ТР по пределам Ермолаев

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Липецкий государственный технический университет"

Ю.Д.Ермолаев

Типовой расчет

по пределам

Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Липецк

ËÃÒÓ

2010

ÓÄÊ 514 (075) Å741

ГРНТИ 27.21 Рецензенты:

Типовой расчет по пределам [электронный ресурс]:сетевое обновляемое электрон. учеб. пособие/

Ю.Д.Ермолаев.-Электрон.дан.(0.4 Мб). Липецк:ЛГТУ, 2010. 63 с. Режим доступа:http://www.stu.lipetsk.ru/education/chair/kaf-vm/mu/

Систем. требования: Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей), 512 Мб оперативной памяти, Adobe Reader 7.0 (или аналогичный продукт для чтения файлов формата pdf).

Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по пределам. В типовом расчете 15 заданий, в которых отражены основные приемы вычисления пределов.

°c Липецкий государственный

технический университет, 2010 °c Ермолаев Юрий Данилович, 2010

ТР1-3 Пределы

3

Вариант

1

1.1. lim

4x2p

¡ 4x2

+ 5x ¡ 4p

x

x

x

!1

p

5

p

3

+ 3x + 1

.

x

+ 5

x

x!¡1 ³7x ¡ 3

´

4x¡4

1.2.

lim

6x ¡ 2

1.3.

¡

p

¡ p

.

xlim

x2 + 4x + 6

x2 + 2x + 7

!1

ln(1

¡

sin(6x))

¢

1.4. lim

ln(1 ¡ tg(5x)) .

x!0

!

p

ln(1 ¡ 5x) ¡

1 + 2 tg(¡4x)

1.5. lim

x

0

arcsin(2x)

.

1.6.

lim

¡4x3 ¡ 2x2 + 7x ¡ 4

x!¡1

¡

5 ln x

j

.

4

2 j

1.7.

lim

¡4x

+ 3x

¡ 3x

x!0¡0

3x4 + 2x3

¡

4x2 .

2

2

1.8.

lim

(5n ¡ 3) + (6n + 2)

n!+1

(n + 2)3

¡

(n + 3)3 .

p

2

p

2

1.9.

lim

(

3n ¡ 3) (

7n + 4)

¡

1).

n!+1

1 + 3 + 5 + : : : + (2n

1.10.

lim

e¼+6 sin(5x) ¡ e¼

x!¼+0

x

¼ .

e2 ¡ e

1.11. lim

tg(¡4x + 16x ¡ 12)

n!1

sin(x2

¡

3x + 2)

2

´

¡4n¡1

1.12. lim

5n + 3n + 3

5n2 + 2n + 3

n

!1

³ 3

+ 9x

2

1.13.

lim

x

+ 24x + 16

x2 + 8x + 16

x!¡4

³

¡

¡

¢

tg2(9x)

´.

1.14.

lim

ln

sin

2(5x)

x!¼=2

5x+12

.

x!0 ³

4x

´

1.15. lim

sin(4x)

Вариант

2

2.1. lim

4x3 ¡ 4x2 + 6x + 5

x!1 x3 + 2x2 ¡ 5x ¡ 6 .

2.2.

lim

5x ¡ 3

3x¡3

³

3x ¡ 3´

x!+1

2.3.

xlim p

5p

+ 6

¡

5p

+ 5

.

x + 4

x

x

!1

2(tg p

)

p

¢

9x

2.4. lim

sin¡p

(e2x ¡ 1) .

x!0

2.5. lim

ln(1 ¡ 5x) ¡ ln(1 + 3x)

x!0

ln(1 + 2x)

.

2.6.

lim

ln(11x + 4)

¡

5x

¡

1 .

x!+1

4

2

+ 4x

2.7.

lim

¡2x

¡ 2x

2x4

x!0¡0

¡

4x3 + 4x2 .

