ппэ

n		n	ü
a0n + a1å t = å yt			ï	(6.8)
n	n	n	ý
t =1	t	=1	ï
a0 å t + a1å t2 = å yt t			ïï
t =1	t =1	t =1	þ

При решении системы (6.8) получим расчетные формулы для определе­ ния параметров:

a0 =

a1 =

	n		n			n		n	ü
	å yt		å t2 -			å t		å yt t ï
	t =1	t =1			t =1 t =1				ï
	n		n			n			ï
			å t2 - (			å t)2			ï
		t =1				t =1			ï	(6.9)
	n				n	n			ý
									ï
	å yt t - å yt					å t
									ï
t =1				t =1		t =1			ï
	n		2		n		2
									ï
	n å t			- ( å t)					ï
	t =1				t =1				þ

Метод наименьших квадратов и процедура построения тренда полностью переносятся и на случай, когда уравнение кривой может быть после некоторых преобразований сведено к линейному тренду:

yt = a0 + a1t .

Впрактике криволинейного выравнивания широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм (Ln) и обратное преобразование

(1/t). При этом возможно преобразование как зависимой переменной yt , так и

независимой t, или одновременно и той, и другой. Рассмотрим простую экспо­ ненциальную кривую, ее уравнение и необходимые преобразования.

yt = a 0ea1t.

(6.10)

Это уравнение можно записать в другом виде:

yt = ea0′ +a1t,

где a′0 = ln(a0 ) ;

тогда yt = a0 (a1′ )t , где a1′ = ea .

От обеих частей уравнения (6.10) возьмем натуральный логарифм. Получим:

Ln(yt ) = Ln(a0 ) + a1tLn(e).

Обозначим Yt = Ln(yt ) , тогда Yt = a′0 + a1t .

В этом уравнении a′0 = Ln(a0 ) и a1 могут быть найдены с помощью стан­ дартной процедуры приведенной выше. Для некоторых кривых в табл.6.1 при­ ведены уравнения и необходимые преобразования.

31

		Таблица 6.1
Название кривой	Уравнение	Преобразование
Линейная	yt = a0 + a1t	-
Экспоненциальная (простая)	yt = a0ea1 t	Yt = ln(yt )
Степенная	yt = a0ta1	Yt = ln(yt )
		T = ln(t)
Гиперболическая (1 тип)	yt = a0 + a1 t	T = 1 t
Гиперболическая (2 тип)	yt = 1 (a0 + a1t)	Yt = 1 yt
Гиперболическая (3 тип)	yt = t (a0 + a1t)	Yt = 1 yt
		T = 1 t
Логарифмическая	yt = a0 + a1 ln(t)	T = ln(t)

Пример 6.1. Построение линейного тренда по динамике ежегодных за­ трат на строительство дорог в Республике Беларусь представлено в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Год	t	t2	yt	yt 2	tyt
1986	1	1	560	313600	560
1987	2	4	608	369664	1216
1988	3	9	685	469225	2055
1989	4	16	807	651249	3228
1990	5	25	839	703921	4195
1991	6	36	914	835396	5484
1992	7	49	1100	1210000	7700
1993	8	64	1196	1430416	9568
1994	9	81	1499	2247001	13491
1995	10	100	1574	2477476	15740
1996	11	121	1513	2289169	16643
å	66	11295	11295	12997117	79880
Уравнение линейного тренда имеет вид
		y*t +τ	= a0 + a1τ ,		(6.11)

где y*t + τ - прогнозное значение yt , соответствующее моменту времени t;

a0 , a1 - параметры тренда.

Нетрудно показать что параметры a0 и a1, образующие сумму квадратов

n

å(yt − y*t ) в минимум, вычисляются по формулам:

t =1

				n	n	n
			nå tyt		− å tå yt
a1	=			t=1	t=1	t=1		,	(6.12)
				n	n
				nå t 2 − (å t)2
				t =1	t =1
		1		n	n
a 0	=			(å yt	− a1 åt)		,		(6.13)
		n
				t=1	t=1

32

На основании таблицы 6.1 и формул (6.12) (6.13) находим:

a = nå tyt -å tå yt						= 11× 79880 - 66 ×11295 = 878680							- 745470 = 133210 = 110,09;
1	nå t2 - (å t)2							11×506 - (66)2				5566	- 4356	1210
	a0	=	å yt	-	bå t		=	11295	-	110,09	× 66	= 1026,81 - 660,54 = 366,27.
			n		n			11		11

Таким образом, трендовая модель имеет вид

y*τ = 366,27 +110,09τ .

