a e E6 30B,b a E1 80B,

c b I1R1 80 5,625 10 23,75B,d c I3R3 23,75 4,375 10 20B,

e d E3 20 20 0.

По оси абсцисс будем откладывать значения сопротивлений элементов, а по оси ординат – значения потенциалов точек. Базисную точку помещаем в начало координат (рис.1.8).

1.4. Метод наложения

Метод основан на том, что в любой линейной электрической цепи токи могут быть получены как алгебраическая сумма токов, вызываемых действием каждого источника энергии в отдельности. Эти токи называются частичными токами. При определении частичных слагающих токов необходимо учитывать внутреннее сопротивление тех источников энергии, которые принимаются отсутствующими при

вычислении слагающих токов. Если в цепи заданы идеальные источники энергии, то при определении токов, вызываемых какимлибо одним источником, все остальные источники напряжения закорачиваются, а ветви, в которых находятся источники тока, – разрываются.

Пример 4. Определить токи во всех ветвях схемы (рис.1.9), если

R2 R3 R4 R5 10 Ом,

E1 10 B; J06 1 A.

Решение: 1. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником напряжения E1. Разорвем ветвь с источником тока. Токи в цепи (рис.1.10) определим методом преобразований.

Вычислим сопротивление, эквивалентное сопротивлениям R3, R4, R5:

R354 (R3 R5) R4 6,667 Ом,

R3 R5 R4

тогда

I1' I'2 E1/(R2 R354) 10/(10 6,667) 0,6 A.

Определим напряжениеU'ab

U'ab I1' R354 4 B,

тогда

I'4 U'ab/R4 0,4 A,

I3' I5' Uab/(R3 R5) 0,2 A.

2. Определим частичные слагающие токи, вызываемые источником тока J06 . За-

коротим ветвь, где находится E1(это равносильно равенству нулю внутреннего сопротивления данного источника) (рис.1.11).

Сопротивления включены параллельно, заменим их сопротивлением

R24 R2R4/(R2 R4) 5Ом.

Определим токи I3'' и I5'' по правилу плеч:

I3'' J06 R5/(R24 R3 R5) 0,4A, I5'' J06 (R24 R3)/(R24 R3 R5)0,6A.

Аналогично определим токи I'2' и I'4' :

I'2' I3'' R4/(R4 R2) 0,2A,

I'4' I3'' R2/(R4 R2) 0,2A.

Для узла 1 составим первое уравнение Кирхгофа и определим ток I1'':

I1'' I'2' J06 0,8A.

3. Найдем искомые токи в ветвях схемы (см.рис.1.9) как алгебраическую сумму частичных слагающих токов:

I1 I1' I1'' 0,2A,

I2 I'2 I'2' 0,8A,

I3 I3' I3'' 0,6A,

I4 I'4 I'4' 0,2A,

I5 I'5 I5'' 0,4 A.

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей:

E1I1 J06(I2R2 I3R3) I22R2 I32R3 I24R4 I52R5,

где I2R2 I3R3 – напряжение на зажимах источника тока J06:

0,2 10 1(0,8 10 0,6 10) 0,82 10 0,62 10 0,2 10 0,42 10;

PИСТ PНАГР .

В данном случае источник тока J06 отдает энергию в схему (его мощность больше нуля):

PT J06(I2R2 I3R3) 14 Вт,

а источник напряжения E1 потребляет энергию (его мощность отрицательна):

PH E1J1 2 Вт.

1.5. Метод преобразования

Суть метода заключается в преобразовании электрической схемы различными методами с целью уменьшения числа ветвей и узлов, а значит, и количества уравнений, определяющих электрическое состояние схемы.

Во всех случаях преобразования заданных электрических схем эквивалентными схемами другого вида необходимо выполнять условия неизменности токов и напряжений в тех частях схемы, которые не затронуты преобразованием.

Пример 5. Определить токи в ветвях схемы (рис.1.12), если

E1 E6 40 B;

R1 R6 R5 10Ом;

R2 R3 R4 30Ом.