4

4

¡ (n + 2)

2.8.

lim

(n + 4)

(n ¡ 5)3 + (n ¡ 4)3 .

n!+1

2.9.

(p

+ p

n ¡ 2)2(p

lim

n ¡ 4

25n2 + 8n + 4)

.

n!+1

4 + 6 + 8 + : : : + (2n + 4)

2.10. lim

sin(15x) ¡ sin(7x)

.

x!¼

tg(4x)

2.11. lim

5x2 ¡ 15x + 10

n!1 ln(x2 + 2x

¡

2)

³

2

´

4n+3

2.12. lim

¡4n

+ 2n ¡ 3

n!1

¡3 4n2 ¡2

3n ¡ 1

2.13.

lim

x + 5x + 7x + 3

x!¡1

x2 + 2x + 1

tg2(5x)

´.

2.14.

lim

ln

sin2(

3x)

x!¼=2

³

¡

´

¡3 cos x

¢

2.15. lim

e

4x

¡

+ 5x

.

x!0 ³

4

ТР1-3 Пределы

Вариант

3

Вариант 4

3.1. lim

4x2p

¡ 6x2 ¡ 3x ¡ 5

4.1. lim

3x2p

¡ 6x2 + 3x ¡ 5

x

x

x

!1

x

3

p3

x

4

6x + 1

.

x

!1

x

3

p3

x

4

5x 1

.

2

+ 6

7x

¡

+1

1

¡

³

´

3x¡

³

´

¡

3.2.

lim

5x ¡ 5

4.2.

lim

6x ¡ 4

¡

8x + 5

4x + 4

x!+1

x!+1

3.3. xlim p

p

¡ p

.

4.3.

x + 2

x + 10

x + 4

!1

2

p

3.4. lim

sin

(tg

¡7x)

¢

lim p

p

p

x + 9

4x2 + 4

4x2 + 7

x!0

(e5x ¡ 1) .

x!1

¡esin(3x)

¡

1¡

¢.

3.5.

4.4. lim

4.5. x!0 p1 + sin(4x) ¡ 1.

lim

1 + 2 tg(¡3x) ¡

1 ¡ 2 sin(4x)

.

x 0

x

! p

arctg(2p)

arcsin(2x) ¡ ln(1 ¡ arctg(¡4x))

3.6.

lim

(8x ¡ 5) ln(x + 6)

lim

(

2x + 14) ln(x

4).

1 + sin(

5x)

1

x!+1

¡

x!0

¡

.

3x

4¡

4x

3

+ 3x

2

3

2¡

4x

2x + 7x

5

3.7. lim

5

¡

3

¡ 4x

.

4.6. lim

¡p

¡

3

¡

x!0 4x

+ 4x

¡4x

3

3

x!1

3

2 ln jxj .

3.8.

lim

(n ¡ 1)

¡ (n ¡ 4)

.

4.7. lim

¡4x

+ 2x

¡ 3x

3

3

n!+1

(n

¡

4)

¡

(n

¡

3)

x

!

0

¡

4x4 + 3x2

¡

4x.

4

(n + 6)

4

3.9.

4.8.

lim

¡ (n + 5)

p

p

p

(n ¡ 5)2 + (n ¡ 4)2 .

2

n!+1

n + 7)

25n

2

lim

( n ¡ 4 +

(

+ 3n + 5)

(3n + 4)(4n

¡

5)

4.9.

lim

n!+1

1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1)

n.

. n

+

1

1 + 2 + 3 +

: : :

+

e

13x

¡ e

8x

!

3.10. lim

4.10. lim

sin(11x) + sin(5x)

¡

sin(9x).

arcsin(12x).

x!0 sin(4x)

x 0 arcsin(10x)

¡

2

+ 8x ¡ 32)

!