Пример 6.2. Введение механизации на предприятии позволило увеличить производительность труда. Производительность труда с февраля 1998 г. по ап­ рель 1999 г. характеризуется динамическим рядом, представленным в табл. 6.3 (первый и второй столбец).

Семилетнюю скользящую среднюю вычислим по формуле

Yt = 211 (−2yt-3 + 3yt-2 + 6yt−1 + 7yt + 6yt+1 + 3yt+2 − 2yt+3 )

Тогда

Y4 = 211 (-2× 20 + 3× 24 + 6× 28 + 7×30 + 6×31+ 3×33- 2×34) = 29,9, Y5 = 211 (-2× 24 + 3× 28 + 6×30 + 7 ×31+ 6×33 + 3×34 - 2×37) = 31,4

и т.д. Анализируя значения семилетней скользящей средней, можно сде­ лать вывод о том, что тенденция приближается к линейной. Для проверки этого вывода вычислим характеристики приростов (см. табл. 6.3). Средние приросты вычислим, используя формулу

u t = 281 (−3yt−3 − 2yt−2 − yt−1 + yt+1 + 2yt+2 + 3yt+3 ) .

Анализ значений характеристик приростов подтверждает сделанное пред­ положение о том, что тенденция динамического ряда описывается линейной

функцией yt = a0 + a1t .

Вычислим по формулам (6.12) и (6.13) параметры тренда:

a0 = 20,81 , a1 = 1,91.

Поэтому прогнозируемая модель имеет вид y*t = 20,81 + 1,91τ . Прогнозирова­

ние с помощью этой модели осуществляется весьма просто: необходимо вместо t в уравнение подставить нужное значение и найти прогноз. Так, для прогнози­ рования производительности труда в апреле 1999 г. нужно поставить t=15,

вследствие чего y15 = 20,81+1,91×15 = 49,46 .

Если прогноз необходимо определить в году t и период упреждения равен ~τ , то в прогностическую модель подставляется значение τ = n + ~τ , где n=14 со­ ответствует марту 1999 г.

33

																					Таблица 6.3.
Месяц	Производи­									t2		U					log						t2							t
			Yt			U	t								t			U	t										U
									U											log	U					log
и год t	тельность	m=7											Y
															t															2
																						Y		t
																												Y
	труда yt ,т/ч																												t
02.1998	20	-			-			-			-						-			-						-
03.1998	24	-			-			-			-						-			-						-
04.1998	28	-			-			-			-						-			-						-
05.1998	30	29,9			2,25			5,06			0,07						0,81			-2,66						0,003
06.1998	31	31,4			1,93			3,72			0,06						0,66			-2,73						0,002
07.1998	33	32,9			1,68			2,82			0,05						0,52			-3,00						0,002
08.1998	34	34,5			1,71			2,92			0,05						0,54			-3,00						0,001
09.1998	37	36,5			1,71			2,92			0,05						0,54			-3,00						0,001
10.1998	38	38,1			1,68			2,82			0,04						0,52			-3,22						0,001
11.1998	40	39,8			1,71			2,92			0,04						0,54			-3,22						0,001
12.1998	41	41,1			1,79			3,20			0,04						0,58			-3,22						0,001
02.1999	43	-			-			-			-						-			-						-
02.1999	45	-			-			-			-						-			-						-
03.1999	48	-			-			-			-						-			-						-

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Используя динамический ряд, представленный таблицей, построить трен­ довую модель и осуществить прогнозирование для периодов упреждения τ =1,2,3,4.

Исходные данные для 10 вариантов рядов динамик представлены в соот­ ветствующих таблицах (табл. 2.3 - 2.12).

Результаты прогнозирования представить графическим методом.

Тема 7. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЭКСПОНЕНЦИОНАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

Цель: получение практических навыков анализа объекта прогнозирова­ ние и проведения прогнозных расчетов методом экспоненционального сглажи­ вания.

7.1. Метод экспоненционального сглаживания

Сущность метода экстраполяционного сглаживания состоит в том, что при определении будущей динамике веса прошлых значений убывают экспо­ ненциально по мере удаления от момента начала прогноза согласно выбранно­ му параметру сглаживания α={0,1}. Параметр α можно подобрать оптималь­ ным при достижение минимума среднеквадратичной ошибки прогноза.

