ппэ

4.1. Выбор функции тренда

Самым распространенным методом моделирования тенденции динамиче­ ского ряда является аналитическое выравнивание. При этом функции, описыва­ ющие закономерности развития явлений во времени, называют кривыми роста. Аналитическое выравнивание динамического ряда состоит в выражение тен­ денции развития в виде функции изучаемого показателя от времени, называе­ мой моделью тренда.

Выявить основную тенденцию аналитическим методом значит придать однообразное развитие изменяющимся процессам в течение рассматриваемого периода времени. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда - как функция этой независимой переменной. При этом следует подчеркнуть, что развитие явления во времени рассматривается как результат действия факторов, влияющих на это развитие.

Правильно установить тип кривой тип аналитической зависимости от времени – одна из самых трудных задач аналитического выравнивания. Так как аналитическое выравнивание позволяет выражать закономерность развития во времени, то к определению формы кривой следует подходить с особой тща­ тельностью.

Существуют различные приемы, позволяющие выбирать тип кривой, до­ статочно хорошо аппроксимирующей тенденцию. Наиболее простой способ со­ стоит в выборе функции на основе графического изображения временного ряда. По виду графика подбирается уравнение кривой, которая ближе всего подходит к эмпирическому тренду. Однако риск субъективного и произвольного выбора типа кривой очень велик. На визуальный выбор влияет также масштаб графиче­ ского изображения.

Второй способ выбора типа кривой заключается в применении метода по­ следовательных разностей. Суть этого метода состоит в нахождении первых, вторых и далее разностей уровней динамического ряда:

Δуt; t - 1= yt - yt − 1 2уt; t - 1 = 1 yt; t - 1 - 1 yt − 1, t - 2, ...

Вычисление этих разностей производится до тех пор, пока разности к-го порядка не будут приблизительно равными друг другу: к-й порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома. Например, если приблизи­ тельно равными оказываются разности первого порядка, то для сглаживания динамического ряда берется полином первого порядка уt = a0 + a1t; если же при­ близительно равными оказываются разности второго порядка, то для сглажива­

ния динамического ряда берется полином второго порядка уt = a0 + a1t + а2t2;, и

т.д.

Указанный метод основывается на том, что уровни динамического ряда могут быть представлены в виде суммы компонент:

уt = f(t, с(t)) + s(t) + e(t),

где сумма f(t, с(t)) + s(t) является структурной составляющей;

21

а e(t) - случайная компонента, и что последовательные разности уровней ди­ намического ряда

1уt;t - 1, 2уt, t − 1, 3уt, t − 1,...

стремятся к некоторому пределу.

Это значит, что на некотором шаге вычисления последовательных разно­ стей получим разности которого порядка, которые можно рассматривать как независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями.

Тип кривой можно выбрать и на основании значения некоторого крите­ рия, например значения суммы квадратов отклонений заданных значений уров­ ней динамического ряда от расчетных, полученных выравниванием. Из сово­ купности кривых выбирается та кривая, которой соответствует минимальное значение критерия. При этом предполагается, что к выбранной кривой ближе примыкают заданные значения уровней динамического ряда.

При таком методе выбора типа кривой нет обоснования того, что именно этот критерий дает наилучшее решение при выравнивании динамических ря­ дов. Поэтому, применяя указанный метод выбора типа кривой для выравнива­ ния, предварительно оговаривают круг потенциально приемлемых функций ис­ ходя из теоретико-профессионального анализа исследуемого явления. Затем для этих функций вычисляют значение критерия и выбирают ту из них, которой соответствует минимальное его значение.

Наиболее приемлемым является метод, основанный на сравнении харак­ теристик изменения приростов исследуемого динамического ряда и соответ­ ствующих характеристик кривых роста. Для сглаживания выбирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее близок к закономерности измене­ ния уровней динамического ряда. Этот метод называется методом характери­ стик прироста. Применение метода характеристик прироста предполагает, вопервых, сглаживание динамического ряда по скользящей средней, во-вторых, определение средних приростов, в-третьих, определение характеристик приро­ ста

ut,ut2, ut/yt , log(ut/yt ), log(ut/yt2 )

и, наконец, выбор типа кривой.