2

3.11.

lim

arcsin(4x

4.11.

lim

tg(4x

+ 4x ¡ 48)

arctg(x2 + 7x + 12)

n!¡4

n

!¡

4

sin(x2 + 3x

¡

4)

2

´

3n 3

2

3.12. lim

¡5n + 3n ¡ 2

¡

4.12. lim

4n

¡ 3n + 4

¡4n+1

5n2 + 4n

¡

3

4n2

n

!1

n

!1

¡2

3n + 1

³¡3

2

25

³

3

´

x + 9x

+ 15x

¡

3.13.

lim

4.13.

lim

x ¡ x ¡ 5x ¡ 3

x2 + 10x + 25

x!¡5

x

1

x2 + 2x + 1

³

!¡

cos(6x) ctg2(3x)

3.14.

lim

ctg(8x)

ln

tg(3x)

4.14. lim ln

x!¼=4+0

2x+4¢

j

j´.

x!0

³

4x+5

.

3x + 6

x)

¯

´

sin(3¯

3.15. lim

¡

´

.

4.15. lim

¯

¯

3x

x!0 ³¡3x + 3

x!0 ³

´ .

ТР1-3 Пределы

5

Вариант 5

5.1. lim

¡4x3 ¡ 2x2 ¡ 4x + 3

x3 ¡ 4x2 ¡ 2x + 5 .

x!1

5.2.

lim

³

3x + 4

´

3x¡3

5x ¡ 4

5.3.

x!+1

xlim p

2p

+ 8

¡

2p

+ 3

.

x + 5

x

x

!1

e¡3x

1

p

5.4. lim

¡p

¡

¢

x!0 p 1 ¡ cos2(4x).

p

cos(

3x)

5.5.

1

8x

lim

¡

¡

¡

x!0

ln(1 + 2x) .

5.6.

lim

¡5x3 + 4x2 + 2x + 3

x!¡1

7 ln x

.

3x

4

2j j

5.7.

lim

¡ 2x

¡ 5x

4

2 .

x!0¡0 ¡4x

¡43x

3

+ 4x

4

5.8.

lim

(n ¡ 4) ¡ (n ¡ 2)

(n + 4)2 + (n + 5)2 .

n!+1

(p

+ 4)(p

¡ 3)(7n ¡ 4)

5.9.

lim

n

n

1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1) .

n!+1

5.10.

lim

e¼+6 sin(16x) ¡ e¼

x!¼+0

ex

¡

e¼ .

2

5.11. lim

tg(¡5x

¡ 15x + 50)

n!2

2

x

2¡ 5x + 6

2n¡1

5.12. ? lim

2n + 2n + 2

³

2n2

2¡ 3n + 3´

n!13

5.13. lim

x ¡ 2x ¡ 15x + 36

x!3

x2 ¡ 6x + 9

j´.

5.14.

lim

tg2(5x)

ln

sin(

2x)

x!¼=2 ³

¢

3xj

¡

5.15. lim

³

arcsin(3x)

´ .

5x

x!0

	Вариант							6
	5x2 ¡ 4x + 3p								¡ 6
6.1. lim							x
	5x2p		+ 5px3					+ 5 .
x!1		x
x!¡1 ³4x + 5				´	2x¡3
6.2. lim	6x ¡ 4

6.3.

lim px + 3¡p9x2 + 6 ¡ p9x2 + 3¢.

x!1

6.4. lim

sin(tg(2x))

ln(1 + 4x) .

x!0

6.5. lim

esin(2x) ¡ arctg(3x)

x!0

ln(1 + 4x) .

6.6. lim

3x3 + 2x2 ¡ 4x ¡ 3

x!1

5e9jxj

.

6.7. lim

2x3 + 4x2 ¡ 5x

4x2 + 4x.

x!0

4x4

¡

2

2

6.8.

lim

(4n + 3) + (¡5n + 6)

n!+1

(n + 5)3

(n + 4)3 .

p

¡2

p

2

6.9.

lim

(

14n ¡ 4) (

8n + 3)

1 + 3 + 5 + : : : + (2n ¡ 1).

n!+1

6.10. lim

sin(11x) + sin(7x)

¡

arcsin(12x).

x!0 arcsin(8x)

tg(2x

2

6.11. lim

¡ 18x + 40)

n!4

³

x2

¡

3x

¡

4

´

4n

2

¡4n+3

6.12. lim

¡ 4n + 5

4n2

n

!1

¡

2n + 4

3

2

6.13.

lim

x

+ 11x

+ 35x + 25

x2 + 10x + 25

x!¡5

j´.