При прогнозировании формализованной технико-экономической инфор­ мации могут быть использованы программы линейной и квадратической моде­ лей сглаживания. Прогнозная модель выбирается по меньшей ошибке предска­

34

зания. Исходными данными являются временными ряды формализованной ин­ формации, время предыстории и время упреждения. Оптимальное значение па­ раметра выбирается алгоритмом по минимуму среднеквадратической ошибки прогноза.

Вычислительная процедура позволяет определить коэффициенты полино­ ма, ошибку прогноза, полиномально сглаженные значения и отклонения от фак­ тических данных во всех точках предыстории, а также прогнозные значения во всех точках упреждения.

Формула определения среднеквадратической ошибки прогноза является общей для линейной и квадратической моделей сглаживания.

Пусть тренд определяется линейной функцией yt =a0 + a1t. Как показал Р.Б. Браун, оценки коэффициентов a0 и a1 выражаются через экспоненциально взвешенные средние по формулам:

a0	= 2St	− St	a1 =	α	(St	− St	)	(7.1)
~	(1)	(2)	~		(1)	(2)

1−α

Т.е. оценки коэффициентов a0 и а1 являются решениями системы уравне­ ний вида

(1)

~

1 − α ~

(

2)

~

2(1 − α) ~

St

= a0

−

α

a1

,

St

= a0

−

a1.

(7.2)

α

Прогноз для случая, когда тренд характеризуется линейной функцией, вычисляется по формуле

~	+ a1 × t	(7.3)
yt+τ = a0

Чтобы воспользоваться формулой 7.3 для прогнозирования, нужно опре­ делить значения параметров a 0 и a1, которые выражаются через экспоненциаль­ но взвешенные средние из формул

S(t1) = αt + (1− α)S(t1−)1

S(t2) = αS(t1) + (1− α)S(t2−)1

S(t3) = αS(t2) + (1− α)S(t3−)1 …и т.д.

Начальные условия либо задают исходя из экономических соображений (например, из величины лага), либо вычисляется по формулам:

S(1)	= a0	−	1− α a1	S(2)	= a0	−	2(1− α) a1.
0			α	0			α

В качестве значений коэффициентов a0 и a1 нужно брать коэффици­ енты уравнения тренда, полученные методом наименьших квадратов. Затем вы­ числяются экспоненциально взвешенные средние первого и второго порядков:

35

S1(1)	= αy1 + (1−α)S0(1)	S2(1) = αy2	+ (1−α)S1(1) .
S1(2)	= αS1(1) + (1−α)S0(2)	S2(2) = αS2(2)	+ (1−α)S1(2) .

Ошибка прогноза при использовании доверительного интервала опреде­ ляется по формуле

Syt+r = Su (2 -aa)3 (1+ 4(1- a) + 5(1- a2 ) + 2a(4 - 3a)t + 2a2t2 ) ,

где Su – средняя квадратичная ошибка, характеризующая отклонение от линей­ ного тренда

			n
			å(yt - yt )2
	Su =		t =1			.
			n - 2

При использовании прогностической модели 7.3 одной из основных проблем является выбор оптимального значения параметра сглаживания α, где 0<α<1. От численного значения α зависит, насколько быстро будет уменьшать­ ся вес предшествующих наблюдений, т.е. Насколько быстро будет уменьшаться степень их влияния на сглаженный уровень. Это значит, что чувствительность экспоненционально взвешенной средней в целях повышения адекватности прогностической модели может быть в любой момент изменена путем измене­ ния значения α. Чем больше α, тем выше чувствительность средней. Чем мень­ ше значение α, тем устойчивее становится экспоненционально взвешенная средняя. Если подходящими оказываются более высокие значения α, это указы­ вает на нарушения условий стационарности и означает, что экспоненциально взвешенная средняя становится неприемлемой для прогнозирования. Значения α при условии равенства среднего значения степени старения данных можно выбирать, используя формулу

n −1		=	1−α		или	α =	2
2				α			n +1

Значения α, используемые в области экономического прогнозирования, находится в пределах от 0.05 до 0.3. Длинна усреднения в скользящем среднем

сточки зрения чувствительности прогноза может быть найдена в соответствии

сn из таблицы 7.1.

Таблица 7.1.

α	n
0.05	39
0,1	19
0,2	9
0,3	6

36

Достоинство метода экспоненциально взвешенной средней по сравнению с другими методами состоит в его точности, которая увеличивается с увеличе­ нием числа уровней динамического ряда. Но остается нерешенной проблема выбора значений параметра сглаживания α и начальных условий. Точность прогноза по этому методу падает с увеличением горизонта прогнозирования.

