Далее, закоротив источники ЭДС и разомкнув ветви с источниками тока, находим эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов 2 6(RГ) (рис.1.34).

Эквивалентное сопротивление генератора RГ можно определить, преобразовав треугольник сопротивлений R2,R7,R1 в эквивалентную звезду R27,R71,R21 (рис.1.35) по формулам:

R27

R2R7

; R71

R7R1

;

R21

R

2R1

;

R1 R2 R7

R1 R2 R7

R1 R2 R7

RГ

R8 R21 R71

R6

R5

R27

R3 825Ом.

R8 R21 R71 R6 R5

2. Определить ток в искомой ветви схемы (см. рис.1.26) по формуле

I4 U26xx/(RГ R4) 2371/(825 540) 1,74 А.

2. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2

Типовой расчет соответствует разделу программы “Электрические цепи синусоидального тока”. Синусоидальный ток описывается выражением

i Imsin( t i),

где i - мгновенное значение тока, Im - амплитудное значение тока,- угловая частота,

i - начальная фаза тока,

( t i )- фаза синусоидального колебания.

Кроме этого, синусоидальный ток характеризуется еще следующими значениями: действующим

	I	1	Ti2dt	I	m		0,707 Im ,
		T
				2
			0

средним

1 T

Iср T idt 0,

0

средним за полпериода или средним выпрямленным значением

	2	T/2	2 I
Iср.вып		idt	m	0,64 Im.
	T		р
		0

Такими же значениями характеризуются синусоидальные напряжения.

Для расчета целей синусоидального тока пользуются методом комплексных амплитуд (символическим методом). При этом оперируют не с реальными гармоническими токами и напряжениями, а с их комплексными амплитудами:

Ime

j i

j u

Im

, Um Ume

или с комплексами действующих значений

Im

j i

j i

,

Um

j u

j u

,

I

e

Ie

U

e

Ue

2

2

где Im,Um - амплитуды тока и напряжения;

I,U- действующие значения тока и напряжения;i, u - начальные фазы тока и напряжения.

Рассмотрим взаимосвязь между синусоидальными токами и напряжениями на основных элементах электрической цепи.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении

Мгновенные значения напряжения и тока на активном сопротивлении связаны выражением u r i. Если i Imsin( t i), то u rImsin( t i)

Umsin( t u), где Um rIm , u i . Таким образом, на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе.

Для комплексных амплитуд запишем

Im Imej i , Um rIm .

Для комплексов действующих значений

I Irj i , U rI.

Синусоидальный ток в индуктивности

Мгновенные значения напряжения и тока в индуктивности связаны выражением

u Ldi . dt

р

Если i Imsin( t i), то u LImsin( t i 2) Umsin( t u ), где

Um LIm , u i р . Отсюда следует, что напряжение на индуктивности

2

опережает ток на 900. Индуктивность в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением XL , величина которого пропорциональна частоте

XL L.

Комплексные амплитуды тока и напряжения на индуктивности запишутся следующим образом:

р

Im Imej i , Um Lej2Im.

Для комплексов действующих значений

р

I Iej i , U Lej2I.

Комплексное сопротивление индуктивности определяется выражением

jр

ZL Le 2 j L jXL .

Синусоидальный ток в емкости

Мгновенные значения напряжения и тока в емкости связаны выражением

i Cdu . dt

р

Если u Umsin( t u ), то i CUmsin( t u 2) Imsin( t i) , где

Im CUm , i u р . Отсюда следует, что ток в емкости опережает напряже- 2

ние на 900 . Емкость в цепи синусоидального тока обладает реактивным сопротивлением Хс, величина которого обратно пропорциональна частоте

1 XC C.

Комплексные амплитуды тока и напряжения на емкости запишутся следующим образом:

р

Um Umej u , Im Cej2Um .

Для комплексов действующих значений

р

U Uej u , I Cej2U.

Комплексное сопротивление емкости определяется выражением

	1		j	р		1
XC			e 2 j				jXC.
		C
						C

Комплексное сопротивление Z линейного пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости:

Z r jXL jXC r jX zej , где X XL XC – полное реактивное сопротивление;

z r2 (XL XC)2 – модуль полного сопротивления;

arctg x – угол сдвига фаз между напряжением и током двухполюсника. r

Комплексная проводимость линейного пассивного двухполюсника, состоящего из параллельного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости:

										Y g jbC jbL g jb yei ,
	где g			1		– активная проводимость;
				r
	bC	1					C– реактивная проводимость емкости;
		XC
	bL	1						1	– реактивная проводимость индуктивности;
			XL
								L
	b bC bL – полная реактивная проводимость;
	y		g2			(bC bL)2				– модуль полной проводимости;

arctgb – угол сдвига фаз между током и напряжением двухполюсника. g

Для расчета цепей синусоидального тока можно пользоваться любыми методами расчета цепей, рассмотренными в методических указаниях к выполнению типового расчета № 1. Однако при этом обязательно используется символический метод. В процессе расчета необходимо уметь переходить от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной и обратно:

A a jb Aej ,

a Acos , b Asin ,

A a2 b2 , arctg b .

a

Следует заметить, что при переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной возможно неправильное определение фазы . Это

происходит в тех случаях, когда действительная часть комплексного числа отрицательна. Избежать ошибки поможет изображение комплексного числа в алгебраической форме на плоскости.

Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока

Пример 1. Рассчитать комплексные входные сопротивление и проводимость цепи, определить их характер, изобразить последовательную и параллельную схемы замещения цепи. Ток и напряжение на входе цепи:

i7,07 10 3 sin(103t 60 ) A , u 14,14 sin(103t 90 ) B .

Решение. Для определения комплексного входного сопротивления Z zej необходимо вычислить его модуль Z и сдвиг фаз :

z	Um				14,14		2 103	Ом,
					7,07 10 3
	Im
900 600 300,
	u				i
Z ze		j			3	j300
				2 10 e			Ом.

Проводимость – величина, обратная сопротивлению:

Y1 0,5 10 3 e j30 . Z

Определяя алгебраическую форму записи z и Y, находим активные и реактивные сопротивления и проводимости:

Z 2 103 ej30 1,73 103 j1 103 Ом,

Y 0,5 10 3 e j30 0,43 10 3 j0,25 10 3 Cм.

Следовательно:

R 1,73 103 Ом, X 1 103 Ом,

g 0,43 10 3 Cм,b 0,25 10 3Cм.

Знак “+” перед мнимой частью Z говорит об активно–индуктивном характере нагрузки.

Последовательная и параллельная схемы замещения представлены соответственно на рис.2.1, a, б.

Пример 2. Определить токи в схеме (рис.2.2, а) при: U 25 B, R 5 Ом,

XC 5 Ом, XL 2,5 Ом.

Составить баланс мощностей, построить топографическую диаграмму напряжений.

Решение. Используем метод эквивалентных преобразований. Заменяем параллельные ветви одной эквивалентной ветвью с сопротивлением ZAB:

		R( jXC)		5( 5j)		j45
ZAB					3,536e		2,5 2,5jОм .
		R jXC		5 5j

Участки ca и cb соединены последовательно, поэтому входное полученное сопротивление цепи:

ZВХ ZCA ZAB 2,5j 2,5 2,5j 2,5Ом.

Поскольку входное сопротивление является активным, в цепи установился резонанс напряжений.

Находим токи:

I3 U/Zbx 25/2,5 10A; Uca jXLI3 25j 25ej90 B;

Uab U Uca 25 25j 35,36e j45 B;

I1 Uab/R 5 5j 7,071e j45 A;

I2 Uab/( jXC) 5 5j 7,071ej45 A.

Составим баланс мощностей. Активная мощность источника

PИСТ U I3 cos(UI3)25 10 cos0 250Вт.

Реактивная мощность источника

QИСТ U I3 sin(UI3) 25 7,071 sin0 0.

Активная мощность приёмников

PПР I12 R 7,0712 5 250Вт.

Реактивная мощность приёмников

QПР I22 XC I32XL 7,0712 5 102 2,5 0.

Баланс мощностей выполняется : PИСТ = РПР , QИСТ = QПР, значит, токи найдены правильно. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений приведены на рис.2.2, б. Масштабы: MI 3,5A/Cм, MU 7 B/Cм.

Пример 3. Для схемы (рис.2.3) определить комплексы действующих значений токов в ветвях и напряжений на ее элементах. Составить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Параметры элементов цепи: E 2B, J 4мА,

R1 1кОм,

R2 3кОм,

L 2мГн,

C 3нФ,

106 c 1.

Решение. Определим сопротивления индуктивности и емкости:

XL L 106 2 10 3 2кОм,

Xс 1/ 1/(106 3 10 9) 0,33кОм.

Для нахождения токов и напряжений выберем метод контурных токов:

I11(R1 R2 jXL jXC) I22(R2 jXC) E,

где

I22 J 4ej0 4мА.

Вычислим контурный ток I11:

I11(1 3 j2j0,33) 4(3 j0,33) 2.

Откуда

I11 2,28ej150,4 мА.

Токи ветвей:

I1 I11 2,28ej150,4 мА;

I2 I11 I22 2,3ej209,2 мА.

Напряжения на элементах цепи:

UL I1jXL 2,28ej150,4 2ej90 4,56ej240,4 B;

UR1 I1R1 2,28ej150,4 B;

UR2 I2R2 6,9ej209,4 B;

UC I2( jXC) 2,3ej209,2 0,33e-j90 0,76ej119,2 B;

UJ I2 (R2 jXL ) 6,94ej23,63 B.

Баланс мощностей:

~

*

*

-j150,4

6,94e

j23,63

4 21,47 j8,87B A;

SИСТ EI1 UJ J 2 2,28e

~

SИСТ PИСТ jQИСТ 21,47 j8,87B A;

~

I2R

I2R

j(I2X

I2X

) 21,47 j8,87B A;

S

1

2

L

C

ПР

1

2

1

1

~

PПР jQПР 21,47 j8,87B A.

SПР

Баланс мощностей выполняется.

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис.2.4. Масштабы по току и напряжению: MI 1мА/См, MU 1,5B/Cм.

Пример 4. На рис.2.5 приведена схема электрической цепи с двумя источниками синусоидально изменяющихся ЭДС e1 e2 141sin( t)В, X1 5Ом,

X2 20Ом, R 3Ом.

