Lektsii_-_osnovy_zh_b_konstruktsy

21

Третья стадия характеризуется предельным состоянием сечения по прочности. При увеличении нагрузки напряжения в арматуре достигают предела текучести и, следова-

тельно, деформации арматуры происходят при постоянной величине нагрузки. При этом,

трещина развивается в направлении верхней грани сечения, высота сжатой зоны уменьша-

ется, а напряжения в сжатом бетоне растут и достигают временного сопротивления бето-

на при сжатии. Это напряженное состояние называется пластическим шарниром и разру-

шение элемента происходит с пластическими деформациями и не является хрупким. Та-

кое разрушение принято называть исчерпанием несущей способности по первому слу-

чаю. Возможен, однако, и другой сценарий разрушения. Если увеличить площадь попе-

речного сечения растянутой рабочей арматуры, то ее несущая способность может оказать-

ся выше несущей способности сжатой зоны бетона. В этом случае сжатая зона бетона разрушится раньше того, чем напряжения в арматуре достигнут предела текучести, такое разрушение будет хрупким и называется разрушением по второму случаю. Наиболее ра-

циональным способом проектирования железобетонных сечений считается тот при кото-

ром одновременно достигается прочность как по арматуре, так и по сжатому бетону, т.е.

разрушение происходит по пограничной зоне между первым и вторым случаем.

Три стадии напряженного состояния являются основой расчета железобетонных изгибаемых элементов. По первой стадии определяется момент образования трещин, по второй рассчитывается ширина раскрытия трещин, по третьей – выполняется провер-

ка прочности сечений. В расчетах на прочность криволинейная эпюра напряжений бе-

тона сжатой зоны заменяется прямолинейной, что как показывает экспериментальная проверка, вносит погрешность не более 2%.

Прежде чем перейти к расчету нормального сечения вспомним некоторые сведения из курса «Инженерные конструкции», относящиеся к расчетным и нормативным характеристикам материалов. Для бетона, материала обладающего силовой анизотропией,

вводятся два различных нормативных сопротивления Rbn – сопротивление осевому сжа-

тию (призменная прочность) и Rbtn – сопротивление осевому растяжению. Для арматуры в качестве нормативного сопротивления Rsn принимаются наименьшие контролируемые значения предела текучести, физического или условного, за исключением обыкновенной арматурной проволоки класса В240. Для этой арматуры в качестве нормативного сопро-

тивления принимается величина равная 75% временного сопротивления разрыву. Расчет-

ные сопротивления материалов для предельных состояний получаются делением норма-

тивных сопротивлений на коэффициенты надежности по материалу γm. Для бетона это будут коэффициенты надежности при сжатии γbc и при растяжении γbt. Для стали коэф-

фициент надежности по материалу обозначается символом γs.

22

Расчетные сопротивления бетона для предельных состояний первой группы Rb и

Rbt снижаются или повышаются путем умножения на коэффициенты условий работы

γbi, учитывающие особенности бетона, длительность действия нагрузок и их цикличность,

условия и стадию работы конструкции, способы изготовления конструкции, размеры по-

перечного сечения и др. Расчетные сопротивления бетона для предельных состояний второй группы, за исключением случая образования трещины по наклонному сечению,

вводятся в расчет с коэффициентом надежности по материалу γbс = γbt = 1.

Расчетные сопротивления арматуры Rs для предельных состояний первой группы снижаются или повышаются путем умножения на коэффициенты условий работы γsi, ко-

торые учитывают: опасность усталостного разрушения, неравномерность распределения

напряжений в сечении, условия анкеровки, прочность бетона и др. Расчетное сопротивле-

ние арматуры при расчете по второй группе предельных состояний всегда принимается при коэффициенте надежности по материалу γs = 1.

Итак, прочность изгибаемого железобетонного элемента по нормальному сечению

рассчитывается по третьей стадии. Условие прочности сечения записывается следую-

щим образом

M ≤ M сеч ,	( 3.1 )
где: M – момент внешних сил в данном сечении, M сеч	– момент внутренних сил, обу-

словленный сопротивлением бетона и арматуры. Рассмотрим вначале наиболее простой случай расчета - расчет прямоугольного сечения с одиночной растянутой арматурой.

Основные обозначения и схема приложения сил ясны из рисунка 3.3. Целью расчета, при заданных: классе бетона, площади поперечного сечения арматуры и ее классе и геомет-

рических размерах сечения, является проверка прочности сечения согласно условию (3.1).