6.14.

lim

2

x

ln

sin(6x)

x!¼=2 ³tg

2(4 ) ¢ 2x+1j

6.15. lim

¡3x + 4

´ .

x!0 ³ ¡3x + 8

6	ТР1-3 Пределы

Вариант 7

7.1. lim ¡5x3 ¡ 6x2px + 4xp¡ 2 x!1 x3 + 6x2 + 6x ¡ 2 x .

³6x ¡ 5´2x+2

7.2. lim

x!¡1 4x ¡ 4

Вариант

8

3x2p

¡ 2x2 + 4x + 3p

8.1. lim

x

x

px5 2px3

+ 6x + 6 .

x!1

x!¡1

³

8x ¡ 5

´

¡

6x + 1

¡

4x 3

8.2. lim

7.3.

8.3.

xlim p

p

¡ p

.

xlim p

8p

+ 8

¡

8p

+ 2

.

2x2 + 9

2x2 + 6

x + 10

x + 9

x

x

!1

ln(1 + tg(2x))

¢

!1

sin(tg(7x))

p

¢

7.4. lim

¡

8.4. lim

¡p

x!0

p1 + 5x ¡ 1 .

x!0

ln(1 + 2x) .

tg(3x)

+ 1

7.5. lim

ln(1 ¡ 5x) ¡ tg(¡5x)

8.5. lim

arcsin(¡2x) ¡ e

sin(5x)

.

x!0

x!0

1

¡

cos2(

¡

5x) .

2x3 + 6x2 + 4x 5

x

3

x

2

x

7.6.

lim

¡

8.6. lim

¡5p+ 5

¡ 4

¡ 5

pej6xj ln

x

.

x!+1

x

!1

2e5jxj

.

4

3

j

j2

3

2

7.7. lim

¡3x

¡ 4x

¡ 3x

8.7. lim

¡5x

¡ 3x

¡ 4x

4x5 + 3x3 + 4x .

x!0

¡

3

x!0

3x4 + 4x2

¡

4x .

4

3

¡ (n + 2)

4

7.8.

lim

(n + 4)

8.8.

lim

(n ¡ 3) ¡ (n + 3)

(n + 2)3

(n + 3)3 .

n!+1

¡

n!+1 (n + 2)2 + (n + 1)2 .

(p

+ 4)2(p

+ 2)2

7.9.

8.9.

lim

9n

6n

p

¡

1).

2

n!+1 1 + 3 + 5 + : : : + (2n

2

lim

(pn + 2 + pn ¡ 2) (

9n + 6n ¡ 2)

sin(9x)

¡

sin(17x)

n!+1

4 + 6 + 8 + : : : + (2n + 4)

8.10. lim

.

.

x

¼

tg(4x)

e¼+4 sin(15x) ¡ e¼

!

arctg(

4x2 + 4x + 24)

7.10.

lim

8.11.

x!¼+0

e

x

2¡

¼ .

lim

¡

sin(x2

4x + 3)

e

n

!

3

¡

2

7.11. lim

tg(¡4x

¡ 4x + 24)

4n

2n + 5

¡4n+4

n

3

x2 + 4x + 3

8.12. lim

³3

2

¡

4n + 4´

!¡

4n2

2n

2 2n¡2

n!1

4n

¡2

7.12. lim

³

¡

2

¡

¡

´

8.13. lim

x ¡ x ¡ 17x ¡ 15

¡3

2n ¡ 4

n!1

4n ¡2

x!5

x2

¡

4x

¡

5

x

¡

4x + x + 6

7.13. ? lim

¡ 5x + 6

8.14.

lim

ln

j

sin(7x)

j

x!2

x

2

ctg2(11x) .

x!¼=2

7.14. lim

ln j cos(2x)j

8.15. lim

³

e2x2

¡

1

´

¡

3x+5

.

x ¼

tg2(3x) .