Сглаживание динамического ряда скользящей средней дает возможность определить тенденцию изменения ряда. Определив приблизительно тренд дина­ мического ряда, переходят к определению средней скорости его изменения, т.е. среднего прироста. Так как уравнение тренда неизвестно, то для вычисления среднего прироста используется прием, применяемый при вычислении сколь­ зящей средней, т.е. предполагается, что для m последовательных уравнений ди­ намического ряда, включенных в интервал сглаживания, подобрана прямая

y = a0 + a1t. Тогда параметр а1 этой прямой характеризует прирост тренда,

представляемого данной прямой. Заметим, что отсчет времени ведется от сере­ дины интервала, т.е. t принимает значения…, - 3, -1, 0, 3,… для нечетного m или…, - 5, -3, -1,1,1,1,3,5,… для расчетного m. Значение параметра а1, отнесен­

22

ное к середине интервала сглаживания, рассматривается как усредненный для интервала сглаживания прирост, так как он определяется значением всех уров­ ней, охваченных данным интервалом сглаживания.

Как и при вычислении взвешенных скользящих средних, для вычисления средних приростов определяют рекуррентные формулы (для определения пара­ метра а1 выравнивающей прямой) при использовании трех-, пяти- и семилетней средней:

ut = (−yt − 1 + yt + 1 )/2,

ut = (−2yt − 2 − yt − 1 + yt + 1 + 2yt + 2 )/10,

ut = (−3yt − 3 − 2yt − 2 + yt + 1 + 2yt + 2 + 3y t

m = 3, m = 5, + 3 )/28, m = 7.

Вычислив средние приросты динамического ряда, определяют ряд произ­ водных характеристик прироста. Анализируя изменение средних приростов и их характеристик, сравнивают их с соответствующими характеристиками свойств кривых роста. Укажем соответствующие симптомы того, что тенденция развития динамического ряда может быть описана с помощью соответствую­ щей кривой (табл. 4.1).

В тех случаях, когда значения средних приростов ut оказываются отрица­ тельными, рекомендуется увеличить интервал усреднения, принятый для сколь­ зящей средней, или заменить уровни динамического ряда, для которых получа­

ются отрицательные ut расчетными величинами, например средними из уров­

ней, предшествующих таким уровням и следующих за ними (достаточно взять по два уровня до и после момента t).

Таблица 4.1

Показатель

Характер изменения

Вид кривой

u t

Примерно одинаковые

yt=ao+a1t

t

Линейно изменяются

yt=ao+a1t+a2t

2

u

2

То же

2

+a3t

3

u t

yt=ao+a1t+a2t

t /yt

Примерно одинаковые

Yt=aoa1(yt=a0ea1t)

u

То же

yt=ao+a1a2t

logu

t

log(u

t /

)

-//-

yt=aoa1a2t

уt

log(u t /yt )

-//-

y t = a

a

a t

, или

2

1

o + 1

2

k

, или

1+ be− f(t)

y t =

yt

=

k

1+ be− a(t)

Если исследуемый динамический ряд имеет понижающуюся тенденцию, то средние приросты вычисляют в обратном направлении, т.е. с конца ряда.

Для подбора типа кривой можно воспользоваться следующими рекомен­ дациями:

1. Если значение t образуют арифметическую прогрессию, а соответству­ ющие уровни динамического ряда геометрическую, то уравнение тренда выра­ жается показательными кривыми:

23

yt = а0 а1t , yt = b0 + а 0а1t , y	t	= а0а1b1t + b2t 2 .

2.Если связь между логарифмами Yt и t линейная, то для описания тренда используется степенная функция

yt = а0tа1.

3.Если значения t расположены в порядке арифметической прогрессии, а первые разности соответствующих значений уровней динамического ряда по­ стоянны, то уравнение тренда выражается линейной функцией

yt = а0 + а1t t.

Пример 4.1. Производство ткани (млн. м 2 ) в Беларуси характеризуется

динамическим рядом, представленным в табл. 4.1. Этот ряд характеризуется устойчивым ростом. Для выбора формы кривой вычислим конечные разности и характеристики приростов исследуемого динамического ряда. Результаты вы­ числений сведем в эту же таблицу. Как видим из третьего, четвертого и пятого столбцов таблицы, конечные разности заметно варьируют. Следовательно, по­ линомы первой, второй, третьей и более высоких степеней не подходят в каче­ стве кривых, описывающих тренд динамического ряда.

