоотдача Yt, тыс. руб.
1989			171.0	1995				178.1
1990			170.0	1996				183.4
1991			174.0	1997				190.1
1992			178.0	1998				147.7
1993			177.0	1999				152.6
1994			181.0
								Таблица 2.8
Год t		Средние товарные запасы Yt, дн.		Год t Средние товарные запасы Yt, дн.
1989		36.0		1995				33.5
1990		31.8		1996				50.3
1991		37.4		1997				39.5
1992		32.8		1998				41.95
1993		29.6		1999				33.8
1994		30.2
								Таблица 2.9
Год t			Товарооборот по реализации, Yt,		Год t
							Товарооборот по реализации,
			тыс. руб.					Yt, тыс. руб.
1989			40458	1995				57160
1990			42165	1996				58884
1991			45202	1997				60833
1992			56502	1998				70619
1993			62306	1999				75128
1994			59020
								Таблица 2.10
Год t			Производство ткани Yt, млн м2		Год t
						Производство ткани Yt, млн м2
1986			315	1993				399
1987			322	1994				420
1988			329	1995				435
1989			340	1996				451
1990			350	1997				457
1991			371	1998				467
1992			378	1999				480

15

	Выработка электроэнергии	Год t		Таблица 2.11
Год t				Выработка электроэнергии
	Yt, кВт* ч.			Yt, кВт* ч.
1984	800	1992	1239
1985	875	1993	1295
1986	915	1994	1325
1987	975	1995	1366
1988	1039	1996	1416
1989	1111	1997	1493
1990	1150	1998	1545
1991	1202	1999	1599
				Таблица 2.12
Год t	Объём производства Yt,тыс. руб. Год t		Объём производства Yt,тыс. руб.
1985	572	1993	733
1986	593	1994	777
1987	610	1995	799
1988	685	1996	850
1989	696	1997	814
1990	681	1998	837
1991	709	1999	746
1992	731

Тема 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ

Цель: изучение методов сглаживания динамических рядов и получение практических навыков экономического анализа с целью определения общей тенденции развития экономических процессов.

3.1. Сглаживание динамических рядов

Одна из важнейших задач исследования динамических рядов – определе­ ние общей тенденции развития. Основная тенденция является результатом влияния комплекса причин, действующих постоянно на изучаемый процесс в течение длительного периода, т.е. тенденция характеризуется детерминирован­ ной составляющей динамического ряда. Для выявления общей тенденции изме­ нения экономического процесса в течение изучаемого периода времени исполь­ зуются разнообразные методы уменьшения колебания динамического ряда (сглаживание), среди которых выделяются следующие: сглаживание ряда с по­ мощью скользящей средней, метод укрупнения интервалов, графический метод.

Суть всех методов сглаживания состоит в замене фактических уровней динамического ряда расчетными, имеющими значительно меньшую колебае­ мость, чем исходные данные.

16

Все методы элимирования динамических рядов с целью выявления основ­ ной тенденции основываются на фактическом состоянии явления за прошед­ ший период.

3.2. Метод скользящей средней

Этот метод является одним из наиболее широко известных методов сгла­ живания временных рядов. Применив метод скользящих средних, можно эли­ мировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влия­ нию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том факте, что при определении средних значений погашаются случайные отклонения, так как первоначальные уровни динамического ряда заменяются средними арифметическими внутри выбранного интервала времени. Получен­ ное значение средней арифметической относится к середине выбранного перио­ да.

Для применения метода скользящей средней исследователь выбирает в начале период (интервал) сглаживания, который зависит от характера динами­ ческого ряда и целей исследования и влияет на устранение случайных факто­ ров. Например, для сглаживания динамического ряда производительности тру­ да, планирование которой рассчитано на пятилетний период, целесообразно брать пятилетний период сглаживания. В отраслях с длительным производи­ тельным циклом для анализа динамических рядов в качестве периода сглажива­ ния берётся продолжительность производительного цикла. Если динамический ряд отражает развитие сельскохозяйственного производства, то при выборе ин­ тервала сглаживания нужно учитывать тип динамики и периоды развития сель­ скохозяйственного производства. Затем средние показатели рассчитываются последовательно по периодам (1; 1), (2; 1+1), (3; 1+2) и т.д.