Определить действующие значения токов ветвей методом узловых напряжений. Записать уравнения мгновенных значений токов ветвей.

Решение. Находим узловые напряжения цепи при E1 E2 141 100B: 2

						1				1
		Y E	Y E					100						100				25e j90
						5j					20j									j53,13	0
		1 1	2 2																		36 j48 B.
Uab																			60e
		Y1 Y2 Y						1		1					1			0,417e j36,87
										j20
							j5						3

Применяя закон Ома, находим комплексы действующих значений токов ветвей:

60e

-j53,13

j53,13

Uab

I

20e

A;

R

3

100 36 j48

j53,13

E1

Uab

I1

16e

A;

jx1

j5

100 36 j48

-j53,13

E Uab

I2

4e

A.

jx2

j20

Действующие значения токов ветвей

I 20A, I1 16A, I2 4 A.

Уравнения мгновенных значений токов ветвей i 202sin( t 53,13o)А;

i1 162sin( t 53,13o )А;

i2 42sin( t 53,13o)А.

Пример 5. Параметры цепи (рис.2.6): C 159мкФ, L 31,8мГн, R1 10Ом,

R2 10Ом, Em 100В, f 50Гц. Графоаналитическим методом рассчитаем токи и напряжения на участках цепи. Графоаналитический метод – совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям. Векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для

одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

Решение. Построение начинаем с наиболее удаленной точки цепи, соответствующей отрицательной полярности источника ЭДС:

XC	1		1	20Ом,
			6,28 50 159 10 6
	2р f C
XL 2р f L 6,28 50 31,8 10 3				10Ом.

Принимаем масштабы:

MI 0,2A/Cм, MU 5B/Cм.

Задаемся действующим значением тока I'2 1A. Вектор I'2 (рис.2.7) откладывает-

ся в заданном масштабе в горизонтальном направлении. Вектор напряжения Ucd

.

на участке с активным сопротивлением R2 совпадает по фазе с вектором тока I 2 .

Ucd I2R2 10 B.

Действующие значение тока I3' находим по закону Ома:

I'3 Ucd 10 1 A.

XL 10

Ток на индуктивности отстает от напряжения на угол 900. Вектор тока I3' строим

.

из конца вектора I 2 .

По первому закону Кирхгофа в комплексной форме определяем I1 I2 I3 , что

соответствует сложению векторов на комплексной плоскости. Ток I1' 1,4A (определен в масштабе диаграммы). Определяем и строим на диаграмме напряжения на участках b – с, а – b:

U'bс I1XC 28B; U'ab I1'R1 14B.

Вектор напряжения Ubc отстает от тока I1 на 900, строим этот вектор из точки c

под углом 900 к току I1 в сторону отставания. Напряжение Uab совпадает по фазе с током I1, вектор Uab строим из точки b параллельно вектору тока I1.

Теперь соединим начало координат (точкуd) с точкой а, получим вектор прило-

женной к цепи ЭДС, равный 30 В (в масштабе диаграммы): E'm 302B. Истинные значения токов и напряжений на участках цепи, обусловленных действием указанной в условии задачи ЭДС = 100 В, определим умножением величин на коэффициент пересчета:

K Em 100 2,35. Em 302

Входная ЭДС имеет начальную фазу 00. С учетом этого построим систему координат, вещественная ось которой должна совпадать с вектором da. Относительно этой оси определим начальные фазы всех токов и напряжений.

Комплексы действующих значений искомых токов и напряжений следующие:

I2 I2K 2,35ej90 А,

I3 I3K 2,35А,

I1 I1K 3,29ej45 А, Ucd UcdK 23,5ej90 В,

Ubc UbcK 65,8e j45 В, Uab UabK 32,9ej45 В.

Построенная в такой последовательности диаграмма напряжений является топографической.

Содержание типового расчета №2

При выполнении контрольной работы необходимо:

1.Расшифровать задание. Листок с заданием вклеить в контрольную работу.

2.Рассчитать любым известным методом токи во всех ветвях заданной цепи. Результаты расчетов представить в виде комплексов действующих значений и в виде мгновенных значений токов.

3.Составить баланс мощностей для заданной цепи.

4.Определить показания ваттметра, включенного в заданную цепь.

5.По результатам расчетов построить векторную диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую векторную диаграмму напряжений.

6.Полагая наличие индуктивной связи между любыми двумя индуктивностями, записать для заданной цепи уравнения по законам Кирхгофа.

Пример выполнения типовогорасчета №2

Каждый студент получает задание, вариант которого приведен ниже:

	Шифр студента
	00401 - 30					Источник ЭДС		Источник тока
Номер	Начало -	Сопротивления
ветви	конец	R		XL	XC	модуль	аргумент	модуль	аргумент
1	5 – 3	25		45	0	200	60	0	0
2	3 – 4	0		40	0	0	0	0	0
3	4 – 2	55		0	45	0	0	0	0
4	2 – 6	0		25	45	0	0	0	0
5	6 – 1	60		0	0	0	0	0	0
6	1 – 5	50		0	0	0	0	0	0
7	5 – 4	50		0	55	0	0	0	0
8	4 – 6	0		60	34	0	0	0	0

Токовая обмотка ваттметра включена в ветвь 2, зажим I* - к узлу 3, U* - к узлу 3, U- к узлу 2. За нулевой потенциал принять потенциал узла №3.