Для выбора формы кривой применим метод характеристик приростов, ко­ торый состоит из трех этапов:

1.Сглаживание ряда семилетней скользящей средней (шестой столбец), ко­ торое дает возможность наметить тенденцию изменения ряда.

2.Определение средних приростов по формуле

ut =(-3yt−3 − 2yt−2 − yt−1 + yt +1 + 2yt+2 + 3yt+3) /28.

3.Определение характеристик приростов:

u t , u 2t , u t /y t ,log( u t /y t ),log(u t /y 2t ) .

В табл.4.1 приведены значения средних приростов и их характеристик, анализ которых показывает, что отношения u t / y t примерно одинаковые. Сле­ довательно, в качестве кривой тренда можно выбрать экспоненциальную функ­ цию yt = а0а1t .

24

Тема 5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СРЕДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДА ДИНАМИКИ

Цель: получение практических навыков проведения экономического ана­ лиза объекта прогнозирования и прогнозных расчетов с использованием сред­ них характеристик.

Одним из наиболее распространенных методов краткосрочного прогнози­ рования социально-экономических явлений и процессов является экстраполя­ ция, т.е. распространение прошлых и настоящих закономерностей, связей, соот­ ношений на будущее. Наиболее простым методом экстраполяции одномерных рядов динамики является использование средних характеристик: среднего уров­ ня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При использовании среднего уровня ряда динамики в прогнозировании социально-экономических явлений прогнозируемый уровень y*t + τ принимается

равным среднему значению уровней y ряда в прошлом:

*					1	n
			y =
yt + τ = y,						å yt .
					n t =1
Прогноз вычисляется на τ			моментов времени вперед (период

упреждения), т.е. до момента t+τ (горизонт прогнозирования). Получается прогностическая точечная оценка, которая, вообще говоря, не совпадает с фак­ тическими данными. Поэтому для средней указывается доверительный интерес прогноза

(y - tαSy , y + tαSy ),

где ta - табличное значение t-критерия Стьюдента с v=n степенями свободы и уровнем доверия α;

Sy - среднеквадратичная ошибка средней:

						n		-	y)2
						å (y	t			.
	S			=		t =1
		y
						n(n-1)

Применение доверительного интервала ля прогнозирования увеличивает степень надежности прогноза, но тем не менее прогнозируемый показатель ра­ вен среднему уровню. Чтобы учесть вариацию показателя вокруг средней в прошлом и будущем, для прогностической величины вычисляют доверитель­ ный интервал:

(y - tαS1+ 1n, y + tαS1+ 1n ) ,

25

так как общая дисперсия, связанная с колеблемостью выборочной средней и ва­

рьированием								уровней ряда вокруг средней, будет равна S2 + S2 n , где
		n
		å	(y	t	- y)2			.
S=		t =1
			n-1

Если общая тенденция развития динамического ряда является линейной или выполняется неравенство

n

å Δyt S2 £ t=2 ,

ост n-1

где Sост2 - остаточная дисперсия, не объясненная экстраполяцией по среднему абсолютному приросту;

n

å Dyt - общий прирост показателя от начального уровня до конечного, то

t =2

иногда выполняется экстраполяция по среднему абсолютному приросту. Прогнозное значение уровня y*t+τ определяется по формуле

*				,
	1	yt τ
yt +τ = yt +

где yt - уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции; 1yt - средний абсолютный прирост;

τ - период упреждения.

Если развитие ряда динамики описывается геометрической прогрессией или показательной кривой, то экстраполяция выполняется по среднему темпу роста. Прогнозируемый уровень ряда определяется по следующей формуле

y*t+ τ = yt (Tp)2 ,

где Tp - средний темп роста.

В качестве базового уровня для экстраполяции берется последний уро­ вень ряда yn, так как будущее развитие начинается именно с этого уровня. В не­ которых случаях в качестве базового уровня лучше брать расчетный уровень, соответствующий тренду, описывающий динамический ряд. Для этого опреде­ ляют экспоненциальную кривую и на ее основе находят базовый уровень. Для выбора базового уровня можно прибегнуть к усреднению нескольких послед­ них уровней, т.е. вычислить экспоненциальную или геометрическую среднюю нескольких последних уровней.

