zav

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

МИНСК 2007

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ПОДЛЕЖИТ ВОЗВРАТУ	УТВЕРЖДАЮ
	Проректор по учебной работе
	___________ В. И. Федосенко
	« 01 » февраля 2007 г.

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебная программа, методические указания

и контрольные задания

для учащихся безотрывной формы обучения специальности 2-40 01 01

«Программное обеспечение информационных технологий»

МИНСК 2007

1

УДК 519.6(075) ББК 22.19я7

П75

Рекомендовано к изданию кафедрой математики и Научно- методическим советом Учреждения образования «Минский госу- дарственный высший радиотехнический колледж»

Со с т а в и т е л ь В. Э. Жавнерчик, доцент кафедры математики МГВРК,

канд. физ.-мат. наук, доцент

Р е ц е н з е н т М. А. Калугина, старший преподаватель

кафедры математики МГВРК

Прикладная математика : учеб. программа, метод. ука- П75 зания и контрол. задания для учащихся безотрыв. формы обучения специальности 2-40 01 01 «Программное обеспе- чение информационных технологий» / сост. В. Э. Жавнер-

чик. – Мн. : МГВРК, 2007. – 28 с. ISBN 978-985-6754-75-6

Пособие содержит учебную программу курса прикладной математики, общие методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы, краткие теоретические све- дения, варианты заданий контрольной работы, решения типовых задач, вопросы для самоконтроля и список рекомендуемой ли- тературы.

Предназначено для учащихся и преподавателей колледжа.

УДК 519.6(075) ББК 22.19я7

© Жавнерчик В. Э., составление, 2007 ISBN 978-985-6754-75-6 © Оформление. Учреждение образова- ния «Минский государственный высший радиотехнический колледж»,

2007

2

Предисловие

Настоящее пособие составлено в соответствии с программой курса «Прикладная математика», разработанной для учащихся дневной формы обучения специальности 2-40 01 01 «Программ- ное обеспечение информационных технологий», и предназначе- но для самостоятельного изучения учащимися безотрывной фор- мы обучения основных методов, алгоритмов и вывода формул, применяемых при решении задач прикладного характера.

Математической базой для изучения данного курса являют- ся основы следующих разделов математики:

-введение в математический анализ;

-дифференциальное исчисление;

-интегральное исчисление;

-теория обыкновенных дифференциальных уравнений пер- вого порядка.

При изучении курса прикладной математики перед учащи- мися безотрывной формы обучения ставятся следующие задачи:

-приобретение теоретических знаний по прикладной мате- матике;

-овладение методами и приемами решения конкретных задач;

-приобретение навыков самостоятельной работы при изуче- нии теоретических вопросов и решении практических задач.

Учебная деятельность учащегося безотрывной формы обу- чения по изучению данного курса состоит из следующих основ- ных элементов:

-самостоятельного изучения пяти разделов курса приклад- ной математики по предлагаемым учебным пособиям;

-выполнения контрольной работы;

-сдачи экзамена.

Цель предлагаемого методического пособия – оказание по- мощи учащимся в самостоятельной работе над учебным мате- риалом. Кроме того, для учащихся организуются лекции, прак- тические занятия и консультации, призванные облегчить пони- мание и усвоение сложных вопросов. Все это содействует ус- пешному выполнению контрольной работы и последующей сда- че экзамена.

3

1. Учебная программа

1.1. Тематический план предмета

Т а б л и ц а 1

			Всего часов
	Наименование раздела	дневная		безотрывная
		форма обучения		форма обучения
		ЛЗ	ПЗ	ЛЗ	ПЗ
1.	Элементы теории погрешностей	6	6	2	2
2.	Аппроксимация функций	8	6	4	2
3.	Численное интегрирование	6	3	2	2
4.	Методы решения нелинейных урав-
	нений	8	12	4	2
5.	Численное решение обыкновенных
	дифференциальных уравнений	4	5	2	2
	ИТОГО	32	32	14	10

1.2. Содержание предмета

РАЗДЕЛ 1. Элементы теории погрешностей

Роль численных методов. Математическая модель, этапы решения задачи на ЭВМ. Погрешности вычислений.