Решение. Преобразуем треугольник R2,R3,R4 в звезду на основании следующих формул (рис.1.13):

				R	2R	3				30 30
R23											10Ом,
				R2 R3 R4
										30 30 30
R34				R	3R	4			10Ом,
				R2 R3 R4
R24				R	2R	4			10Ом.
				R2 R3		R4

Обозначим последовательно включенные сопротивления

R246 R6 R24 20Ом

и сопротивления R345 R5 R34 , объединим две ветви (od и oc), включенные параллельно, в одну. Общее сопротивление:

R0	R246R345	10Ом.
	R246 R345

Общий источник напряжения:

	E0	1/R246 E6	20B.
		1/R246 1/R345

Преобразованная схема показана на рис.1.14:

I1	E1 E0		40 20	2A.
	R1 R23 R0		10 10 10

Определим напряжение Uod :

Uod I1R0 E0 2 10 20 0B.

Напряжение Uod на схеме (см. рис.1.13) позволяет определить ток I5 0A и ток

I6 :

I6(R24 R6) E6 Ude 0,

I6 E6/(R26 R6) 40/(10 10) 2A.

На этой же схеме определим напряжения Uac, UabиUcb :

Uac I1R23 I5R34 2 10 0 20B,

Uab I1R23 I6R24 2 10 2 10 40B,

Ucb I6R24 I5R34 20 B.

Для исходной схемы (см. рис.1.12) определим токи:

I2 Uab/R2 1,33 A,

I3 Uac/R3 0,667 A,

I4 Ucb/R4 0,667 A.

На основании первого закона Кирхгофа для узла c:

I5 I3 I4 0;

для узла b:

I6 I4 I2 0,667 1,33 2A.

Правильность решения проверим, составив баланс мощностей для исходной схемы:

E1I1 I6E6 I12R1 I22R2 I32R3 I34R4 I52R5 I62R6 или

40 2 40 2 4 10 (1,33)2 30 (0,667)2 30 4 10 0 10,

160160.

1.6.Метод эквивалентногогенератора напряжения (тока)

Метод позволяет привести сложную электрическую схему с произвольным числом источников электрической энергии к схеме с одним источником, что упрощает расчет.

Существуют два варианта метода: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

1.6.1. Метод эквивалентного генератора напряжения (МЭГН)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы (рис.1.15, а) данным методом, необходимо:

1. Электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, величина которого определяется напряжением на выходах разомкнутой ветви аb, а внутреннее сопротивление источника равняется входному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны выводов а и b при разомкнутой ветви аb. Напряжение на зажимах аb определятся любым, ранее изученным методом (рис.1.15, б). Так как для определения напряжения RH исключается, то напряжение эквивалентного генератора называют напряжением холостого хода и обозначают Uabxx .

При определении внутреннего сопротивления источника напряжения (рис.1.15, в) необходимо ветви, содержащие источники тока, разорвать, т.е. исключить все элементы, находящиеся в таких ветвях, а источники напряжения закоротить, т.е. на месте источников напряжения включить перемычки.

2. Определить искомый ток по формуле

IH Uabxx/(RГ RH).

Пример 6. Определить ток в ветви с R4 (рис.1.16) МЭГН, если

R1 R2 R3 R4 100Ом, R5 R6 50Ом,

E1 100B,

J06 2 A.

Решение: 1. Определим ЭДС эквивалентного генератора напряжения, равную

Uabxx (рис.1.17).

Исходная схема распалась на две одноконтурные схемы, токи которых равны:

	I		E1			100		0,5A;
			R1 R2
	1				100 100
	I6 J06.
Ток в сопротивлении R3 равен нулю. Определим напряжение Uabxx :
Uabxx I1R2	I3R3 I6R5				0,5 100 0 100 2 50 150 B.
Для определения RГ	источник ЭДС E1					заменим его внутренним сопротивлением
(так как R1ВН 0, то на месте E1включим перемычку), ветвь с источником J06
разорвём (рис.1.18):
RГ R5 R3			R1R2		50 100			100 100	200Ом.
		R1 R2
								100 100

2. Определим ток I4:

I4 Uabxx/(RГ R4) 150/(200 100) 0,5A.

1.6.2. Метод эквивалентного генератора тока (МЭГТ)

Для того чтобы определить ток в произвольной ветви схемы МЭГТ (рис.1.19, а), необходимо:

а) электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток эквивалентного источника должен быть равен току, проходящему между выводами m и n (рис.1.19, б), замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника УГ должна равняться входной проводимости пассивной электрической цепи (рис.1.19, в) со стороны выводов m и n;

б) определить искомый ток в ветви по формуле

IH RГImnkз/(RГ RH ) YHImnkз/(YH YГ),

где

YH 1/RH .