1. Расшифровку задания производим следующим образом: изобразим в произвольном порядке шесть точек и пронумеруем их цифрами от 1 до 6. Соединив точки в соответствии с колонкой "начало – конец" задания, получим граф цепи

(рис.2.8).

Перерисуем полученный граф таким образом, чтобы исключить пересечения ветвей (рис.2.9). На данном рисунке цифрами в кружках обозначены точки цепи, определенные заданием, а цифрами без кружков – номера ветвей цепи в соответствии с колонкой "Номер ветви" задания. Точки 4, 5, 6 являются узлами цепи.

В каждую ветвь последовательно включаются активные сопротивления, индуктивности, емкости и источники ЭДС в соответствии с исходными данными. Каждому элементу цепи присваивается индекс в соответствии с номером ветви, в которой он находится. Направление включения источника ЭДС определяется по колонке "начало – конец" задания.

Схема электрической цепи, полученная для рассматриваемого варианта задания, изображена на рис.2.10.

Запишем параметры элементов цепи для приведенной схемы :

R1 25Ом, XL1 45Ом, XL2 40Ом, R3 55Ом, XC3 45Ом, XL4 25Ом, XC4 45Ом, R5 60Ом, R6 50Ом, R7 50Ом, XC7 55Ом, XL8 60Ом,

.

XC8 34Ом, E1 200ej600 В.

2. Расчет цепи с одним источником ЭДС целесообразно проводить методом преобразования. Обозначим направления токов в ветвях заданной цепи (см.рис.2.10). Запишем комплексные сопротивления каждой из ветвей:

Z1 R1 jXL1 25 j45Ом; Z2 jXL2 j40Ом; Z3 R3 jXC3 55 j45Ом;

Z4 jXL4 jXC4 j25 j45Ом; Z5 R5 60Ом; Z6 R6 50Ом; Z7 R7 jXC7 50 j55Ом; Z8 jXL8 jXC8 j60 j34Ом.

Преобразуем заданную цепь. Сопротивление Z9 между узлами 4 и 6 цепи определится как сопротивление двух параллельных ветвей: ветви с сопротивлением Z8 и ветви, образованной последовательным соединением Z3 и Z4 :

		(Z3 Z4)Z8							(55 j45 j25 j45)(j60 j34)
Z9											8,179 j31,799Ом.
		Z3 Z4 Z8
									55 j45 j25 j45 j60 j34
Сопротивление Z10						образовано последовательным соединением Z9, Z5 и Z6:
Z10 Z9 Z5						Z6			8,179 j31,799 60 50 118,179 j31,799 Ом.
Сопротивление Z11						определяется как параллельное соединение сопротивлений
Z10 и Z7:
Z			Z10Z7				(118,179 j31,799)(50 j55)			48,636 j22,485 Ом.
11			Z	Z	7			118,179 j31,799 50 j55
	10

Эквивалентное сопротивление Z0 пассивной части цепи относительно источника ЭДС находим как последовательное соединение Z1, Z2и Z11:

Z0 Z1 Z2 Z11 25 j45 j40 48,636 j22,485 73,636j62,515 96,594ej40,3360 Ом.

Определим токи во всех ветвях заданной цепи. Так как в цепи имеется только один источник ЭДС, то токи в ветвях направим в сторону уменьшения потенциалов.

Комплекс тока в первой и второй ветвях определим как отношение ЭДС к эквивалентному сопротивлению:

				E		200ej600		j19,652	0
I1	I	2					2,071e		А.
				Z0		96,594ej40,3360

Комплекс тока в пятой и шестой ветвях определится выражением

					Z7			j19,6520		50 j55
I5	I6	I1					2,071e
			Z	7	Z					50 j55 18,179 j31,799
						10
0,907e j20,2250						А.

Комплекс тока в седьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла

5:

I7 I1 I5 2,071ej19,6520 0,907e j20,2250 1,493ej42,5710 А.

Находим комплекс тока в третьей и четвертой ветвях:

						Z8			j20,2250	j60 j34
I3	I	4	I	5				0,907e
					Z8	Z3
							Z4			j60 j34 55 j45 j25 j45
0,35ej105,1380						А.

Комплекс тока в восьмой ветви определим по первому закону Кирхгофа для узла

6:

I8 I5 I3 0,907e j20,2250 0,35ej105,1380 1,145e j34,6070 А.

По найденным комплексам действующих значений токов запишем их мгновенные значения:

i1 i2 2 2,071sin ( t 19,6520) А; i3 i4 2 0,035sin ( t 105,1380) А; i5 i6 2 0,907sin ( t 20,2250)А;

i7 2 1,493sin ( t 42,5710) А; i8 2 1,145sin ( t 34,6070) А.

3. Определим комплексную мощность, отдаваемую источником ЭДС:

~S E1 *I1 200ej600 2,071e j19,6520 315,724 j268,05В.

Таким образом, активная мощность, отдаваемая источником ЭДС:

PE 315,724 Вт,

а реактивная мощность

QE 268,05 вар.

Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях цепи:

Pпотр I12R1 I32R3 I52(R5 R6) I72R7 2,0712 25 0,352 55

0,9072 (60 50) 1,4932 50 315,682 Вт.