Т.е. в данном случае решается типичная задача поверочного расчета. Поскольку здесь рассматривается стадия предельного равновесия, напряжения в бетоне и арматуре извест-

ны и равны расчетным сопротивлениям материалов. Запишем уравнение равновесия всех сил на горизонтальную ось

Rs As - Rb b x = 0,	(3.2)
где: As - площадь поперечного сечения растянутой арматуры;	b - ширина сечения;
x - высота сжатой зоны бетона.

Из этого уравнения вычисляется высота сжатой зоны бетона, величина x является един-

ственным неизвестным

x = (Rs As)/( Rb b) .

(3.3)

23

Рис. 3.3. Схема усилий в нормальном сечении изгибаемого элемента с одиночной арматурой в стадии предельгого равновесия.

Остается проверить, выдерживает ли данное сечение действие момента внешних сил. Для этого вычислим момент внутренних сил. Он вычисляется двумя равноценными способа-

ми: относительно центра тяжести растянутой арматуры

Mсеч = Rb b x (h0 – 0,5 x),	(3.4)
или относительно центра тяжести бетона сжатой зоны
Mсеч = Rs As (h0 – 0,5 x),	(3.5)

где: Zb = h0 – 0,5 x - плечо внутренней пары сил; h0 = h – a – рабочая высота сечения;

a – расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до грани сечения.

Теперь необходимо определить к какому случаю разрушения, а следовательно и

расчета, мягкому или хрупкому относится рассматриваемая задача: к первому или ко вто-

рому? Введем понятие “относительная высота сжатой зоны бетона”

ξ = x / h0,	(3.6)
Граничная высота сжатой зоны бетона ξR при которой не происходит его преждевремен-
ного хрупкого разрушения определяется по эмпирической формуле
ξR = ω/ [1 + (Rs / σsc,u)(1 - ω/1,1)],	(3.7)

где: ω – характеристика сжатой зоны, для тяжелого бетона ω= 0,85 – 0,0008 Rb ;

σsc,u = 4000 (при благоприятных условиях твердения), размерность кгс/см2.

Если относительная высота сжатой зоны бетона меньше или равна граничной, разруше-

ние произойдет по первому случаю, в противном случае наоборот. Поскольку всегда же-

лательно конструировать элемент так, чтобы возможное разрушение начиналось с теку-

чести арматуры, то необходимо стремиться к тому, чтобы относительная высота сжатой зоны бетона была бы меньше или равна ее граничному значению, т.е. чтобы выполнялось условие

ξ ≤ ξR.

(3.8)

24

Далее, если в поставленной ранее задаче неизвестна также площадь поперечного сечения арматуры As , ее значение можно получить из решения системы двух уравнений (3.2) и (3.4) или (3.5), в которых момент внутренних сил в сечении принимается равным внешне-

му изгибающему моменту Mсеч = М. Разрешая эту систему относительно x, получим

	x = h0 - [h02 - 2М/( Rb b)]0,5,	(3.9)
а затем, из соотношения (3.2)	можно определить и As. Если сразу искать величину	As,
получим соотношение
As =	Rb b h0[1 –(1 –2M/( Rb b h20))0,5]/ Rs .	(3.10)

Если при этом, нарушается условие (3.8), то необходимо увеличить высоту сечения hили укрепить сжатую зону бетона и повторить расчет. Из опыта проектирования известно, что наиболее экономичные решения достигаются тогда, когда относительная высота сжатой зоны находится: для отдельных балок в пределах ξ = 0,3 – 0,4, а для плит ξ = 0,1 – 0,15.

Далее проверяется условие прочности (3.1). Если оно не выполняется, необходимо либо перейти к более прочному бетону, либо увеличить высоту сечения. Таким образом, мы подошли к решению более сложной задачи – задачи прямого проектирования, когда не-

обходимо подобрать площадь сечения растянутой арматуры и габариты сечения. В этой

задаче четыре неизвестных: высота сечения h, его ширина, b высота сжатой зоны х и

площадь поперечного сечения растянутой арматуры As. Так как, при рассмотрении рав-

новесия сечения имеется всего два уравнения равновесия, двумя из неизвестных вели-

чин необходимо задаться. Обычно, исходя из конструктивных соображений, задаются вы-

сотой сечения h и его шириной b. Остальные величины находятся или методом последо-

вательных приближений или с помощью табличного метода.