Абсолютная и относительная погрешности приближенного значения числа. Значащие, верные и сомнительные цифры, ок- ругление чисел.

Погрешности действий над приближенными значениями чи- сел. Правила подсчета верных цифр.

Литература [1], [2, c. 8–31], [3, c. 182–188], [4], [5, c. 9–25]

РАЗДЕЛ 2. Аппроксимация функций

Приближение функций: постановка задачи, виды аппрокси- мации.

Локальное интерполирование функций: линейная и квадра- тичная интерполяции, сплайны.

Глобальная интерполяция: интерполяционный многочлен Лагранжа; конечные разности, интерполяционные многочлены Ньютона.

Метод наименьших квадратов.

Литература [1], [2, c. 262–287, 294–298, 306–308], [3, c. 192–200], [4], [5, c. 31–34, 49–61, 64–68, 71–74]

РАЗДЕЛ 3. Численное интегрирование

Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

Литература [1], [2, c. 349–359, 379–389], [3, c. 218–225], [4], [5, c. 92–102]

РАЗДЕЛ 4. Методы решения нелинейных уравнений

Нелинейные уравнения: отделение и уточнение корней. Метод половинного деления.

Метод хорд.

Метод Ньютона (метод касательных). Метод простой итерации.

Литература [1], [2, c. 162–186, 193–201], [3, c. 206–215], [5, c. 155–161]

РАЗДЕЛ 5. Численное решение обыкновенных

дифференциальных уравнений

Метод Эйлера. Метод Рунге–Кутта.

Литература [2, c. 400–403, 409–414], [3, c. 225–229], [4], [5, c. 213–217, 220–221]

2.Общие методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы

Учащиеся безотрывной формы обучения специальности 2-40 01 01 «Программное обеспечение информационных техно- логий» выполняют одну домашнюю контрольную работу по предмету «Прикладная математика» в соответствии с варианта- ми. Контрольная работа имеет 10 вариантов (от 0 до 9) и состоит из шести заданий. Вариант работы соответствует последней цифре в зачетной книжке учащегося. Контрольная работа, вы- полненная не по своему варианту, не засчитывается и возвраща- ется на доработку.

Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетра- ди чернилами синего или черного цвета, оставляя поля для заме- чаний рецензента.

4

5

На обложке тетради должны быть аккуратно записаны все титульные данные: шифр, специальность, номер учебной группы, фамилия, имя и отчество учащегося, предмет, номер варианта.

Решения задач надо располагать в порядке номеров, указан- ных в работе, сохраняя последовательность.

Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. Если задача имеет общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкрет- ными из своего варианта.

Решения задач надо излагать подробно и аккуратно, объяс- няя все действия и делая необходимые пояснения и рисунки.

В конце работы следует указать литературу, которая была использована, поставить дату выполнения работы и подпись.

Контрольная работа должна быть выполнена и сдана в уста- новленные сроки. В период экзаменационной сессии работа на проверку не принимается.

После получения прорецензированной работы учащийся должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

Если рецензент предлагает переделать в контрольной работе ту или иную задачу, то это следует выполнить в короткий срок. При необходимости исправленная работа высылается на по- вторное рецензирование вместе с предыдущей работой. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы ос- тавлять в конце тетради несколько чистых листов для исправле- ний и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

3. Краткие теоретические сведения

РАЗДЕЛ 1. Элементы теории погрешностей

Пусть A - точное числовое значение некоторой величины, a - ее приближенное значение (или приближение). Число a называ-

ется приближенным значением числа A с точностью до Da , ес-

ли выполняется неравенство

A - a £ Da.

Величина Da называется абсолютной погрешностью при-

ближенного значения a числа A. При этом точное числовое зна- чение записывают в виде A = a ± Da , а приближенное значение -

в виде: a (±Da ).

Относительной погрешностью приближенного значения a ¹ 0 числа A называется величина δa , удовлетворяющая условию

A - a £ δa . a

Можно принять δa = Daa .