Реактивная мощность нагрузки определится выражением

Qnp I12(XL1 XL2 ) I32( XC XL4 XC4 ) I72( XC7 )

I82(XL8 XC8 ) 2,0712(45 40) 0,352( 45 25 45)

1,4932( 55) 1,1452(60 34) 268,006вар.

Таким образом, активные и реактивные мощности и цепи с высокой степенью точности оказываются равными между собой.

4. Для нахождения показания ваттметра, включенного в цепь в соответствии с вариантом задания, необходимо определить напряжение на зажимах U ваттметра. При этом первый индекс у напряжения соответствует узлу, к которому подключен зажим U*, а второй индекс - узлу, к которому подключен зажим U.

В рассматриваемом примере

U32 I1 jXL2 I3(R3 jXC3 ) 2,071ej19,6520 j40 0,35ej105,1380 (55 j45)

102,202ej99,9810В.

Необходимо также знать величину тока, протекающего через токовую обмотку ваттметра. При этом за положительное направление тока принимается ток, втекающий в зажим I* ваттметра. В нашем примере это ток I1. Тогда показание

ваттметра определится выражением Pw U32 I1 cos , где U32 I1 - разность фаз между напряжением на зажимах ваттметра и протекающим через прибор током:

Pw 102,202 2,071 cos(99,981 19,652 ) 35,615Вт.

5. Векторы всех найденных токов, отложенные из начала координат комплексной плоскости, представляют собой векторную диаграмму токов. Для удобства построения найденные комплексные значения токов целесообразно представить в алгебраической форме:

I1 1,95 j0,697А;

I3 0,091 j0,337А;I5 0,851 j0,313А;I7 1,099 j1,01А;I8 0,942 j0,65А.

Анализ приведенных значений показывает, что для тока удобно выбрать масштаб

mi 0,2A / дел.

Характерной особенностью топографической векторной диаграммы напряжений является то, что на ней комплексные потенциалы отдельных точек цепи откладываются по отношению к одной точке, потенциал которой принимается равным нулю. При этом порядок расположения векторов напряжения на диаграмме соответствует порядку расположения элементов цепи на схеме и каждой точке электрической цепи соответствует определенная точка на диаграмме.

На схеме электрической цепи (см. рис.2.10) определены заданием точки 1– 6, остальные точки обозначим числами 7–12.

По условию задачи нулевой потенциал имеет точка 3:

3 0.

Определим потенциалы остальных точек:

4 3 I1jXL2 0 (1,95 j0,697)j40 27,877 j77,988 В;

7 4 I7R7 27,877 j77,988 (1,099 j1,01)50 27,07 j128,487 В;

5 7 I7( jXC7) 27,07 j128,487 (1,099 j1,01)( j55)82,619 j68,045 В;

8 5 I1R1 82,619 j68,045 (1,95 j0,697)25 131,362 j85,468 В;

9 8 I1jXL1 131,362 j85,468 (1,95 j0,697)j45 100 j173,205 В.

Мы вычислили потенциалы точек одного из контуров заданной цепи. Между точками 3 и 9 этого контура включен источник ЭДС. Вычислим напряжение

U39 3 9 0 100 j173,205 200ej600 В.

Напряжение U39 оказалось равным заданному напряжению на зажимах источника ЭДС. Это подтверждает правильность выполненных расчетов по определению потенциалов. Найдем потенциалы остальных точек:

10 4 I1R3 27,877 j77,988 ( 0,091 j0,337)55 32,898 j96,548 B;

2 10 I3( jXC3 ) 32,898 j96,548 ( 0,091 j0,337)( j45)

17,713 j100,656 В;

11 2 I3jXL4 17,713 j100,656 ( 0,091 j0,337)j25

26,149 j98,37 В;

6 11 I3( jXC4 ) 26,149 j98,373 ( 0,091 j0,337)( j45)

10,964 j102,81 В;

1 6 I5R5 10,964 j102,481 (0,851 j0,313)60 40,081 j83,689 В;

5 1 I5R6 40,081 j83,698 (0,851 j0313)50 82,619 j68,0 В;.

Сравним значение 5 с полученным выше потенциалом точки 5. Они оказывают-

ся равными:

12 4 I8( jXC8 ) 27,877 j77,988 (0,942 j0,65)( j34)

49,944 j45,959 В;

6 12 I8(jXL8 ) 49,944 j45,959 (0,942 j0,65)j60

10,964 j102,481 В.

Потенциал 6 совпадает с полученным ранее значением.

По вычисленным значениям потенциалов выбираем масштаб по напряжению mu на комплексной плоскости таким образом, чтобы векторы токов и напряжений были соизмеримы. Принимаем mu 20В/ дел. Диаграмма, построенная по полученным численным значениям токов и напряжений, приведена на рис. 2.11.

6. Полагаем, что существует индуктивная связь между индуктивностями L4 и L8 . Наличие индуктивной связи обозначим на рис.2.10 двухсторонней стрелкой, возле которой указывается взаимная индуктивность М. Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек обозначены на этом же рисунке точками. Так как токи относительно одноименных зажимов направлены одинаково, то имеет место согласное включение индуктивностей.