Пример 7.1. Рассмотрим процедуру прогнозирования, используя динами­ ческий ряд, представленный в таблице 2.5.

Для построения тренда yt = a0 + a1t , описывающего динамический ряд на­

чало координат было перенесено в середину ряда когда система малых уровней для оценки параметров тренда упрощается.

16a0 + 0a1 = 2081. 0a0 +1360a1 = 857 .

Решая ее находим: a0 = 103,06 , a1 = 0,63 . Уравнение тренда имеет вид yt = 130,06 + 0,63t .

Для прогноза выпуска цемента на 1991г. воспользуемся формулой (7.1). Оценка коэффициентов a~0 и a~1 найдем из выражений.

	~	(1)	,	~				a	(1)	(2)	) .
	a0	= 2St		a1	=				(St	− St
						1		− a

Которые содержат экспериментально взвешенные средние St(1) и St(2) и па­ раметра a. Параметр сглаживания a положим равным 0,15, так как для n=19 ре­ комендуется брать a=0,1; в нашем примере n=19 Вычисление St(1) и St(2) осуще­ ствим по реконкурентной формуле (3,59), предварительно определив начальные условия St(1) и St(2) :

S0(1) = a0		−		1−α	a1 = 130,06 −		0,85		0,63 = 126,49 .
							0,15
				α
S0(2) = a0	−		2(1−α) a1			= 130,06 −		1,7		0,63 = 122,92 .
				α			0,15

где a0 , a1 - коэффициенты уравнения тренда. Тогда:

S1(1) = αy1 + (1−α)S0(1) = 0,15 122 + 0,85 126,49 = 125,82 . S1(1) = αS1(1) + (1−α)S0(2) = 0,15 125,82 + 0,85 122,92 = 123,36 .

Затем вычисляем a~0 и a~1 :

	~	= 2 125,82 −123,36 = 128,28 .
	a0
	~		0,15
	a1	=		(125,82	−123,36)	= 0,43 .
			0,85

и осуществим прогноз на 1976 год. Далее по реконкурентной формуле вычисля­ ем новые S2(1) и S2(2) .

S2(1) = αy2 + (1+ α)S1(1) .

S2(2) = αS2(1) + (1−α)S1(2) .

ипо ним находим ā0 и ā1, которые используем для прогноза производства на

1977г. и т.д. В табл. 7.1 приведены экспоненциально взвешенные средние, соот­

37

ветствующие коэффициенты ā0 и ā1, результаты прогноза и отклонений факти­ ческих уровней от прогнозируемых в случае ретроспективного прогноза и ука­ зан прогноз производства на 1991г.

Для прогноза производства на 1991г. использовались следующие значе­ ния экспоненциально взвешенных средних:

S16(1) = 135,01; S16(2) = 129,68 и оценки коэффициентов модели

~	= 140,34,	~	= 0,94 .
a0		a1

Ошибку прогноза вычислим по формуле

	S	= Su (	α	(1	+ 4(1− α) + 5(1− α)2	+ 2α(4 − 3α)τ +
			2 − α)3
	yt+τ

+ 2α2τ2 ))12 == 2,79(60,,1533 (1+ 4 0,85 + 5 0,72 + 0,30 3,55 1+

+ 0,045))12 = 3,58

где средняя квадратичная ошибка:

						n
						å (yt - yt )2 .
				Su =		t=1
							n - 2
	Доверительный интервал прогноза:
		(141,28 −1,76 3,58;141,28 +1,76 3,58) = (134,98;147,58) .
Год, t		Производст. yt	St(1)	St(2)			a0			a1	Прогноз yt	Отклонение
												u	= y	t	- y
												1			t
1986		124	125.82	123.36			128.28			0.43	128.71		-4.71
1987		127	125.60	123.70			127.50			0.34	127.84		-0.84
1988		127	125.81	124.02			127.60			0.32	127.95		-0.92
1989		123	125.39	124.23			126.55			0.20	126.75		-3.71
1990		125	125.33	124.39			26.27			0.12	126.44		-1.44
1991		127	125.58	124.57			26.59			0.18	126.77		0.23
1992		124	125.39	124.69			129.99			0.11	126.10		-2.10
1993		128	125.74	124.85			126.63			0.16	126.69		-1.31
1994		130	126.38	125.08			127.68			0.23	127.91		2.09
1995		131	127.07	125.38			128.76			0.30	129.06		1.94
1996		135	128.26	125.81			130.71			0.43	131.14		3.86
1997		137	129.57	126.37			132.77			0.56	133.33		3.67
1998		139	130.98	127.06			134.90			0.69	135.59		3.41
1999		140	132.33	127.85			136.81			0.79	137.60		2.40

38

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Используя динамический ряд, представленный таблицей, осуществить прогнозирование методом экспоненциального сглаживания для периодов упре­ ждения τ=1,2,3,4.