Различают простое и взвешенное сглаживание.

При простом сглаживании составляется новый динамический ряд из простых средних арифметических.

Скользящие средние вычисляются следующим образом: вычислив значе­ ние средней для m первых уровней у1, у2, …, уm, переходят к вычислению сред­ ней для уровней у2, у3, …, уm+2 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания, т.е. интервал, для которого вычисляется средняя, как бы скользит по динамическо­ му ряду с шагом, равным единице. При m нечётном

			t+p		t+p
			å yi		å yi		(3.1)
		=	i=t−p	=	i=t−p	,
	y
			2p + 1		m

где р (m-1)/2; у – значение скользящей средней для момента t, t=1,n; yi – значение i-го уровня динамического ряда.

Вычисление скользящей средней можно производить по рекуррентной формуле

		=		t − 1	+	yt + p − yt − (p + 1)	(3.2)
	y		y
						2p + 1

или с использованием частичных сумм динамического ряда:

17

S1 = y1, S2 = y1 + y2, S3 = y1 + y2, S3 = y1 + y2 + y3,...,Sn = y1 + y2 + ...yn.

Соответствующая формула для вычисления скользящей средней будет иметь вид

y1 = (St + p − St − p − 1)/(2p + 1)

Расчетное значение уровня при нечетном m соответствует среднему уров­ ню, т.е. находится в центре интервала сглаживания. При четном количестве уровней интервала сглаживания полученные значения скользящей средней рас­ полагаются в промежутках между уровнями.

В этом случае скользящие средние определяются по формуле

yt = 12 (12 yt + yt + 1 + ... + 12 yt + 2p) = 2p1 (12 y

где yt + p − (t + p) − я - скользящая средняя;

yt – 1-й уровень динамического ряда t=1, n-2p;

p – длина периода сглаживания:

1≤p≤[n/2]= {n/2, если n - четное (n-1)/2, если n – нечетное;

n – число уровней динамического ряда.

t +	2p + 1	yt + i +	1 yt + 2p) ,
	å
	i = 1		2

Если известно, что внутри периодов сглаживания имеет место нелиней­ ная тенденция, для сглаживания динамических рядов используются взвешен­ ные скользящие средние, т.е. применяется взвешенное сглаживание. Кроме того, в некоторых случаях сглаживание с помощью простой скользящей сред­ ней оказывается настолько сильным, что тенденция развития проявляется лишь в самом общем виде, а отдельные важные для экономического анализа относи­ тельно мелкие волны (или изгибы) в тренде исчезают. Более того, часто после сглаживания мелкие волны меняют свой знак, т.е. вместо выпуклого участка на кривой получают вогнутый, и наоборот.

При применении скользящих средних каждому уровню в пределах интер­ вала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния, измеряемого от данного уровня до середины интервала сглаживания. Для определения значе­ ний взвешенных скользящих средних внутри каждого периода сглаживания уровни описываются полиномом р-й степени.

	t =	p		a jt j .
y		å
		j =	0

При вычислении скользящих средних нет необходимости подбирать си­ стему прямых для каждого интервала сглаживания, так как соответствующие этим прямым параметры а0 получают как средние арифметические (для нечет­ ного m) из последовательных m уровней со сдвигом на один шаг. Поэтому вы­ числение скользящих средних осуществляют по следующим формулам при ис­ пользовании трех-, пяти- и семилетней средней:

Yt = 13(yt −1 + yt + yt +1), m = 3,

18

Yt = 15 (yt − 2 + yt −1 + yt + yt +1 + yt + 2),m = 5,

Yt = 17 (yt − 3 + yt − 2 + yt −1 + yt + yt + 1 + yt + 2 + yt + 3),m = 7.