Определим число уравнений, необходимое для описания цепи по законам Кирхгофа. Неизвестных токов в цепи – пять, число узлов в цепи – три. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо записать два уравнения. Остальные три уравнения запишем по второму закону Кирхгофа. Для мгновенных значений токов и напряжений уравнения будут иметь вид:

i1 i3 i7 i8;

i5 i3

i8;

R1i1 L1

di1

L2

di1

R7i7

1

i7dt e1;

dt

dt

C7

1

i7dt r3i3

1

i3dt L4

di3

di8

1

i3dt 0;

R5i5 R6i5 R7i7

M

C7

C3

dt

dt

C4

1

i3dt L4

di3

di8

1

i

di8

di3

1

i8dt 0.

R3i3

M

3dt L8

M

C3

dt

dt

C4

dt

dt

C8

Запишем эти же уравнения в комплексной форме :

I1 I3 I7 I8;

I5 I3 I8;

																																1	.
								R I j L I j L												I R					I			j			C7		I		E1;
									1 1						1 1					2 1			7			7								7
															1											1																	1
R	I		R		I		R				I		j				I		R		I		j	C3						I		j L				I		j MI					C4					I		0;
5		5	6			6				7		7		C7				7		3		3									3				4		3			8									3
					1																		1																			1
R	I		j	C3				I		j L				I		j MI j							C4					I		j L I j MI										j	C8				I			0.
3		3							3				4		3					8									3				8 8						3							8

3. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №3

(примеры расчёта переходных процессов в электрических цепях)

Пример 1

Определить ток в индуктивности классическим методом и построить его график, если R1= 6

Ом, R2 R3 8 Ом, L 2 мГн, E 10В. Решение. Закон изменения тока iL(t)ищем в

виде

iL(t) iLпр(t) iLсв(t).

Здесь iLпр– принуждённая составляющая тока; iLсв – свободная составляющая тока.

Данная схема – с нулевыми начальными условиями. Независимое начальное условие

iL(0 ) iL(0 ) 0,

где iL(0 ) - значение тока непосредственно перед коммутацией; iL(0 ) - значение тока сразу после коммутации.

Определим принуждённую (установившуюся) составляющую тока:

iLпр			E				R2					10				8	0,5А.
			R	2R3									8 8
	R1						R	2	R	3		6				8 8
			R2 R3										8 8

Получим характеристическое уравнение. Для этого вцепи после коммутации мысленно разомкнём ветвь с индуктивностью, а источник ЭДС заменим его внутренним сопротивлением, т.е. закоротим его зажимы. Запишем сопротивление цепи в операторной форме относительно точек размыкания и приравняем его к нулю. Можно определять сопротивление в операторной форме относительно зажимов источника:

	pL R3		R1R2	0.
			R1 R2

Характеристическое уравнение

2 10 3p 11,43 0,

откуда

p 5,72 103.

Свободная составляющая имеет вид

iLсв(t) Aept.

Определим постоянную интегрирования А из начальных условий

iL (0 ) iLпр(0 ) iLсв(0 ).

Подставим соответствующие значения в данное уравнение и найдём A 0,5. Запишем решение в окончательном виде

iL(t) 0,5(1 e 5.72 103 t) А.

График тока имеет вид (рис. 3.2)

Пример 2

Определить uC(t) и i(t) классическим методом, если

R1 1Ом, R2 5Ом, C 1мкФ, E 10В. Решение. Решение для uC(t) имеет вид

uC(t) uCпр(t) uCсв(t).

Независимое начальное условие uC(0 )

uC(0 ) uC(0-) E 10В.

Принуждённое значение

uCпр 0.

Характеристическое уравнение и его решение

1 R2 0; pC

R2pC 1 0;

p	1		1	0.2 106 .
			5 1 10 6
	R2C

Свободная составляющая

uCсв(t) Aept.

Запишем исходное уравнение для t 0 и определим постоянную интегрирования

uC(0 ) uCпр(0 ) uCсв(0 );

10 0 A;

A 10.

Решение для напряжения на ёмкости

uC(t) 10e 0.2 106 t В.

Вычислим ток i(t)

i(t) CduC 2e 0.2 106 t А. dt

Графики напряжения и тока приведены на рис. 3.4

Пример 3

Определить ток i1 классическим методом, если R1 2Ом, R2 4Ом, C 1мкФ, e 8sin (106 t 90 ).

Решение. Запишем закон изменения тока i1(t):

i1(t) i1пр(t) i1св(t).

Независимое начальное условие

uC(0 ) uC(0 ) 0.

Находим принуждённый ток i1пр(t)

символическим

методом

I1mпр(t)

E

8еj900

j104,20

m

1,423e

.

1

)

2

4( j10)

R ( j

C

4 j10

R1

2

R j

1

C

2

i

(t) 1,423sin(106 t 104,2 ) А.

1пр

Для определения характеристического уравнения для цепи после коммутации запишем сопротивление в операторном виде относительно зажимов источника ЭДС и приравняем его к нулю:

1

R2 pC

R1 1 0.

R2 pC

Характеристическое уравнение

R1R2Cp R1 R2 0;

8 10 6p 6 0.

Корень характеристического уравнения

p 0,75 106 .

Свободная составляющая

i1св(t) Aept.

Находим постоянную интегрирования, используя начальные условия:

i1(0 ) i1пр(0 ) i1св(0 );

i1(0 ) 1,423 sin104,2 A 1,38 A.