Пример 7. Определить ток в ветви с R3 МЭГТ (рис.1.20), если E1 10 B,

R1 R3 10Ом, J02 1A.

Решение: 1. Определим ток короткого замыкания в ветви при условии замены сопротивления R3 перемычкой (рис.1.21). Используя метод наложения (см. подразд. 1.4), определим ток Inmkз . При воздействии только источника напряжения E1

I'mnk3 E1/R1 1 A,

при воздействии только источника тока J02 получаем I''mnk3 J02 1 A.

Сумма частичных токов I'mnk3 и I'mnk3' даст общий ток Imnk3 I'mnk3 I'mnk3' 2A.

Для того чтобы определить RГ , исключим из схемы источник напряжения E1 и источник тока J02 (рис.1.22):

RГ R1 10Ом; YГ 0,1Cм.

2. Определим ток I3:

I3 Ik3RГ/(RГ RH) 2 10/(10 10) 1A

или

I3 Ik3YH/(YH YГ) 2 0,1/(0,1 0,1) 1A.

Указания к расшифровке типового расчета №1

Типовой расчет подготовлен с помощью ЭВМ для каждого студента индивидуально. Расшифровка исходных данных для построения исходной схемы пояснена на следующем примере.

Исходные данные варианта

	Номер ветви	Начало – ко-	Сопротивле-	Источники	Источники
		нец	ние, Ом	ЭДС, В	тока, А
	1	34	160	0	0
	2	45	620	500	3
	3	52	250	0	0
	4	26	540	0	4
	5	61	430	0	0
	6	13	340	0	0
	7	53	450	0	0
	8	46	520	200	0

1. Расположить шесть узлов цепи в указанном порядке и в соответствии с вариантом задания соединить их ветвями (рис.1.23).

2.Перерисовать полученный граф схемы, изменив расположение узлов таким образом, чтобы ветви не пересекались (рис.1.24).

3.Включить в ветви сопротивления и заданные ЭДС. Источники тока подключить параллельно соответствующим ветвям (рис.1.25).

4.Придать элементам схемы удобное расположение. Обозначить положительные

направления источников ЭДС, источников тока и токов ветвей. Положительные направления определяются индексами начального и конечного узлов, к которым присоединена ветвь. Всем сопротивлениям, источникам и токам ветвей присвоить номера соответствующих ветвей (рис.1.26).

Расчет схем заключается в определении токов во всех ветвях схемы, напряжения между узлами, указанными в задании, составлении баланса мощностей в цепи, определении тока в заданном сопротивлении методом эквивалентного генератора.

Пример выполнения типового расчета №1

1.Расчет токов методом преобразования

На схеме рис.1.26 преобразуем источник тока J04 в источник напряжения E04:

E04 J04 R4 540 4 2160B,

источник тока J02– в источник напряжения E02:

E02 J02 R2 620 3 1860B,

а также объединим последовательно включенные сопротивления R5,R6

и R4,R3:

R56 R5 R6 770Ом,

R43 R4 R3 790Ом.

Полученная схема показана на рис.1.27. На этой схеме объединим источники напряжения E2 и E02:

E'2 E2 E02 1860 500 2360B.

Чтобы сделать треугольник 6-3-5 пассивным, преобразуем источник напряжения

E04 в источник тока J43:

	J43		E	04		2160	2,743A.
			R43			790

Пассивный треугольник 6-3-5 преобразуем в пассивную звезду (рис.1.28 а,б), где

R437				R	43R	7		176,86Ом;
			R43 R7 R56
R4356				R	43R	56		302,64Ом;
				R43 R7 R56
R567				R	56R	7		172,39Ом.
			R43 R7			R56

Источник тока J43 преобразуем в источник напряжения E437 и E4356:

E437 J43R437 2,734 176,86 483,54B;

E4356 J43R4356 2,734 302,64 837,42B.

В результате этих преобразований схема будет иметь следующий вид (рис.1.29):

С целью дальнейшего упрощения схемы объединим источники напряжения и сопротивления:

E8 E8 E4356 627,42 B;

E2 E2 E437 2843,54B;

R8 R8 R4356 822,64Ом;

R2 R2 R437 796,86Ом;

R1 R1 R567 332,39Ом.