¡5x

7.15.

!

arcsin(5x) 3x

x!0

lim

³

´ .

8x

x!0

ТР1-3 Пределы

7

Вариант

9

9.1. lim

¡3x2p

¡ 3x2 + 3x + 5

x

3

p3

4

.

x

!1

x

x

4x

6

5

+1

¡

¡

´

8x ¡

9.2.

lim

5x ¡ 1

x!+1 ³3x + 1

9.3.

lim

(

5 tg2 x + 7

¡

5 tg2 x + 8

p

ctg xp

.

x!¼=2

sin2(tg p

)

9.4. lim

10x

(e2x ¡ 1) .

x!0

9.5. lim

esin(¡3x) ¡ arctg(5x)

x!0

ln(1 + 4x) .

9.6. lim

2x3 + 5x2 + 4x ¡ 1

x!1

6x3 ln

x

j

.

¡3x

4

+ 4x

3

j

2

9.7. lim

+ 5x

3

x!0 3x

5

+ 3x

2¡ 4x .

2

9.8.

lim

(6n + 3)

+ (¡3n + 3)

(n + 7)3 ¡ (n + 6)3 .

n!+1

9.9.

lim

(n ¡ 4)(4n ¡ 2)

´

¡1

n!+1 ³2x1 + 4 + 7 + : : : + 3n

.

9.10. lim

e

+ sin(6x) ¡ 1

x!0

tg(6x)

¡

11x .

sin(3x

2

9.11.

lim

+ 18x + 24)

x2 + 7x + 12

n!¡4

9.12. lim

5n2 + 3n + 5

¡3n¡4

n

!1 ³

5n2

¡

4n + 3

´

3

2

9.13.

lim

x

+ 13x

+ 55x + 75

x2 + 10x + 25

x!¡5

9.14. lim

ln j cos(4x)j

x!¼

tg2(3x) .

9.15. lim

e5x2 ¡ 1

´

¡3x+10

.

x!0 ³

¡4x

Вариант 10

	¡4x2 ¡ 2x ¡ 4p								+ 4
10.1. lim							x
	4x2p			+ 3px3						4 .
x!1			x					¡
10.2. lim	¡	5x ¡	4	´	3x¡1
		3x ¡	5
x!+1 ³

10.3.

lim px + 10¡px + 10 ¡ px + 6¢.

x!1

10.4. lim sin2(tg(11x)) x!0 (e5x ¡ 1)x .

10.5.

lim

arcsin(¡5x) ¡ ln(1 ¡ arctg(¡5x))

x!0

x3

1 + sin(2x)

¡

1

.

+ 4x

2

10.6. lim

4p

¡ 5x ¡ 5

x!1

5x3 ln

x

j

.

2x

4

3

j

2

10.7. lim

¡ 2x

¡ 5x

¡

3x5 + 3x3 + 2x.

x!0

4

(n + 4)

4

10.8.

lim

¡ (n + 5)

(n ¡ 2)4 ¡ (n ¡ 3)4 .

10.9.

n!+1

(p

) + p

)(2n ¡ 3)

lim

n2 + 14n

n2 + 7n

n!+1

1 + 2 + 3 + : : : + n

.

10.10. lim

j cos(7x) ¡ cos(3x)j

sin2(p2x) .

x!¼

10.11. lim

arctg(¡3x2 + 6x + 24)

n!¡2

ln(x2

¡

1x

¡

5)

n!1

2

¡2

³¡3 4n2

2n ¡ 3

´

¡2n+2

10.12. lim

¡4n ¡ 3n ¡ 3

10.13. lim

x + 6x + 5x ¡ 12

x!¡4

x2 + 3x ¡ 4

.