Табличный метод подбора сечений был разработан для упрощения расчетов, и со-

стоит в следующем. Преобразуем соотношения (3.4) и (3.5) к виду
	As = M / (η h0 Rs) ,	(3.11)
	М = A0 Rb b h20,	(3.12)
где:	A0 = ξ (1 – 0,5 ξ),	(3.13)
	η = 1 – 0,5 ξ.	(3.14)

По этим соотношениям для A0 и η составлены таблицы в зависимости от величины отно-

сительной высоты сжатой зоны ξ. Подбор сечения с помощью таблиц выполняется сле-

дующим образом. Изконструктивных соображений задаются шириной сечения b и реко-

мендованной величиной ξ, затем по величине ξ по таблице находят величину A0,	и да-
лее из соотношения (3.12) вычисляют необходимую рабочую высоту сечения
h0 = (M / (A0 Rb b))0,5 ,	(3.15)

25

находят полную высоту h = h0 + a и округляют ее до унифицированного размера. Сечение

арматуры As определяется через величину η
As = M / (η Rs h0).	(3.16)

Табличным методом можно также воспользоваться и для проверки прочности сечения, с

известными высотой, шириной и армированием.

Возможна, однако, еще одна проблема, связанная с проектированием железобетон-

ных изгибаемых элементов, таких как плиты, балки и настилы. Из архитектурных, техно-

логических или иных соображений часто задается ограниченная высота элементов. Если при расчете сечения с одиночной арматурой установлено, что ξ > ξR , то не увеличивая высоту сечения можно усилить сжатую зону, либо приняв более прочный бетон, либо постановкой в сжатой зоне арматуры, либо перейдя на тавровое поперечное сечение эле-

мента.

Рассмотрим расчет прямоугольного сечения с двойной арматурой (рис. 3.4).

В данном случае необходимо при заданных параметрах сечения - высоте h, ширине b и

заданном моменте внешних сил М определить площади поперечного сечения растянутой

As и сжатой AIs арматуры. Воспользуемся для решения этой задачи принципом незави-

симости действия сил. Вместо одной балки с двойным армированием будем рассматри-

вать две балки: одна балка имеет одиночную растянутую арматуру и сжатую зону бетона предельной высоты, а другая балка имеет сжатую и растянутую арматуру и не имеет бе-

тона вообще. Это означает, что момент внутренних сил складывается из двух составляю-

щих – момента M1, определяемого сжатой зоной бетона, при отсутствии арматуры в сжа-

той зоне, и дополнительного момента M2 , определяемого сжатой арматурой AIs. В сумме эти моменты должны быть равны моменту внешних сил

M = M1 + M2 ,

(3.17)

или быть меньше его.

Рис.3.4. Схема усилий в нормальном сечении изгибаемого элемента с двойной арматурой

26

Соответственно, моменту M1 соответствует часть растянутой арматуры As1, а моменту

M2 – арматура As2. Схема приложения сил и геометрия рассматриваемого сечения приве-

дены на рис 3.4. Для определения момента M1	определяем по формуле (3.7) граничную
относительную высоту сжатой зоны бетона ξR,	по ней высоту сжатой зоны х и по форму-
ле (3.4) момент M1. Зная момент M1 по соотношению (3.5) определим As1
As1 = M1/ [Rs(h0 – 0,5 x),		(3.18)

Затем из (3.17) вычисляем момент M2 = M – M1, а по нему из суммы моментов относи-

тельно центра тяжести растянутой арматуры получим площадь сечения сжатой арматуры

AIs = M2 / [Rsc(h0 – aI)].	(3.19)
где: Rsc – расчетное сопротивление арматуры сжатию; aI -	расстояние от центра тяжести

сжатой арматуры до ближайшей грани сечения. Далее из условия равновесия сил в проек-

ции на горизонтальную ось получим

As2 = AIs Rsc / Rs,	(3.20)
Осталось определить площадь растянутой арматуры As
As = As1 + As2.	(3.21)

27

Лекция 4

Расчет прочности нормальных сечений тавровой формы и изгибаемых элементов по наклонным сечениям. Поперечное армирование изгибаемых элементов

Перейдем теперь к расчету таврового сечения. Актуальность данного вопроса

связана с тем, что к расчетной схеме сечения в виде тавра с полкой в сжатой зоне сводится расчет целого ряда конструкций. Сюда можно отнести и собственно тавровые балки, дву-

тавровые балки, элементы коробчатого профиля, пустотный настил, плиты типа 2Т, реб-

ристые панели и ребристые плиты монолитных перекрытий. Все перечисленные изделия

из железобетона характерны тем, что в них бетон максимально убирается из растянутой зоны, а полки в растянутой зоне предназначены только для лучшего размещения в них арматуры и придания жесткости конструкции. Многообразие элементов, расчет которых сводится к расчету тавра с полкой в сжатой зоне иллюстрируется рис. 4.1. Из рисунка видно как сечения различных конструкций приводятся к эквивалентному тавровому. Пол-

ки в растянутой зоне исключаются, а толщина всех вертикальных стенок суммируется.