Если для каждого интервала сглаживания подбирается парабола второй степени Yt = a0 + a1t + a1t2 , то вычисление скользящих средних для нечетного m осуществляют по следующим формулам:

Y t = 13 3yt = yt , m = 3,

Y t = 351 (−3yt − 2 +12yt −1 +17yt +12yt +1 − 3yt + 2 ), m = 5,

Yt = 211 (−2yt − 3 + 3yt − 2 + 6yt −1 + 7yt + 6yt +1 + 3yt + 2 −

−2yt + 3), m = 7.

3.3. Метод укрупнения интервалов

Наиболее простым способом определения тенденции в динамических ря­ дах является метод укрупнения интервалов с последующим вычислением скользящих средних. Это один из основных способов выявления тенденции, когда последняя скрыта за колебаниями уровней ряда. Приведем пример опре­ деления тенденции методом укрупнения интервалов сглаживания.

Пусть в табл. 3.11 приведены данные о реализации продукции магазином. Вычислим трех-, пяти-, и семидневные скользящие средние. Результаты вычис­ лений приведены в той же таблице.

Из анализа результатов третьего, четвертого и пятого столбцов следует, что с увеличением интервала сглаживания тенденция динамического ряда про­ слеживается более ярко.

				Таблица 3.11
Число	Реализация продукции,	Скользящая средняя
месяца	ден.ед.	Трехдневная	Пятидневная		Семидневная
1	2	3	4		5
5	7	-	-		-
6	6	6,67	-		-
7	7	7,00	7,6		-
8	8	8,33	8.0		7.86
9	10	9,00	6,4		7,86
10	9	9,00	8,4		8,57
13	8	8,00	9,0		9,57
14	7	8,67	9,8		11,0
15	11	10,67	11,6		11,14
16	14	14,33	12,2		11,00
17	18	14,33	12,4		11,14
18	11	12,33	12,0		12.57
21	8	9,33	12,6		12,71

19

			Окончание табл. 3.11
1	2	3	4	5
22	9	11,33	11,4	13,43
23	17	12,67	13,0	12,28
24	12	16,00	13,4	13,86
25	19	13,67	16,0	14,86
26	10	17,00	15,6	16,14
29	22	16,33	16,8	-
30	15	18,33	-	-
31	18	-	-	-

3.4. Графический метод

При графическом анализе динамических рядов используется ломаная кривая, которая строится в прямоугольной системе координат хОу: по оси Ох откладывается в определенном масштабе время t, а по оси Оу в соответ­ ствующем масштабе – уровни динамического ряда уt . Масштабы для этих двух осей выбираются так, чтобы график не был слишком плоским и динамич­ ным. Каждая точка на плоскости хОу показывает уровень ряда, отнесенный к определенному периоду или моменту. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим ломаную линию, иллюстрирующую динамический ряд. Такой график дает возможность получить наглядное представление о закономерности изменения уровней динамического ряда. Кроме того, построенный график поз­ воляет визуально определять цепные абсолютные приросты уровней и базовый абсолютный прирост уровня за любой произвольно выбранный субпериод в пределах динамического ряда.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Рассматривая динамический ряд представленный таблицей (табл. 2.3 – 2.12), в соответствии с вариантом заданий, провести сглаживание динамиче­ ского ряда с целью выявления основной тенденции скользящими средними – простой и взвешенной. Простые скользящие средние вычислить для интервала, содержащего три, пять, семь уровней динамического ряда, взвешенные – пять, семь. Результаты вычислений свести в таблицу. Результаты анализа значений скользящей средней представить в выводах.

Тема 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РЯДА

Цель: Изучение методов определения типа кривой, апроксимирующей тенденцию, и получение практических навыков аналитического выравнивания при моделировании тенденции динамического ряда.

20