10.14. lim

0

tg(6x)

¢

ln

j

tg(5x)

x!¼=4¡3x³2

´

.

j´

x!0 ³

e

¡2x

10.15. lim

¡ 1

¡5x+10

11.14. lim

8	ТР1-3 Пределы

		Вариант				11
11.1. lim	¡4x3 +		5x2 ¡ 2x + 4
x!1		x3 + 3x2				2x + 6 .
11.2. lim		3x ¡	5		¡7x+4
		³2x + 4		´
x!+1

Вариант 12

	4x2 + 2x ¡ 5p								¡ 1
12.1. lim							x
	2x2p		+ 5px3					+ 1 .
x!1		x
x!+1 ³5x + 3				´	5x+2
12.2. lim	6x ¡ 4

11.3.

p

¡ p

.

xlim

x2 + 7x + 4

x2 + 10x + 6

!1 ¡

sin(tg(

5x))

¢

11.4. lim

¡

ln(1 + 2x) .

x!0

11.5. lim

esin(¡3x) ¡ cos(3x)

x!0

tg(

5x) .

6x

3

¡

2

+ 7x + 6

11.6.

lim

¡ 3x

x

j

.

x!+1

7 ln

4

j2

11.7.

lim

¡3x

¡ 3x

¡ 3x

x!0+0

3x4 + 2x3

¡

2x2 .

3

3

11.8.

lim

(n ¡ 1)

¡ (n + 5)

(n + 7)3 ¡ (n + 6)3 .

n!+1

(p

+ 2)(p

+ 3)(3n + 4)

11.9.

lim

n

n

1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1) .

n!+1

11.10. lim

cos(¡2x) ¡ cos(4x)

x!0

sin2(p4x) .

11.11. lim

sin(4x2 ¡ 12x + 8)

n!2

x2 + 1x

¡

6

2

4n+4

11.12. lim

¡5n + 2n ¡ 2

³3¡5n22¡ 2n ¡ 2

´

n!1

11.13. lim

x ¡ 2x ¡ 11x + 12

x!1

³x2 ¡ 5x + 4

´

ctg(8x) ¢ ln j tg(5x)j .

x!¼=4+0

³¡3x ¡ 8´2x+7

11.15. lim ¡4x ¡ 4 .

x!0

12.3.

lim ¡px2 + 2x + 3 ¡ px2 + 9x + 5¢.

x!1

12.4. lim sin2(tg(2x)) x!0 (e¡2x ¡ 1)x .

12.5.

lim

arcsin(5x) ¡ ln(1 ¡ arctg(2x))

x!0

1 + sin(4x) ¡ 1

.

12.6. limp

¡2x3 ¡ 4x2 ¡ 2x ¡ 3

x!+1

5 ln x

.

3x

4

¡

2

j j

12.7.

lim

¡ 3x

+ 3x

x!0+0

2x4

+ 2x3 + 2x2 .

¡

4

4

12.8.

lim

(n ¡ 2) ¡ (n ¡ 5)

(n + 1)3 + (n + 2)3 .

n!+1

12.9.

lim

(13 ¡ n)2 + (1 ¡ n)2

¡1.

n

+

1

³

+ 4 + 6 + : : : + 2n

´

!

2¼+6 sin(4x)

¡ e

¼

12.10.

lim

e

ex

e¼ .

x!¼+0

2

e¡

4x +24x¡20

12.11. lim

¡

¡ 1

n!1 tg(x2 ¡2

3x + 2)

´

n!1

³3

¡5n22¡ 2n ¡ 1

¡4n+1

12.12. lim

¡5n + 4n ¡ 3

12.13. lim

x ¡ 3x ¡ 4x + 12

x!2

x2

5x + 6

sin(¡

5x)

¢

12.14.

lim

¡

2

x)

tg2(9x)

´.

x!¼=2 ln ³

sin

(3 4x+2

.

x!0 ³

¡5x

´

12.15. lim

¡

¡

ТР1-3 Пределы	9
Вариант 13	Вариант 14

4x3 + 2x2p

+ 2x + 5

13.1.

x

xlim

3

2

p

.

