Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Кафедра МНЭ
Отчет по лабораторной работе №2
на тему:
«Статистический анализ и оптимизация технологии формирования NMOS
транзистора»
Выполнил: Проверил
студентка гр.940301 Профессор Нелаев В.В.
Зеленина М.С.
Минск 2012
Цель работы: провести статический анализ технологического маршрута изготовления NМОП транзистора для оптимизации его параметров.
Важность и необходимость проведения статистического технологического моделирования для получения реального прогнозирования работоспособности создаваемого прибора очевидна. Целью данного этапа является оптимизация технологии с целью повышения выхода годных изделий и технологичности маршрута.
В связи с этим особую актуальность приобретает применение аппроксимационных методов. Идея заключается в том, чтобы найти эффективный способ построения аппроксимационных зависимостей результатов компьютерного моделирования (или натурных экспериментов) технологии, которые позволили бы достаточно точно описать эти результаты в виде полиномиального ряда, и затем использовать эти аппроксимационные зависимости в статистических расчетах в цикле Монте-Карло. В рамках этого метода возможно эффективное использование многомерных физических моделей технологических процессов микроэлектроники и многофакторных экспериментов для статистического проектирования и оптимизации технологии.
Для проведения оптимального эксперимента необходимо, прежде всего, выбрать модель и план эксперимента, оптимальный для этой модели. Решение первой задачи в решающей степени определяется достаточно глубоким пониманием объекта исследования. Описание исследуемого объекта в виде математической модели позволяет полностью абстрагироваться от физического содержания задачи. Решение второй задачи (построение плана эксперимента) совершенно не зависит от объекта исследования. Построение оптимальных планов эксперимента сводится на первом этапе к рассмотрению требований, которыми характеризуется оценка модели. Верное планирование эксперимента не может улучшить физический смысл модели, оно улучшает только ее статистические свойства.
Связь между измеряемой величиной у(x) и контролируемыми переменными (факторами) xi может быть записана в виде функции
E{(x)}=y(x, b)
где E{(x)} – математическое ожидание величины y(x), измеренной в точке с координатами х=(хi,…, хn).
Функция y(х, b) зависит от неизвестных параметров bi,…, bk и является математической моделью изучаемой зависимости, или функцией отклика. Геометрический образ, соответствующий функции отклика, представляет собой определенную поверхность, называемую поверхностью отклика. Если аналитическое выражение функции y(х, b) неизвестно, т.е. исследование ведется при неполном знании механизма изучаемых явлений, то обычно функция отклика y(х, b) представляется в виде полинома второго порядка.
Область планирования задается интервалами возможных изменений факторов и представляет собой в общем виде гиперпараллелепипед.
Для получения оценок неизвестных параметров bi модели (2.5) обычно используется метод наименьших квадратов (МНК).
Планом эксперимента называется множество точек хi, i=1,…, m в области X, в которых производятся измерения, и соответствующие им значения.
В настоящее время широкое распространение во многих практических приложениях получили полиномиальные модели. При этом используются, в основном, полиномы первой и второй степени от n независимых переменных (факторов). Соответствующие планы принято называть планами первого и второго порядка.
Многие планы первого порядка оптимальны одновременно по многим критериям, в то время как планы второго порядка (и выше) практически никогда не отвечают нескольким критериям одновременно, и, кроме того, для их практической реализации необходимо слишком большое число измерений. Однако в принципе возможно построение планов второго порядка, близких к оптимальным, и с небольшим числом измерений посредством использования различных численных методов.
В планах, предназначенных для построения моделей первого порядка,каждый фактор эксперимента принимает 2-х-уровневые значения “+1” и “-1”. Множество всех точек в n-мерном пространстве факторов, координаты которых являются комбинациями значений “+1” и “-1”, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Число точек в этом плане N=2n. Матрица планирования Х1, Х2, Х3, Х4 для линейных моделей полного факторного эксперимента имеют соответственно вид:
Относительные точки плана полного факторного эксперимента (ПФЭ):
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
|
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
1 |
1 |
-1 |
-1 |
|
1 |
-1 |
1 |
1 |
|
1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
1 |
-1 |
-1 |
1 |
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
1 |
1 |
1 |
|
-1 |
1 |
1 |
-1 |
|
-1 |
1 |
-1 |
1 |
|
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
-1 |
1 |
1 |
|
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
|
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
В качестве аппроксимационной модели для планов второго порядка используется полином второй степени, представляющий собой невырожденный план для оценки параметров полинома.
Планы для аппроксимации поверхности отклика полиномом второй степени применяются для детального изучения области оптимума и участков поверхности отклика со значительной кривизной, когда линейная модель становится неадекватной.
