1. Теория напряжений

1.1. Понятие сплошной среды. Классификация сил

Металл состоит из совокупности атомов, упорядоченно расположенных в кристаллической решетке. То есть металл имеет, строго говоря, дискретное (прерывистое) строение. Так описывать поведение металла при деформации очень сложно. Поэтому применяют гипотезу сплошности - металл рассматривается как среда, заполняющая часть пространства сплошным образом.

То есть, используется понятие сплошная среда – это тело, которое деформируется упруго (обратимо) или пластически (необратимо). Данная гипотеза позволяет применять законы и уравнения механики сплошных сред. В механике движение частиц металла описывается непрерывными функциями. Для их определения используется аппарат дифференциального и интегрального исчисления [11].

Плотность металла можно определить с помощью следующего выражения:

,

где - масса элементарного объема .

Силы, действующие на заготовку можно разделить на два вида: 1) объемные; 2) поверхностные.

Объемные силы – это силы, которые распределены по объему тела и действуют в каждой его точке. Величина этих сил пропорциональна массе или объему. Объемные силы – это силы взаимодействия деформируемого тела с полями. Пример объемной силы – вес. Это взаимодействие каждой точки тела с полем тяготения Земли. Другой пример – сила инерции.

В качестве характеристики таких сил используют плотность объемной силы:

,

где - главный вектор объемной силы. Размерность – .

Поверхностные силы – силы, пропорциональные площади или поверхности. Поверхностные силы возникают в результате взаимодействия тел.

В качестве характеристики поверхностной силы применяют напряжение. Для определения вектора напряжения в некоторой материальной точке М деформируемого тела V это тело мысленно разделим сечением, проходящим через точку М, на две части. Одна часть тела мысленно отбрасывается и ее действие на оставшуюся часть заменяется силой (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема, поясняющая понятие «напряжение»

Вектором напряжения , действующим в точке М некоторого сечения, проведенного через деформируемое тело, называют величину

.

Напряжение является плотностью поверхностной силы. Размерность - Па = ; МПа.

Для примера определим напряжение при растяжении круглого стержня (растяжение равномерное без образования шейки). Величина растягивающей силы = 1000 Н. Диаметр стержня = 10 мм. Тогда площадь поперечного

сечения стержня (площадки, на которую действует напряжение ) . Вектор напряжения

Вектор напряжения всегда рассматривается действующим на определенную площадку.

1.2. Тензор напряжений

Если выделить точку тела и рассматривать площадку, проходящую через эту точку, то на ней будет действовать напряжение . Если рассмотреть другую площадку, проходящую через эту же точку, то напряжение на ней - . Напряжение на третьей площадке – и т.д. Совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием.

Для того, чтобы задать напряженное состояние достаточно задать в точке три вектора напряжения на трех площадках. Пусть эти площадки совпадают с тремя координатными плоскостями xoy, xoz и yoz прямоугольной системы координат x, y, z .

Внутри деформируемого тела в окрестности рассматриваемой точки М выделим элементарный параллелепипед. На стороны параллелепипеда (площадки) действуют напряжения , , . Эти напряжения уравновешивают действие отброшенных частей тела. Напряженное состояние в точке М характеризуется тремя векторами , , (рис. 1.2).

Векторы удобнее заменить скалярными величинами – их проекциями на оси координат (i = x, y, z; j = x, y, z). Первый индекс ( i ) показывает направление нормали к площадке, на которую действует напряжение . Второй индекс ( j ) указывает координатную ось, на которую проецируется .

Величины являются проекциями векторов напряжений . При проекции обозначают , , , , , . Они действуют в плоскостях площадок и называются касательными напряжениями. При проекции обозначают , , . Они действуют перпендикулярно площадкам и называются нормальными напряжениями.

Рис. 1.2. Векторы напряжений и компоненты тензора напряжений,

действующие на координатных площадках

Напряженное состояние в точке характеризуется тензором напряжений . Это таблица, в которую записаны три проекции каждого из трех напряжений:

.

Столбцы тензора соответствуют проекциям векторов напряжений на координатные оси. Размерность - Па; МПа. Следует помнить, что 1 . При записи выполняется правило циклической перестановки индексов: x → y → z→ x.

Правило знаков для нормальных напряжений , , - напряжения положительны ( >0), если они способствуют увеличению размеров частицы, то есть являются растягивающими. Отрицательные напряжения ( <0) способствуют уменьшению размеров частицы, то есть являются сжимающими [4].