Значащими цифрами приближенного значения a, a ¹ 0, на-

зываются все его цифры, кроме нулей:

а) стоящих левее первой отличной от нуля цифры, если при- ближенное значение а – десятичная дробь;

б) служащих лишь для обозначения десятичных разрядов, если приближенное значение а – целое.

Всякое десятичное число a ¹ 0, точное и приближенное, может быть представлено в виде:

a = ±(0, α α		...α	n	...) ×10p ,	(1)
где αk ³ 0	1 2				причем α1 ¹ 0,
	(k =1, 2, ..., n, ...) - цифры числа a,
p - целое число.		Значащая цифра αn приближенного значения
вида (1)	числа	A называется верной в узком			смысле, если

Da £ 0,5×10p−n , и верной в широком смысле, если Da £10p−n.

Значащие цифры, не являющиеся верными, называются сомни-

тельными.

Замена данного десятичного точного или приближенного значения другим, приближенным значением с меньшим количе- ством цифр, называется округлением числа.

При округлении приближенного значения a (±Da ) числа A получаем новое приближенное значение a1 с абсолютной по- грешностью Da1 = Da + Da,a1 , где величина Da,a1 удовлетворяет

неравенству a - a1 £ Da,a1 .

Погрешности действий над приближенными значениями чисел

1) Da1 ±a2 = Da1 + Da2 ;

Считая относительные погрешности достаточно малыми, можно использовать приближенные формулы:

6

7

2)δa1 ×a2 » δa1 + δa2 ,

3)δ a1 » δa1 + δa2 ;

	4) δ	a2			» m ×δa , m N;
		a	m
							1
		1
	5) δm				»	1	×δa , m N.
			a			m
							1
			1

РАЗДЕЛ 2. Аппроксимация функций

Задача о приближении (аппроксимации) функций

Данную функцию f (x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией ϕ(x) так, чтобы от- клонение (в некотором смысле) ϕ(x) от f (x) в заданной облас- ти было наименьшим. Функция ϕ(x) при этом называется ап-

проксимирующей.

В качестве аппроксимирующей функции чаще всего исполь- зуется многочлен вида:

ϕ(x) º P (x) = a xm + a xm-1			+ ... + a	m	.	(2)
m	0	1

Аппроксимация называется точечной, если ϕ(x) строится на заданном дискретном множестве точек {x0 , x1, ..., xn}. Ап-

проксимация называется непрерывной, если аппроксимирующая функция строится на непрерывном множестве точек.

Интерполирование функций

Тип точечной аппроксимации, основанный на критерии сов- падения функций f (x) и ϕ(x) на заданном дискретном множе-

стве точек {x0 , x1, ..., xn}, на котором определена функция f (x), называется интерполированием (или интерполяцией). Точки xk (k = 0, 1, ..., n) называются узлами интерполяции, а

функция ϕ(x), если она ищется в виде многочлена (2), – интер-

поляционным многочленом. Величина Rn (x) = f (x) - Pn (x) назы-

вается остаточным членом интерполяционного многочлена (или

погрешностью интерполяции).

Интерполяция называется локальной (или кусочной), если

интерполяционные многочлены строятся отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения x.

Интерполяция называется глобальной, если для данной

функции

y = f (x)

требуется

найти многочлен Pn (x), прини-

мающий в заданных n +1 различных точках

xk

те же значения

yk , что и функция

f (x), т. е. Pn (xk ) = f (xk ) = yk

(k = 0, 1,

...,

n).

Интерполяционный многочлен Лагранжа

n

(x - x0 )(x - x1 )...(x - xk-1)(x - xk +1)...(x - xn )

Ln (x) = åyk

,

(3)

(x

- x )(x

- x )...(x

- x

)(x - x

)...(x - x )

k=0

k

0 k

1

k

k-1

k

k +1

k

n

причем справедлива оценка погрешности интерполяции

R (x)

£

Mn+1

(x - x )(x - x )...(x - x )

,

n

(n +1)!

0

1

n

где M

n

+1

= max

f (n+1) (x)

,

[x ,

x ] Ì [a, b].