Левая часть этого уравнения i1(0 ) - зависимое начальное условие. Исходя из то-

го, что uC(0 ) 0, ёмкость представляет собой короткозамкнутый участок при t 0 :

i1(0 ) e(0 ) 8sin90 4А, R1 2

откуда

A 4 1,38 2,62.

Окончательно

i1(t) 1,423 sin(106 t 104,2 ) 2,62e 0.75106 t А.

График тока показан на рис. 3.6.

Пример 4

Определить ток i операторным методом (рис. 3.7), если R1 2Ом, R2 3Ом, L 2мГн, E 10В. Решение. Находим независимое начальное условие iL(0 ).

Согласно закону коммутации ,

	iL	(0 ) iL	(0 )	E		10		2А.
				R1 R2		2 3

Составим операторную схему замещения цепи для послекоммутационной цепи (рис. 3.8).

Определим изображение тока I(p):

		E	Li(0 )
					E		Li(0 )
I(p)	p							.
					p(R1 pL)
		R1 pL					R1 pL

Вычислим оригинал тока i(t), используя табличные формулы соответствия между оригиналами и изображениями:

I(p)

E

Li(0 )

E

1

p(R

1

pL)

R

1

pL

L

p(p

R1

)

L

Известно, что

1

e t ,

1

1

1 e t .

p p

p

i(0 )	1			.
	p	R1

L

Используя эти формулы, получим

		E	(1 e	R1	t) i(0 )e		R1	t
	i(t)			L			L 5(1 e 103t) 2e 103t 5 3e 103t А.
		R1
	График тока i(t)		изображён на рис. 3.9

Пример выполнения типовогорасчета № 3

Типовой расчет соответствует разделу программы ”Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчёта переходных процессов”.

Задание для контрольной работы генерируется ЭВМ каждому студенту индивидуально.

Распечатка одного из вариантов задания представлена на рис. 3.10.

В типовом расчете необходимо:

1.Записать шифр задания и вклеить листок с распечаткой задания в контрольную работу.

2.Получить и записать исходные данные контрольной работы по распечатке, начертить схему цепи.

3.Рассчитать классическим методом переходные процессы по току в индуктивности i3(t) и по напряжению на ёмкости uC(t).

4.По результатам расчётов построить графики переходных процессов

i3(t) i3пр(t) i3св(t), uC(t) uCпр(t) uCсв(t).

Рассмотрим выполнение варианта типового расчета, представленного на рис. 3.10, с необходимыми комментариями:

1.Шифр задания 13040616 записан на карточке слева.

2.Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R1, R2, R3 на графической части листка с заданием начертить активные сопротивления, вместо С – ёмкость, вместо L

– индуктивность, вместо Е – источник ЭДС. Ключ К2 должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа К1. Величины сопротивлений заданы в строке “ПАРАМЕТРЫ” листка, величины индуктивностей и ёмкостей – в строке “КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД”: r1=100 Oм, r2=24 Oм, r3=21 Oм,

L=33 мГн, С=0,53 мкФ. Для всех вариантов задания e 100sin104 t B. Схема электрической цепи приведена на рис. 3.11.

3. Расчёт переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. Это частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. В электротехнике указанные составляющие называются принуждённой и свободной. Принуждённая составляющая переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчёта цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения.

Расчёт переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:

-рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий;

-рассчитываются установившийся режим после коммутации;

-составляется характеристическое уравнение цепи и определяются его корни;

-записываются общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принуждённой и свободной составляющих;

-рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;

-найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение. Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рис. 3.11, произведём в предложенном порядке.

Начальные условия – это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, так как они в момент коммутации не могут измениться скачком. Это определяется законами коммутации:

iL(0 ) iL(0 ) ,

uC(0 ) uC(0 ) .

Остальные начальные условия относятся к зависимым.

До коммутации в рассматриваемом варианте цепи отсутствует ёмкость (её зажи-

мы закорочены ключом К1). Следовательно, напряжение на ёмкостидо коммутации будет равно нулю и, согласно закону коммутации, не изменится непосредственно после размыкания ключа: uC(0 ) uC(0 )=0.

Расчёт тока в индуктивности до коммутации проведём по схеме электрической цепи, представленной на рис. 3.12.

Так как в цепи включён источник синусоидального напряжения, расчёт проводим символическим методом.

Реактивное сопротивление индуктивности

XL L 104 33 10 3) 330Ом.

Реактивное сопротивление ёмкости

X			1		1	188,68Ом
	С				104 0,53 10 6
			С

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Z r		r2(r3 jXL)				100	24(21 j330)	123,78ej0,8 Ом.
							24 21 j330
1		r	r	jX	L
	2		3

Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону Ома:

		Em		100		j0,8
I1m					0,808e		А.
		Z		123,78ej0.8

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч:

r2

j0,8

24

j83,03

I3m

I1m

0,808e

0,058e

А.

r

r

jX

24 21 j330

2

3

L

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде

i3(t) 0,058sin(104 t 83,03 ) А.

Полагая в последнем выражении t = 0 – , получим величину тока в индуктивно-

сти непосредственно перед коммутацией:

i3(0 ) 0,058sin( 83,03) 0,057 А.