Отметим, что если уровни ряда динамики непрерывно возрастают за рассматриваемый период, то средний темп роста вычисляют по формуле

										n-1
			n-1 yt		,	или				Õ yt
	Tp = n
										yn ,
			t=1 yt -1
							Tp =
			Õ						å t t=1
где n - число цепных темпов роста;										1

26

n−1

∏ yt - произведение уровней динамического ряда;

t=1

yy−t 1 - цепной темп роста; t

å t - сумма порядковых номеров уровней динамического ряда; Y1 - начальный уровень ряда.

Если же уровни ряда динамики в одни годы растут, а в другие снижают­ ся, то для вычисления среднего темпа роста можно воспользоваться следующей формулой

	1		n		y	t	.
Tр =			å
		n-1		y	t	-1
			t=2

Доверительный интервал прогноза по среднему темпу роста может быть построен в случае, когда средний темп роста определяется по экспоненциаль­ ной функции.

Указанные способы экстраполяции тренда динамического ряда являются весьма приближенными.

Пример 5.1. Выпуск цемента за период с 1975 по 1990 г. характеризуется динамическим рядом, представленным в виде табл. 5.1.

			Таблица 5.1
Год t	Производство цемента yt, млн. т.	Год t	Производство цемента yt, млн. т.
1975	122	1983	128
1976	124	1984	130
1977	127	1985	131
1978	127	1986	145
1979	123	1987	137
1980	125	1988	139
1981	127	1989	140
1982	124	1990	142

Проиллюстрируем построение прогнозов с использованием средних ха­ рактеристик данного ряда динамики: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При экстраполяции на основе среднего уровня используется принцип, при котором прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней в прошлом:

*			1	n	1				=130,06 .
yt+τ = y =				å yt =			(122	+ 124 + ... + 142)
					16
			n t=1

Доверительный интервал для средней вычислим по формуле

*			*			(5.1)
(yt +τ - tαS 1+1 n ;			yt +τ + tαS 1+1 n ) .

27

Табличное значение t- статистики Стьюдента tα P v = n-1=15 степеням

свободы при уровне доверия α=0,05 t=2,13. Среднеквадратическое отклонение, связанное с колеблемостью выборочной средней и варьированием уровней ряда вокруг средней:

S =	1	n	y)2 = 6,3292 .
		å (yt -
	n-1t=1

Подставив найденные значения в формулу (5.1), получим доверительный интервал (116, 1639; 143,9561), который с доверительной вероятностью 0,95 включает прогнозируемое значение производства цемента y*t+τ =130,06 млн в 1991 г.

Считая, что общая тенденция производства цемента является линейной, прогноз производства цемента на 1991 г. вычислим по среднему абсолютному приросту:

*	i	t +τ .
yt + τ = yt +

За базу экстраполяции yt примем среднее арифметическое трех последних уровней исходного динамического ряда:

yt = 13 (139 + 140 + 142) ≈ 140,3.

Средний абсолютный прирост:

1

n

1

20

1y =

1y

=

(2 + 3 + 0 - 4 + 2 + 2 - 3 + 4 + 2 +1+ 4 + 2 + 2 +1+ 2) =

=1,33

å

t,t-1

n-1

15

15

t=1

Тогда прогнозное значение уровня на 1991 г.

y*t+τ =140,3 +1,33 ×1=141,63 млн т

Экстраполяция по среднему темпу роста осуществляется по формуле

y*t + τ = yt (Tp)τ ,

где

Tp = nyn y0 =15142122 =1,01.

За базу экстраполяции примем среднее арифметическое трех последних уровней, т.е. yt ~140,3. В этом случае прогнозируемый уровень ряда

y1991* = 140,3(1,01)1 = 141,703.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Используя динамический ряд, представленный таблицей, осуществить прогнозирование с использованием средних характеристик:

а) среднего уровня; б) среднего абсолютного прироста;

в) среднего темпа роста.

Исходные данные для 10 вариантов рядов динамик представлены в соот­ ветствующих таблицах (табл. 2.3 - 2.12).

Результаты прогнозирования представить с использованием графическо­ го метода.

28

- средняя квадратичная ошибка тренда:

где y*t+τ

Тема 6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИ­ ЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ПО ТРЕНДОВЫМ МОДЕЛЯМ

Цель: получение практических навыков построения трендовых моделей и проведение на их основе прогнозных расчетов.