[a, b]

0

n

Интерполяционные многочлены Ньютона

Конечными разностями k-го порядка функции y = f (x)

на-

зываются величины

Dk y

= D(Dk -1 y ) = Dk-1 y

- Dk -1 y , i = 0, 1,

..., n − k,

i

i

i+1

i

где yk = f (xk ),

xk

= x0 + kh (k = 0, 1, ...,

n), h > 0.

Составим таблицу разностей (табл. 2).

Т а б л и ц а 2

x

y

y

2y

3y

x0

y0

y0

2 y

3 y

x1

y1

y1

0

0

2 y1

M

x2

y2

y2

M

x3

y3

M

M

M

а) Первый интерполяционный многочлен Ньютона для ин-

терполирования вперед:

N (1) (x) = N (1) (x

Dy

D2 y

+ th) = y

+

0

t

+

0

t(t

-1) +

n

n

0

0

1!

2!

D3 y

Dn y

+

0

t(t

-1)(t - 2) + ...+

0

t(t

-1)...(t - n +1),

n!

3!

где t =

x - x0

,

h = x

+1

- x

k

(k = 0, 1,

...,

n −1).

h

k

8

9

б) Второй интерполяционный многочлен Ньютона для ин- терполирования назад:

N (2)

(x) = N (2)

(x

+ th) = y

+

Dyn−1

t +

D2 yn−2

t(t +1) +

n

n

n

n

1!

2!

D3 y

n−3

Dn y

+

t(t +1)(t

+ 2) + ... +

0

t(t +1)...(t + n -1),

3!

n!

где t =

x - xn

,

h = x

- x

k

(k = 0, 1, ...,

n −1).

h

k +1

Метод наименьших квадратов

Приближенная функциональная зависимость y = ϕ(x),

по-

лученная на

основании

экспериментальных

данных (xk ;

yk )

(k = 0, 1, ..., n), называется эмпирической формулой.

Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что па- раметры эмпирической формулы y = ϕ(x) находятся из условия

n

минимума функции S = å [ϕ(xk ) - yk ]2 .

k =0

Если функция ϕ(x) ищется в виде многочлена (2), то соот-

ветствующая система уравнений для отыскания коэффициентов многочлена, называемая нормальной, при m =1 имеет вид:

ìæ	n	2	ö				æ	n	ö	n
ïç	å xk		÷a0			+ ç		å xk ÷a1		= å xk yk ,
ïè k =0			ø				èk =0		ø	k =0	(4)
í	n			öa						n
ï
	æ å x						+ (n +1)a = å y .
ï	ç		k	÷	0				1	k
î	è k=0			ø						k =0
РАЗДЕЛ 3.						Численное интегрирование

Задача численного интегрирования заключается в вычисле- нии значения определенного интеграла на основании ряда зна- чений подынтегральной функции в точках промежутка интегри- рования. Формулы численного интегрирования называются квад-

ратурными формулами.

Пусть отрезок интегрирования [a, b]						разбит на n частей с
шагом h =	b - a	, x = a + kh,	y	k	= f (x )	(k = 0, 1, ..., n); R –
	n	k			k	n

остаточный член выбранной квадратурной формулы.

Формулы прямоугольников

а) Формула левых прямоугольников:

b

n−1

ò f (x)dx » h å yk = h( y0 + y1 + y2 +...+ yn−1 ).

(5)

a

k =0

б) Формула правых прямоугольников:

b

n

= h( y1 + y2 + ...+ yn ).

ò f (x)dx »

å yk

(6)

a

k =1

Оценка погрешности формул (5) и (6) определяется выраже-

нием

(b - a)h

¢

Rn

£

M1,

где M1

= max

f (x)

.

2

[a, b]

в) Формула средних прямоугольников:

b

n−1

æ

h ö

ò f (x)dx » h å

f ç xk

+

÷,

2

a

k =0

è

ø

причем

Rn

£

(b - a)h2

M2

, где M

2

= max

¢¢

.