По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком. Сле-

довательно, i3(0 ) i3(0 ) 0,057А.

Принуждённые составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определим по схеме цепи на рис. 3.11.

Комплексное сопротивление цепи относительно источника

Z r		(r2	jXC)(r3			jXL)		100	(24 j188,68)(21 j330)	469,24e j57,28	Ом.
		r	jX		r	jX
1				C			L		24 j188,68 21 j330
	2				3

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:

		Em		100		j57,28
I1m					0,213e	А.
		Z		469,24e j57.28

Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу плеч:

r2 jXC

j57,28

24 j188,68

I3m

I1m

0,213e

r

r

jX

C

jX

24 21 j188,68 j330

2

3

L

0,273e j97,81 A.

Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

i3пр 0,273sin(104 t 97,81 )А.

Комплексную амплитуду тока в цепи с ёмкостью определим по правилу плеч:

r3 jXL

j57,28

21 j330

I2m

I1m

0,213e

r

r

jX

C

jX

24 21 j188,68 j330

2

3

L

0,475ej71,3 A.

Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:

Ucm I2m( jXC) 0,475ej71,3 ( j188,68) 89,62e j18,7 В.

Мгновенное значение напряжения на ёмкости, т.е. искомая принуждённая составляющая, запишется в виде

ucпр 89,62 sin(104 t 18,7 )В.

Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цепи после коммутации исключают

источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрываютлюбую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивлениеZ(jщ). В выражении Z(jщ) jщ заменяют на p. Выражение Z(p) приравнивают к нулю.

Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рис 3.11 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с ёмкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Z( j ) r	1				r1(r3 j L)
					r r j L
2 j С
					1		3
Полагая в последнем выражении j p, получим
Z(p) r	1			r1(r3		pL)		=0.
				r r
2	pC						pL
			1		3

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение второго порядка

	p2		(r1	r3)r2		r1r3		1		r1 r3
									p		0.
			(r1							LC(r1 r2)
				r2)L		(r1 r2)L		C(r1 r2)

Подставляя численные значения параметров цепи, находим

p2 16439p 55792249 0.

Корни уравнения

p1 4789, p2 11649.

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса. Так как число корней равно двум и они действительные, то

i	3св	(t) A ep1t	A		2	ep2t.
		1
Для случая комплексно-сопряжённых корней				p1,2 j св

iзсв (t) Ae t sin( свt зсв ) или iзсв (t) (В1 cos свt В2 sin свt)e t

Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих:

i	3	(t) 0,273sin(10	4 t 97,81 ) A e 4789t	A	2	e 11649t	А.
			1

В последнем уравнении неизвестными являются A1 и A2, следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его диффе-

ренцированием первого

di3 0,273 104cos(104t 97,81 ) ( 4789)A1e 4789t ( 11649)A2e 11649t . dt

Полагая в вышеприведённых уравнениях t 0 , получим

i3(0 ) 0,273sin( 97,81 ) A1 A2,

di3(0 ) 0,273 104 cos( 97,81 ) ( 4789)A1 ( 11649)A2.dt

Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t 0 послекоммутационной схемы

r1i1(0 ) uC(0 ) r2i2(0 ) e(0 ),
r i		2	(0 ) u			C	(0 ) L			di3(0 )	r i	3	(0 ) 0,
	2									dt	3
					(0 ) i
i (0 ) i				2				3	(0 ).
	1

Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных условий i3(0 ), uC(0 ) и значение e(0 ) 0, получим

di3(0 ) 69,73 А/с. dt

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

0,057 0,270 A1 A2 ;

69,73 371 4789A1 11649A2 .

Постоянные интегрирования будут равны

A1 0,426; A2 0,213.

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде

i3(t) 0,273sin(104 t 97,81 ) 0,426e 4789t 0,213e 11649t А.

Переходной процесс по напряжению на ёмкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для uC(t) как сумму двух составляющих:

uC(t) uCпр(t) uCсв(t).

Принуждённая составляющая переходного процесса определена выше. Свободную составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учётом этого

uC(t) 89,62sin(104 t 18,7 ) A1e 4789t A2e 11649t.

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого

duC 89,62 104cos(104t 18,7 ) ( 4789)A1e 4789t ( 11649)A2e 11649t . dt

Полагая в обоих уравнениях t 0 , получим
u		C	(0 ) 89,62sin( 18,7 ) A				A	2	,
				(0 )	1
du			C		89,62 104cos( 18,7	) ( 4789)A1 ( 11649)A2.
			dt

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим её значение по выражению

duC(0 ) i2(0 ) . dt C

Значение i2(0 ) определим из системы уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t 0 , записанной выше. Тогда

duC	(0 )		0,046	86792,45 В/с.
			-6
dt			0,53 10

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

0 28,73 A1 A2,

.

86792,45 848890 4798A1 11649A2.

Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования

A1 62,31,

A2 91,04.

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости

uC(t) 89,62sin(104 t 18,7 ) 62,31e 4789t 91,04e 11649t В.

При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, практически же оканчиваются за время, равное трём постоянным времени tпп 3ф. За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при t 0 .

Постоянная времени ф определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню характеристического уравнения

r				1			1			0,208 10 3с.
			p				4798
				min

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи

tnn 3 0,208 10 3 0,624 10 3 0,6 10 3с.