Задача 7-8

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=F(X) и определить плотность вероятности g(y).

	φ (x)				a			b
1)		x4			-2			1
					18
					16
					14
					12
					10
Y					8
					6
					4
					2
					0
-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5
				X

2) Выделим интервалы по оси Y в зависимости от количества обратных функций

(−∞; 0)n=0

(0 ;1)n=2

(1 ;4)n=1

(4 ;∞)n=0

3) Выделим интервалы по Y на которых обратной функции нет.

(−∞; 0)n=0

(4 ;∞)n=0

4) Найдём плотность вероятности

	0, x	<a, x>b	0, x <−2, x >1
f (x)={	1	,x [a,b ]	f (x)={31 ,x [−2,1]
	b−a

0,35

0,3

0,25

0,2

Y

0,15

0,1

0,05

0

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Для каждого интервала найдём обратные функции и производные

для

y (0 ; 1)

:

φ1−1 ( y)= y1/ 4

φ2−1 ( y)=− y1 /4

(φ−1 1 ( y))' =

−3

(φ−2 1 ( y))'=

3

y3/ 4 4

y

3/ 4 4

(φ1−1 ( y ))' = (φ2−1 ( y))' =

3

y3 /4 4

для

y (1 ;16)

:

φ1−1 ( y)=− y1 /4

(φ−1 1 ( y))' =

3

y3/ 4 4

Найдём плотность вероятности g(y) для каждого интервала

n

g( y )=f y ( y )=∑ f (φ−1 ( y)) (φ−1 ( y))'

i=1

для

y (0 ; 1)

g( y )=f (φ−1

1 ( y)) (φ1−1 ( y))' +f (φ2−1 ( y )) (φ2−1 ( y ))' =

1

3

+

1

3

=

1

3 y3/ 4 4

3 y3/ 4 4

y3 /4 2

для

y (1 ;16)

g( y )=f (φ−1

1 ( y)) (φ2−1 ( y))' =

1

3

=

1

3 y3 /4 4

4 y3/ 4

Ответ:

для

y (0 ; 1)

1

g( y )= 2 y3 /4

для:

y (1 ;16)

g( y )=

1

4 y3 /4

						ЗАДАЧА 8-4
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри
выделенной жирными прямыми линиями на рис. 1.1 области B. Двухмерная
плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
		c ,(x, y ) B
f (x, y )={			0,иначе
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
0	2	4	4	4	4	1	2
2,5
2
1,5
Y
1
0,5
0
0		0,5	1		1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5
							X
Найдём коэффициент C

C=	1	=	1	=	1
			1/2 2 2+2 2		6
	S A

Найдём ρxy предварительно отыскав все необходимые значения:

ρxy=

K xy

=

M [ x y ]−M [ x ] M [ y ]

σ

σ

√

D[x ] D [ y ]

x

y

√

M [ x y ]= x y f ( x, y )dx dy

Β

2

x

1 dx dy

4

2

1 dy=

1

1

∫∫

x y

∫

∫

y

+2=2

M [ x y ]=

+

xdx

0

0

6

2

0

6

3

3

M [ x]=		2	x dx x						1 dy + 4				xdx 2					1 dy= 4 +2=22
	∫					∫			6		∫				∫			6				9		9
		0					0				2					0
		2				x			1 dy		4				2		y 1 dy =					8
		∫	dx			∫	y				∫			∫
M [ y ]=											+		dx
		0				0			6		2				0			6				9
		2	x												4			2
D[ x ]=∫∫( x−mx )2 1 dx dy +∫∫( x−mx )2 1 dxdy=74
		0	0						6						2			0						6	81
		2	x													4		2
D[ y ]=∫∫( y−my )2 1 dx dy+∫∫( y−my)2 1 dxdy= 26
		0	0						6							2		0						6	81
	M [x y ]−M [ x] M [ y]																7 −		22 8
ρxy=														=			3 9 9						=0.29637
					D[ x ] D[ y ]													74
		√							√												26
																√		81	√		81
Ответ: M [x y									]=2		1		M [x ]=							22				M [ y]=	8	D [x]=	74	D [ y ]=	26
											3										9				9		81		81

ρxy=0.29637