24

f (x)

[a, b]

Формула трапеций

b

æ y

+ y

n

ö

ò f (x)dx » hç

0

+ y1 + y2 + ... + yn−1 ÷

,

2

a

è

ø

причем

Rn

£

(b - a)h2

M2

, где M

2

= max

¢¢

.

12

f (x)

[a, b]

Формула Симпсона (формула парабол)

ò f (x)dx » h [y

+ y

+ 4(y

+ y + ... + y

) +

b

a

3

0

n

1

3

n−1

(7)

+2( y2 + y4 + ...+ yn−2 )],

где n = 2m – четное число, причем

R

£

(b - a)h4

M

4

, где M

4

= max

f (IV) (x)

.

n

180

[a, b]

РАЗДЕЛ 4. Методы решения нелинейных уравнений

Нахождение приближенных изолированных корней уравне- ния f (x) = 0 состоит из двух этапов: 1) отделения корней, т. е.

нахождения промежутков, содержащих только один корень дан-

10

11

ного уравнения; 2) уточнения корней, т. е. вычисления их с за- данной точностью D.

Пусть дано уравнение f (x) = 0, причем корень ξ [a, b] отделен, т. е. f (a) f (b) < 0.

Метод половинного деления

Сначала отрезок [a, b] делится пополам и из двух получен- ных отрезков выбирается тот, на концах которого функция f (x)

имеет значения противоположных знаков. Затем выбранный от- резок снова делится пополам и проводятся аналогичные рассуж- дения. Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока на каком-то k-м этапе либо середина отрезка окажется корнем уравнения, либо получится отрезок [ak , bk ] такой, что

b

- a =

b - a

£ D.

За

приближенное

значение

корня следует

k

k

2k

взять x

=

ak

+ bk

,

при этом

ξ - x

£

b - a

.

k

2

k

2k +1

Метод хорд

¢¢

на [a, b],

то

Если f (b) f (x) > 0

xk +1

= xk

-

b - xk

f (xk ),

k = 0, 1,

...;

x0 = a.

f (b) - f (xk )

Если f (a) f ¢¢(x) > 0

на [a, b], то

xk +1

= xk

-

xk - a

f (xk ),

k = 0, 1,

...;

x0 = b.

f (xk ) - f (a)

Для оценки погрешности приближения можно пользоваться

формулой

ξ - xk

£

xk - xk −1

,

если выполнено условие

¢

¢

M1 £ 2m1, где m1 = min

,

M1

= max

.

f (x)

f (x)

[a, b]

[a, b]

Метод Ньютона (метод касательных)

x

= x

-

f (xk )

,

k = 0, 1, ...,

(8)

k +1

k

f ¢(xk )

′′

[a, b];

причем

x0 = a,

если

> 0

на

x0 = b, если

f (a) f (x)

f (b) f ¢¢(x) > 0 на [a, b].

Для оценки погрешности приближения можно пользоваться формулой

	ξ - xk		£	f (xk )	, где m1			¢
				m1		= min	f	(x)		.
						[a, b]

Метод простой итерации

Исходное уравнение записывается в виде x = ϕ(x) и уточне-

ние корня производится по формуле

xk +1 = ϕ(xk ), k = 0, 1, ...; x0 Î[a, b].

Итерационный процесс сходится при условии: ϕ(x) £ q <1

при x [a, b].

Для оценки погрешности метода простой итерации можно использовать формулы

ξ - x

£

qk

x - x

и

ξ - x

£

q

x - x

.

k

1- q

1 0

k

1- q

k k−1

РАЗДЕЛ 5. Численное решение обыкновенных

дифференциальных уравнений

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение диф- ференциального уравнения y¢ = f (x, y), удовлетворяющее на-

чальному условию y(x0 ) = y0. Выберем шаг интегрирования h и построим систему равноотстоящих точек (узлов) {x0 , x1, ..., xn},

где xk = x0 + kh (k = 0, 1, ..., n).