Схема примет вид, указанный на рис.1.30.

Далее целесообразно использовать метод узловых напряжений. Для определения

напряжения U04			необходимо составить одно уравнение:
														1							1				1				E					E
									U04																				8					2	.
														R8							R2
																									R1				R8					R2
Отсюда
					E8					E2												627,42							2843,54
					R					R
																						822,64
																													796,86
U	04				8				2																													512,02В.
			1					1					1								1							1						1

R8 R2 R1 822,64 796,86 332,39

Определим токи в схеме рис.1.30 на основании закона Ома:

U04

E2

I2R2,

I2

E2 U04

2843,54 512,02

2,93А;

R2

796,86

U04

E8

I8R8,

I8

E8 U04

627,42 512,02

1,385А;

R8

822,64

I1 U04 512,02 1,54А.

R1 322,39

По схеме рис.1.29 определим напряжения между узлами 6, 3, 5:

U63 I8R4356 E4356 I1R567 1,385 302,54 837,42 1,54 172,39 673,745В; U53 I2R437 E437 I1R567 2,93 176,86 483,54 1,54 172,39 300,14В; U56 U53 U63 300,14 373,605В.

Определим токи I5,I7 и I43 (см. рис.1.28):

I43		U56				373,605			0,474А.
		R43			790
I5			U63				673,745	0,875А;
			R56
					770

I7 U53 300,14 0,667 А.

R7 450

Для определения неизвестных токов I4;I3;I2 составим уравнения по первому закону Кирхгофа (см. рис.1.26) для узлов 4, 6 и 2:

для узла 4 I2 I1 I8 J02 1,54 1,385 3 0,075А;

для узла 6 I4 I5 I8 J04 0,875 1,385 4 1,74А; для узла 2 I3 I4 J04 1,74 4 2,26А.

2.Составление баланса мощностей

Мощность источника ЭДС (PE )положительна при совпадающих направлениях ЭДС и тока ветви и отрицательна при противоположном направлении ЭДС и тока ветви (рис.1.31):

PE I1 E1,

PE I1 E1.

Мощность источника тока (PJ ) определяется произведением тока данного источника и напряжения на его зажимах. Она положительна при противоположных направлениях напряжения на зажимах источника тока и тока источника (рис.1.32):

PJ U21J04 I4 R4 J04.

Мощность, выделяемая в активных сопротивлениях, всегда положительна и равна

P I2R.

Баланс мощности записывается в виде Pист Pпр :

m n f

EiIi JkUk Ii2Ri,

i 1

k 1

i 1

где m - число источников ЭДС в схеме; n - число источников тока в схеме;

f - число активных сопротивлений в схеме. Составим баланс мощностей для схемы рис.1.26:

	E2I2		E8I8 J04U62 J02U54 Pист;
	I2R	1	I2R	2	I2R	3	I2R	4	I	2	(R	1	R	6	) I2R	7	I2R	8	P ,
	1		2		3		4			5					7		8		пр
где	U62 I4R4 , U54					E2 I2R2;
	Pист 37 277 3758 1632 5076 Вт;
	Pпр 379,9 3,4 1276,9 1634,9 589,5 199,6 997,5 5081Вт.

3. Определение тока в ветви с сопротивлением методом эквивалентного генератора напряжения

Пусть требуется определить ток I4 методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого необходимо следующее.

1. Определить напряжение эквивалентного генератора напряжения, для чего исключим сопротивление R4 из исходной схемы (рис.1.33). Методом контурных токов определим токи в ветвях схемы. Уравнения имеют вид:

J1(R8 R5 R6 R1)

J2R1 J04(R5 R6) E8;J1R1 J2(R2 R7 R1)

J04R7 J02R2 E2.

В этих уравнениях контурные токи J04 и J02 равны токам источников тока. После подстановки численных значений получается система уравнений:

J 145 J		16	288,
1	2		416,
J2123 J116
отсюда
			J1 2,4А;	J2 3,69А.
Токи в ветвях схемы (см. рис.1.33)

I5 J04 J1 1,6A,

I3 J04 4A,

I7 J04 J2 0,31A.

Значения этих трех токов дает возможность определить напряжение U26xx : U26xx R3I3 R7I7 (R5 R6)I5 4,250 0,31 450 1,6 770 237 В.