Построение планов второго порядка, как правило, связано с двумя типами ограничений на независимые переменные, которые определяют область планирования – планирование на многомерном шаре или кубе. Наиболее часто используемыми планами второго порядка являются композиционные планы. При построении ортогональных и ротатабельных центральных композиционных планов в качестве ядра используются минимально возможные регулярные реплики 2n-p, которые обеспечивают независимую раздельную оценку всех основных эффектов bi и эффектов взаимодействия bij. В качестве ядра в зависимости от количества факторов могут быть использованы планы типа 2n. Если к ядру добавить точки в центре плана с координатами (0, 0,..., 0) и 2n точек, называемых звездными, с координатами (±α, 0,..., 0), ..., (0, 0...., ±α), то такой план будет центральным композиционным планом второго порядка. В лабораторной работе в качестве ядра используются точки полного факторного эксперимента.
На первом этапе необходимо с помощью программного комплекса Silvaco произвести моделирование прибора с заданными входными параметрами, заменив выбранные значения параметров на рассчитанные с внесенными коррективами на погрешность, затем результаты расчетов представить в виде таблицы.
Точки для ортогонального центрального композиционного плана (ОЦКП)(звездные точки):
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
|
-1 |
0 |
0 |
0 |
Точки плана центральной точки:
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Входные и выходные данные:
Полный факторный эксперимент:
|
X1 Энергия имплантации на первом этапе легирования |
X2 Температура разгонки примеси после имплантации бора |
X3 Температура отжига |
X4 Время отжига |
Y1 Пороговое напряжение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Входной (5%) |
Входной (5%) |
Входной (5%) |
Входной (3%) |
Выходной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Звездные точки:
|
|
|
|
|
Центральная точка
|
28 |
650 |
750 |
20 |
0.564 |
Аппроксимация данных
При проведении различных исследований часто возникает необходимость в определении зависимости между некоторыми входными параметрами процессса и выходными характеристиками. В качестве такой зависимости обычно выбирается полином первого или порядка. Входные параметры и выходные характеристики могут быть получены как в проведенном случайным образом, так и в специально спланированном эксперименте.
Поскольку всякий эксперимент связан с появлением случайных ошибок, то при построении математических моделей необходимо использовать методы математической статистики.
Обычно при решении этой задачи применяется метод наименьших квадратов (МНК). В общем, МНК позволяет получить оптимальную оценку моментов распределения оценок, а также решить вопрос об адекватности построенной модели.
Создаем стандартный текстовый файл, последний столбец которого - значения выходной характеристики, а предыдущие столбцы содержат значения входных параметров экспериментов для расчета. Количество строк в файле равно количеству экспериментов. Пример содержимого файла представлен в таблице входных и выходных данных.
Запускаем icarus.exe; создаем новый проект; открываем logo123.icp.
С помощью команды Analysis > Non-linear regression запускаем процедуру аппроксимации.
Рисунок 1 – Результаты регрессионного анализа. Закладка с описанием основных характеристик
Статистический анализ в цикле Монте-Карло
Важной и крайне необходимой операцией при проведении статистического анализа и оптимизации параметров технологии изготовления ИМС является процедура статистического анализа в цикле Монте-Карло. Запуск анализа производится при выборе пункта Analysis > Monte-Carlo loop.
Рисунок 2 - Результаты статистического анализа в цикле Монте-Карло
Оптимизация как эффективный алгоритм, позволяющий получить область экстремума целевой функции с заранее заданной точностью, является основной областью использования методов и результатов проведения статистического анализа данных и планирования экспериментов.
Оптимизация входных параметров эксперимента проводится в два этапа. На первом (обязательном) этапе, запуск которого осуществляется нажатием кнопки Perform optimization, вычисляются минимальные и максимальные значения выходной характеристики в исследуемом диапазоне входных параметров.
При необходимости, используя кнопку Range optimization, пользователь проводит второй этап оптимизации, который заключается в определении диапазонов входных параметров, обеспечивающих изменение выходной характеристики в интервале, заданном пользователем. Расчет осуществляется с использованием итерационной процедуры и зависит от заданных пользователем начальных условий (рисунок 2).
Результаты первого этапа оптимизации приведены на рисунке 3.
Рисунок 3 – Результаты первого этапа оптимизации
Результаты второго этапа оптимизации приведены на рисунке 4.
Второй этап оптимизации позволяет решить обратную задачу. Задав изменение порогового напряжения
Рисунок 4 – Результаты второго этапа оптимизации
Результаты расчетов