Метод Эйлера

Приближенное значение yk +1 решения уравнения в точке

xk +1 вычисляется по формуле
yk+1 = yk + hf (xk , yk ), k = 0, 1, ..., n −1.	(9)

Метод Рунге–Кутта

Вычисление приближенного значения yk+1 решения задачи Коши в точке xk +1 заключается в выполнении следующих опе-

раций:

1) на каждом k-м шаге определяются коэффициенты:

K (k ) = hf (x , y

k

); K (k ) = hf

æ x +

h

, y

k

+

K1(k)

ö

;

1

k

2

ç

k

2

2

÷

è

ø

12

13

K

(k ) = hf

æ x +

h

, y

k

+

K2(k)

ö

; K (k )

= hf (x + h, y

k

+ K (k ) );

3

ç k

2

2

÷

4

k

3

è

ø

2)

значение yk +1

вычисляется по формуле

yk+1 = yk + Dyk ,

k = 0, 1, ...,

n −1,

где Dy

k

=

1

(K (k )

+ 2K (k )

+ 2K (k) + K (k ) ).

6

1

2

3

4

4. Контрольная работа

Задание 1. Округлите сомнительные цифры числа a, оста- вив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определите абсолютную погрешность результата.

Вариант 0. а) a = 88,2528 (±0,0043);

Вариант 1. а) a = 37,8519 (±0,0033);

Вариант 2. а) a = 32,1479 (±0,0046);

Вариант 3. а) a = 44,8515 (±0,0043);

Вариант 4. а) a = 97,2467 (±0,0034);

Вариант 5. а) a = 62,8482 (±0,0044);

Вариант 6. а) a = 41,1486 (±0,0042);

Вариант 7. а) a = 72,7522 (±0,0029);

Вариант 8. а) a = 39,1463 (±0,0046);

Вариант 9. а) a = 78,8543 (±0,0049);

б) a = 3,719,

б) a = 4,571,

б) a = 1,276,

б) a = 3,784,

б) a = 4,868,

б) a = 4,177,

б) a = 3,021,

б) a = 4,578,

б) a = 5,831,

б) a = 3,508,

δa = 0,11 %.

δa = 0,16 %.

δa = 0,14 %.

δa = 0,15 %.

δa = 0,13 %.

δa = 0,16 %.

δa = 0,19 %.

δa = 0,17 %.

δa = 0,13 %.

δa = 0,12 %.

Задание 2. Найдите интерполяционный многочлен Лагранжа

для данной функции		f (x)		с заданными узлами xk				(k = 0, 1, 2, 3).
Вариант 0. f (x) =		1	;	x = 3,	x = 4, x	2	= 6,	x = 7.
	x - 5			0	1			3

Вариант 1.

f (x) =

1

;

x

= 2,

x

= 3,

x

= 5,

x

= 6.

x - 4

0

1

2

3

Вариант 2.

f (x) =

1

;

x

=1,

x

= 2,

x

= 4,

x

= 5.

x - 3

0

1

2

3

Вариант 3.

f (x) =

1

;

x

= 0,

x

=1,

x

= 3,

x

= 4.

x - 2

0

1

2

3

Вариант 4.

f (x) =

1

;

x

= -1,

x

= 0,

x

2

= 2,

x

= 3.

x -1

0

1

3

Вариант 5.

f (x) =

1

;

x

= -3, x

= -2,

x

= 0,

x

=1.

x +1

0

1

2

3

Вариант 6.

f (x) =

1

;

x

= -4,

x = -3,

x

= -1,

x

= 0.

x + 2

0

1

2

3

Вариант 7.

f (x) =

1

;

x

= -5,

x = -4,

x

= -2,

x

= -1.

x + 3

0

1

2

3

Вариант 8.

f (x) =

1

;

x

= -6,

x = -5,

x

= -3,

x

= -2.

x + 4

0

1

2

3

Вариант 9.

f (x) =

1

;

x

= -7,

x = -6,

x

= -4,

x

= -3.

x + 5

0

1

3

3

Задание 3. Методом наименьших квадратов найдите эмпи- рическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представ-

ленным таблицей.