4x

3x + 5

x

!1 x

´

x!+1

³

5x + 5

4x + 3

¡4x+4

13.2.

lim

¡

13.3.

sinp

p

xlim p

¡

¢

3p

3p

x + 7

x

+ 9 ¡

x

+ 10 .

!1

2(tg p

)

7x

13.4. lim

(e4x ¡ 1) .

13.5.

x!0

lim arcsin(7x) ¡ ln(1 ¡ arctg(3x))

x!0

p

.

¡

¡

2x)

¡

1

1 + sin(

13.6.

lim

(3x

4) ln(x + 7)

(4x + 7) ln(x

¡

4).

x!+1

5x

4

2

13.7.

lim

¡ 2x

¡ 4x

2x4

x!0+0

¡

2x3 + 4x2 .

4

4

13.8.

lim

(n ¡ 2)

¡ (n + 2)

(n ¡ 2)2 + (n ¡ 3)2 .

n!+1

´

.

n!+1

³

1 + 4 + 7 + : : : + 3n

¡1

13.9.

lim

(n + 2)(5n + 5)

j cos(¡2x) ¡ cos(¡3x)j

13.10. lim

x!¼

sin2(p4x)

.

13.11. lim

arctg(2x2 ¡ 2x ¡ 12)

n!¡2

sin(x2 + 3x + 2)

n!1

³

¡3

4n2

¡2

2n ¡ 2

´

13.12. lim

¡4n2

¡ 2n ¡ 4

2n¡2

13.13. lim

x ¡ 2x ¡ 13x ¡ 10

x!¡1

x2 + 3x + 2

13.14. lim

0

tg(6x)

ln

tg(5x) .

¢

j

j´

x!¼=4¡2x³2

´

.

x!0

³

e

3x

¡2x+10

13.15. lim

¡ 1

14.1. lim

¡2x2p

¡ 3x2 + 3x + 4p

x

x

p

5

p

3

.

x

5

+ 2x

2

!1

x

¡

x

¡

´

6x

1

14.2.

lim

ln

2x ¡ 3

¡

4x + 2

x!+1

³

14.3. lim p

p

p

x + 5

x + 5

x + 2

x!1sin(tg(

¡4x))

¡

¢.

14.4. lim

¡

x!0 ln(1 ¡ 4x) .

14.5. lim

ln(1 ¡ 2x) ¡ tg(4x)

x!0

sin(

2x)

.

3

¡

2

14.6. lim

¡5x

¡ 5x

+ 2x ¡ 4

.

x

2e5jxj

!1

5x4 + 3x2 ¡ 3x

14.7.

lim

2x4 + 2x3 + 4x2 .

x!0+0

14.8.

lim

(¡4n + 4)2 + (5n + 4)2

(n + 6)3 ¡ (n + 7)3 .

14.9.

n!+1

p

p

2

p

2

+ 3n + 4)

lim

( n + 5 + n + 3)

( 36n

1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1)

.

n!+1

14.10. lim

cos(7x) ¡ cos(¡4x)

x!0

sin2(p2x) .

14.11. lim

arctg(¡5x2 + 15x + 20)

n!¡1

ln(x2 + 3x + 3)

14.12. lim

¡5n2 + 4n ¡ 4

3n¡3

³3

¡5n22¡ 3n ¡ 3´

n!1

14.13. lim

x ¡ 7x + 15x ¡ 9

x!3

³

x2

¡

6x + 9

´.

14.14. lim ln

¡

4x)

ctg2(4x)

cos(

x!0

5x+8

sin(¯

2x)

¯

14.15. lim

¯

¡

¯

¡2x

x!0 ³

´ .