6.1. Прогнозирование по трендовым моделям

Прогнозирование с помощью трендов – также один из простейших и рас­ пространенных методов статистического прогнозирования. Суть этого метода заключается во временной экстраполяции. При этом предполагается следую­ щее: период, для которого построен тренд, достаточен для выявления тенден­ ций; анализируемый процесс устойчив и обладает инерционностью; не ожида­ ется сильных внешних воздействий на изучаемый процесс, которые могут се­ рьезно повлиять на тенденцию развития. При соблюдении этих условий экстра­ поляция осуществляется путем подстановки в уравнении тренда yt = f(t) значе­ ния независимой переменной t, соответствующей периоду упреждения (прогноза). Получается точечная оценка прогнозируемого показателя (в кон­ кретном году, квартале, месяце, дне) по уравнению, описывающему тенденцию. Полученный прогноз является средней оценкой для прогнозируемого интервала времени, так как тренд характеризует некоторый средний уровень на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклоняются от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобные отклонения будут происходить и в будущем. Поэтому определяется область, в которой с определенной вероятно­ стью следует ожидать прогнозируемое значение, т.е. вычисляется доверитель­ ный интервал

(y*t + τ − tαSu ; y*t +α + tαSu ),

(6.1)

- точечный прогноз на момент t+t;

tα -табличное значение t – критерия Стьюдента с v = n – m ды при уровне доверия a;

m – число параметров тренда;

Su

			n
			å(yt - yt )2
	Su =		t =1	.
			n - m

степенями свобо­

(6.2)

В основу расчета доверительного интервала прогноза положен показа­ тель, определяющий колеблемость ряда заданных значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определено положение тренда и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одном и том же уровне до­ верия. В качестве такого показателя колеблемости ряда наблюдаемых значений признака обычно рассматривается среднее квадратичное отклонение фактиче­ ских наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда, т.е. средняя тренда.

29

Доверительный интервал (6.1) учитывает неопределенность, связанную с положением тренда. Но он должен учитывать также и возможность отклонения

от тренда, т.е. среднюю квадратичную ошибку прогноза Sпр . Тогда доверитель­ ный интервал прогноза имеет вид

*	,	*	(6.3)
(yt+τ − tαSпр		yt+τ + tαSпр ) .

Рассмотрим построение доверительного интервала, т.е. тех границ, в пре­ делах которых будет находиться значение y*t+τ с заданной доверительной веро­ ятностью для случая, когда тренд характеризуется прямой yt = ao + a1t . Для того чтобы построить доверительный интервал вида (6.3), необходимо прежде всего определить рассеяние уровней вокруг тренда. В качестве меры рассеяния при­ нимается дисперсия S2u , характеризующая отклонение фактических уровней от выровненных значений yt

Su2 =

1

n

- yt )2.

å(y1

(6.4)

n - 2 t=1

Стандартная ошибка прогноза:

n

)2 - a

n

- a

n

å

(y

å y

å ty

S

= S

u

(n + 2τ -1)2 ×3 + n +1

=

t=1

t

0t=1

t

1t=1

t

*

пр

(n2 -1) × n

n

n - 2

(6.5)

(τ +

n -1 2

×12

*

2

)

+

n +1

= S.

(n2

-1)

n

Доверительный интервал (6.3) имеет вид

(yt+τ − t

2

,

2

(6.6)

αSuK

yt+τ + tαSuK ),

где S2u − среднее квадратичное отклонение фактических уровней динамического ряда от расчетных, называемая стандартной ошибкой тренда;

К − величина, зависящая только от длины ряда и периода упреждения t:

	(τ +	n -1			2	×12
K =		2		)			+	n +1	;	(6.7)
	(n2		-1)n					n

ta − табличное значение t-критерия Стьюдента с v = n – 2 степенями сво­ боды при уровне доверия α.

С увеличением n значения K уменьшаются, а с увеличением τ−увеличива­ ются. Поэтому достаточно надежный прогноз получается при относительно большом числе наблюдений (для линейного тренда n = 6, для параболического второй степени n = 13, для кубического n = 23), когда период упреждения не очень большой. При одном и том же n с ростом t доверительный интервал прогноза увеличивается.

6.2. Оценивание параметров тренда

Параметры линейного тренда находятся методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

30