	Вариант 0.	х	1	2	3	4	5
		у	2,7	2,2	4,2	5,7	4,7
	Вариант 1.	х	1	2	3	4	5
		у	1,8	1,3	3,3	4,8	3,8
	Вариант 2.	х	1	2	3	4	5
		у	2,3	1,8	3,8	5,3	4,3
	Вариант 3.	х	1	2	3	4	5
		у	1,6	1,1	3,1	4,6	3,6

14

15

	Вариант 4.	х	1	2	3	4	5
		у	2,1	1,6	3,6	5,1	4,1
	Вариант 5.	х	1	2	3	4	5
		у	2,8	2,3	4,3	5,8	4,8
	Вариант 6.	х	1	2	3	4	5
		у	1,9	1,4	3,4	4,9	3,9
	Вариант 7.	х	1	2	3	4	5
		у	2,4	1,9	3,9	5,4	4,4
	Вариант 8.	х	1	2	3	4	5
		у	1,7	1,2	3,2	4,7	3,7
	Вариант 9.	х	1	2	3	4	5
		у	2,6	2,1	4,1	5,6	4,6

Задание 4. Вычислите данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисле- ния производите с округлением до четвертого десятичного знака.

		1				1
	Вариант 0.		6 − x3 dx.		Вариант 5.		2 + x3 dx.
		ò				ò
		0				0
		1				1
	Вариант 1.		5 − x3 dx.		Вариант 6.		3 + x3 dx.
		ò				ò
		0				0
		1				1
	Вариант 2.		4 − x3 dx.		Вариант 7.		4 + x3 dx.
		ò				ò
		0				0
		1				1
	Вариант 3.		3 − x3 dx.		Вариант 8.		5 + x3 dx.
		ò				ò
		0				0
		1				1
	Вариант 4.		2 − x3 dx.		Вариант 9.		6 + x3 dx.
		ò				ò
		0				0

Задание 5. Отделите корни данного уравнения аналитиче-

ски и уточните больший из них методом Ньютона с точностью до = 10−3.

Вариант 0.	5x3 + 4x2 − 30x + 3 = 0.
Вариант 1.	4x3 + 3x2 − 23x +1 = 0.
Вариант 2.	3x3 + x2 −16x + 2 = 0.
Вариант 3.	2x3 + x2 −11x +1 = 0.
Вариант 4.	5x3 + 3x2 − 32x + 4 = 0.
Вариант 5.	4x3 + x2 −19x +1 = 0.
Вариант 6.	5x3 + x2 − 28x + 2 = 0.
Вариант 7.	3x3 + 2x2 −18x +1 = 0.
Вариант 8.	2x3 + x2 −13x + 3 = 0.
Вариант 9.	5x3 + 2x2 − 25x +1 = 0.

Задание 6. Используя метод Эйлера, составьте таблицу при-

ближенных значений решения данного дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющего начальному условию y(1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления ве- дите с четырьмя знаками после запятой.

Вариант 0. y′ = − 4xy + x.

Вариант 1. y′ = 3xy + x14 .

Вариант 2. y′ = − 2xy +1.

Вариант 3. y′ = 4xy + x12 .

Вариант 4. y′ = − 3xy +1.

Вариант 5. y′ = 2xy + x13 .

Вариант 6. y′ = − 4xy +1.

Вариант 7. y′ = − 3xy + x.

Вариант 8. y′ = xy + x12 .

Вариант 9. y′ = 4xy + x13 .

16

17

5.Методические рекомендации по выполнению контрольной работы

Задание 1. Округлите сомнительные цифры числа a, оста- вив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определите абсолютную погрешность результата, если

а) a = 92,7531 (±0,0037); б) a = 2,691, δa = 0,16 %.

Решение. а) По условию Da = 0,0037 < 0,005 = 0,5 ×10−2 ,

следовательно, в числе a = 92,7531 верными в узком смысле яв- ляются четыре цифры: 9, 2, 7, 5. Округляем число a до четырех значащих цифр: a » a1 = 92,75. Тогда

Da1	= Da + Da,a1 = 0,0037 + 0,0031 = 0,0068.
Так как	D	= 0,0068 < 0,05 = 0,5 ×10−1, то число	a имеет три
		a1	1

верные цифры: 9, 2, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: a » a2 = 92,8. Тогда

Da2 = Da + Da,a2 = 0,0037 + 0,0469 = 0,0506.