Исходные данные для вариантов 10 рядов динамики представлены в соот­ ветствующих таблицах (табл.2.3-2.12).

Результаты прогнозирования представить графическим методом.

Тема 8. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ТРЕНДОВЫХ МОДЕЛЕЙ

Цель: изучение методов оценки точности и надежности прогнозов и по­ лучение практических навыков выбора трендовых моделей для прогнозирова­ ния.

8.1. Показатели точности и надежности прогноза

Точность прогноза оценивается величиной ошибки прогноза – разности между прогнозом и фактическим значением исследуемого показателя. Такой подход возможен, когда период упреждения уже окончился и исследователь имеет фактические значения переменной и когда прогнозирование осуще­ ствляется для некоторого момента времени в прошлом, для которого имеются фактические данные. Таким образом поступают для проверки разработанной методики прогноза. При этом динамический ряд разбивают на две части: первая часть принимается за период предыстории и служит для оценивания парамет­ ров прогностической модели, вторая – за прогнозируемый период (ее данные рассматриваются как реализация соответствующих прогностических оценок).Построив модель прогноза по первой части динамического ряда, прогнозируют уровни второй части ряда. Рассматривая разности фактических уровней второй части динамического ряда и спрогнозированных, получают ошибки прогноза, которые характеризуют точность построенной прогностиче­ ской модели и могут оказаться полезными при сопоставлении нескольких мето­ дов прогнозирования.

Надежность прогноза определяется вероятностью того, что прогнозируе­ мый показатель примет соответствующее значение. Чем выше эта вероятность, тем выше и надежность прогноза.

Вероятность прогноза может быть оценена с помощью экспертных оце­ нок или доверительных интервалов.

Понятия точности и надежности прогнозов, связанные с доверительными интервалами, являются в значительной мере условными показателями. Их мож­ но использовать в том случае, когда прогностичная модель имеет серьезное теоретическое обоснование и спецификация моделей корректна.

Так как универсальных критериев точности и надежности прогнозов не существует, то при оценке прогностических свойств моделей целесообразно сравнение точности прогнозов, полученных с помощью различных моделей. При этом к оценке точности может быть три подхода: 1) теоретические довери­

39

тельные интервалы прогноза, определяемые точностными характеристиками модели; 2) эмпирически оцениваемая точность ретроспективных прогнозов; 3) оценка прогнозов перспективных прогнозов, реализованных на модели.

В качестве мер точности прогноза используются различные показатели

Среднее абсолютное отклонение (MAD)

			1	n		yt - y t
	et	=		× å			,	(8.1)
			n	t=1

Так как фактическое значение прогнозируемого показателя неизвестно, в качестве среднего нужно взять экспоненциально взвешенную среднею, а сред­ нее абсолютное отклонение можно вычислить по формуле экспоненциально взвешенной средней абсолютных значений ошибок.

~	- a)MADt−1,	(8.2)
MADt = et = a et + (1

(значение α лежит в пределах от 0,05 до 0,3). Так как et - величина неотрица­

тельная, среднее абсолютное значение всегда неотрицательно.

Из практики известно, что для довольно большого класса статистических распределений значение стандартного отклонения несколько больше значения среднего абсолютного отклонения и строго пропорционально ему. Константа пропорциональности для различных распределений колеблется между 1,2 и 1,3. Для нормального распределения константа пропорциональности равна

p /2 = 1.2533. Поэтому

St = 1,2 × e .

Средняя абсолютная процентная ошибка

Количественно оценить ошибку прогноза в единицах прогнозируемого показателя или в процентах можно и с помощью средней абсолютной процент­ ной ошибки et , которая является средней абсолютных значений ошибок прогноза, выраженных в процентах относительно фактических значений пока­ зателя. Итак,

1

n

y

t

- y t

(8.3)

e

=

× å

×100%

n

t=1

yt

Показатель

t , как правило,

используется при

сравнении точности

e

прогнозов разнородных объектов прогнозирования, так как он характеризует относительную точность прогноза. Значение et и их интерпретацию приведем в следующей таблице:

40