10 ТР1-3 Пределы

Вариант 15

Вариант

16

2x3 + 5x2p

+ 2x ¡ 6

¡3x2

¡ 2x + 4p

+ 3

15.1. lim

x

16.1. lim

x

x

x3

¡

5x2

+ 4x + 5px .

x

2p

p

3

.

3x

x + 6

6

!1

³

´

6x+4

!1

x

¡

5x + 5

6x + 2

4x+4

x!+1

x!¡1 ³7x ¡ 2

´

6x ¡ 3

15.2. lim

16.2. lim

15.3.

xlim p

p

¡ p

.

x + 5

9x2 + 7

9x2 + 8

!1

sin(tg( 4x))

15.4. lim

¡

¡

¢

ln(1 ¡ 4x) .

15.5.

x!0

lim

1 + 2 tg(¡2x) ¡

1 ¡ 2 sin(¡4x)

x 0

arctg(2x)

! p

p

15.6. lim

¡3x3

¡ 3x2 + 7x ¡ 1

x!1

pe8jxj + 10 .

15.7. lim

¡4x3 ¡ 2x2 ¡ 2x

x!0

4x4

¡

3x2 + 2x .

2

2

15.8.

lim

(5n ¡ 2) + (6n + 4)

n!+1

(n + 4)3

(n + 3)3 .

p

¡ 2

p

2

15.9.

lim

(

12n ¡ 4) (

8n ¡ 3)

1).

n!+1

1 + 3 + 5 + : : : + (2n

¡

15.10. lim

e¼+4 sin(5x) ¡ e¼

x

¼ .

x!¼+0

e 2¡ e

15.11. lim

p¡4x ¡ 20x ¡ 23 ¡ 1

n!¡2

arcsin(x2

¡

1x

¡

6)

2

15.12. lim

5n ¡ 2n + 4

2n+3

´

5n2 + 4n + 2

n

!1 ³ 3

2

15.13. lim

x

¡ 6x

¡ 7x + 60

x!¡3

x2 ¡ x ¡ 12

j´.

15.14. lim

2

x

ln

sin( 4x)

x!¼=2 ³tg

(5 )4¢x+7j

¡

15.15. lim

5x ¡ 4

¡

³4x ¡ 2

´

.

x!0

16.3.

lim px + 5¡p5px + 5 ¡ p5px + 8¢.

x!1

16.4. lim

sin(tg(¡3x))

x!0 ln(1 + 4x) .

16.5. lim

esin(¡3x) ¡ arctg(¡2x)

x!0

ln(1 + 4x)

.

. 16.6. lim

¡4x3 + 5x2 ¡ 5x ¡ 5

x!1

pe2jxj + 7

.

16.7.

lim

¡2x4 + 2x2 + 5x

x!0+0

3x4 + 2x3

¡

4x2 .

¡

2

2

16.8.

lim

(5n ¡ 2) + (4n + 5)

(n ¡ 3)3 ¡ (n ¡ 2)3 .

16.9.

n!+1

(p

) + p

)(7n + 3)

lim

n2 + 14n

n2 ¡ 5n

.

n!+1

1 + 2 + 3 + : : : + n

16.10. lim

e6x + sin(11x) ¡ 1

x!0

tg(5x) ¡2

10x .

16.11. lim

arctg(¡2x

¡ 4x + 16)

n!2

ln(x2

¡

5x + 7)

2

¡3n+4

16.12. lim

2n ¡ 3n + 3

2n2 + 2n + 2

n

!1

´

³ 3

+ x

2

16.13. lim

x

¡ 10x + 8

x!¡4

x2 + 2x

¡

8

´.

16.14. lim ln

2

cos(6x) ctg

(3x)

x!0

³

2

2

¯

2x+1

4¯x

16.15. lim

¡

¯

¡

¯¡

.

x!0 ³ ¡4x ¡ 4 ´