Так как Da2 = 0,0506 < 0,5 = 0,5×100 , то число a2 имеет две вер- ные цифры: 9, 2. Округляем число a до двух значащих цифр:

a » a3 = 93. Тогда
Da	= Da + Da,a						= 0,0037 + 0,2469 = 0,2506.
3						3
Так как	Da					= 0,2506 < 0,5 = 0,5 ×100 ,		то две оставшиеся цифры
	3
результата						a3 = 93	верны в узком	смысле. Таким	образом,
a ≈ 93 (±0,2506).
б) Представим δa в виде δa = 0,0016 и найдем
Da =			a		×δa = 2,691×0,0016 = 0,004305... < 0,0044;
примем Da = 0,0044. Так как Da = 0,0044 < 0,01 =10−2 ,									то число

a = 2,691 имеет три верные в широком смысле цифры: 2, 6, 9. Округляем число a до трех значащих цифр: a » a1 = 2,69. Тогда

Da1 = Da + Da,a1 = 0,0044 + 0,001 = 0,0054.

Так как Da1 = 0,0054 < 0,01 =10−2 , то три оставшиеся цифры ре- зультата a1 = 2,69 верны в широком смысле. Таким образом,

a ≈ 2,69											(±0,0054).
				Ответ: а) a » a3 = 93, Da																																							= 0,2506;
																																								3
																б) a » a1 = 2,69,																							Da1 = 0,0054.
				Задание 2. Найдите интерполяционный многочлен Лагранжа
для функции																f (x) =								1				с узлами x																			= -2,									x		= -1,	x		=1,			x	= 2.
																								x																			0												1					2				3
				Решение. Прежде всего, заметим, что
					y0 = -0,5,														y1 = -1, y2 =1, y3 = 0,5.
Применяя формулу (3) при n = 3,																																															получим:
L (x) = y														(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )																																	+ y							(x - x0 )(x - x2 )(x - x3 )												+
3											0		(x - x )(x - x )(x - x )																																				1			(x - x )(x - x )(x - x )
															0					1		0					2						0										3											1				0	1		2			1	3
+ y					(x - x0 )(x - x1 )(x - x3 ) + y																																							(x - x0 )(x - x1)(x - x2 ) =
			2	(x -x )(x -x )(x -x )																																				3				(x -x )(x -x )(x -x )
									2		0					2					1				2		3																			3			0						3			1	3		2
= -			1				×				(x +1)(x -1)(x - 2)																									-								(x + 2)(x -1)(x - 2)																	+
		2								(-2 +1)(-2 -1)(-2 - 2)																																(-1+ 2)(-1-1)(-1- 2)
+	(x + 2)(x +1)(x - 2)																								+			1		×			(x + 2)(x +1)(x -1)																									=
	(1+ 2)(1+1)(1- 2)																										2						(2 + 2)(2 +1)(2 -1)
=	1				(x3							- 2x2 - x + 2) -																	1				(x3			- x2 - 4x + 4) -
	24
																											6
-	1	(x3 + x2 - 4x - 4) +																										1			(x3					+ 2x2 - x - 2) =
	6																										24
= x		3		æ 1										1			1					1			ö		+ x						2 æ							1						1			1						1			ö
				ç							-				-					+					÷								ç-										+					-					+					÷ +
								24						6			6					24															12									6			6						12
				è																					ø								è																									ø
	æ								1					2			2					1			ö		æ 1													2						2			1					ö						3
+xç				-								+				+				-						÷	+ ç									-							+					-						÷		= -0,25x					+1,25x.
								24						3			3					24											12							3						3			12
	è																								ø		è																											ø
				Ответ: L (x) = -0,25x3 +1,25x.
																	3
				Задание 3. Методом наименьших квадратов найдите эмпи-
рическую формулу вида																																	y = ax + b															по данным опыта,																представ-
ленным таблицей
					х														1														2																3										4						5
					у												2,2																1,7															3,7										5,2						4,2

18

19