При формировании расчетного сечения необходимо помнить, что широкие сжатые полки тавра неравномерно воспринимают напряжения сжатия. По мере удаления от стенки бал-

ки напряжения в полке уменьшаются, поэтому нормы ограничивают включаемую в расчет ширину полки. Во всех случаях свес полки в каждую сторону должен быть не более 1/6

пролета элемента и не более следующих величин. В отдельных балках: если толщина пол-

ки hIf < 0,05 h , сжатая полка вообще не учитывается, и сечение рассчитывается как пря-

моугольное шириной b; если 0,05 h ≤ hIf < 0,1h, в расчет принимается ширина свесов равная 3hIf ; а если hIf > 0,1h то 6hIf . В других случаях, например, при монолитных ребристых плитах или для сборном ребристом настиле принимаемая в расчет ширина све-

са верхней полки в каждую сторону от ребра не должна быть более: при наличии попе-

речных ребер или при hIf > 0,1h - 1/2 расстояния в свету между ребрами; при отсутст-

вии поперечных ребер или при расстояниях между ними больших, чем расстояния между продольными ребрами и при hIf < 0,1h - 6hIf .

Здесь при рассмотрении тавровых сечений будем считать, что имеет место только

одиночное армирование и требуется провести либо поверочный расчет, либо решать зада-

чу прямого проектирования по определению необходимой площади поперечного сечения растянутой арматуры As.

Проверка несущей способности таврового сечения производится в зависимости

от положения границы сжатой зоны бетона, см. рис. 4.2. Если граница проходит в преде-

лах полки (рис. 4.2, а), т.е. выполняется условие

M ≤ Rb bIf hIf (h0 – 0,5 hIf) ,

(4.1)

28

Рис.4.1. Виды железобетонных конструкций, расчет которых по прочности сводится к расчету тавра с полкой в сжатой зоне:

а– тавровая железобетонная балка; б – двутавровая балка и ее эквивалентное тавровое сечение; в – ребристое монолитное перекрытие; г – ребристая панель и ее расчетный эквивалент; д – панель с круглыми пустотами; е – панель коробчатого сечении

где: bIf - ширина полки тавра, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b = bIf. Если граница сжатой зоны находится ниже полки (рис.4.2, б) и условие

(4.1) не соблюдается, расчет можно выполнить по схеме двух сечений, примененной ра-

нее при расчете прямоугольного сечения с двойной арматурой. Снова воспользуемся принципом независимости действия сил и мысленно представим себе вместо одной балки две (рис. 4.2, в,г). В первой балке сжаты только свесы полки, во второй сжатая зона бетона находится только в стенке балки. Найдем отдельно и в том и в другом случае необходи-

мое армирование, а затем соединим эти две балки вместе. Тем самым мы получим иско-

мый результат.
Проверка прочности выполняется из условия
M ≤ M1 + M2 ,	(4.2)

29

где: M – момент внешних сил; M1 - момент, воспринимаемый стенкой балки;

M2 – момент, воспринимаемый сжатыми свесами полки. Соответственно и площадь поперечного сечения арматуры сложится из двух составляющих As = As1 + As2.

Рис.4.2. К расчету таврового сечения с полкой в сжатой зоне:

а – граница сжатой зоны проходит в полке; б – граница сжатой зоны проходит в стенке балки; в, г - расчетная схема в виде двух балок

Изгибающий момент, воспринимаемый за счет сжатых свесов полки равен
M2 = Rb (bIf - b) hIf (h0 - hIf/2) ,	(4.3)

а площадь сечения арматуры As2 вычисляется из условия равновесия сил в проекции на

горизонтальную ось	As2= (Rb (bIf - b) hIf) / Rs .	(4.4)
Если решается задача поверочного расчета, т.е. величина As		известна, с ее помощью

найдем значение арматуры As1 = As - As2 и далее определим границу сжатого бетона в стенке балки по соотношению (3.3)

x = (Rs As1)/( Rb b) .

(4.5)

Зная границу сжатой зоны бетона в стенке, можно определить вторую составляющую

момента внутренних сил - M1 из формулы (3.5)
M1 = Rs As1 (h0 – 0,5 x).	(4.6)

Остается только проверить выполнение условия (4.2). Если это условие выполняется, за-

дача решена, если нет, тогда нужно решать задачу прямого проектирования, т.е. найти необходимую площадь поперечного сечения растянутой арматуры в прямоугольном сече-

нии шириной b и высотой h при действии изгибающего момента M1, что было рассмот-

рено ранее. При этом для стенки балки должно выполняться условие ξ ≤ ξR . Вообще, во всех случаях при проектировании изгибаемых элементов необходимо стремиться к тому,

чтобы это условие выполнялось. Это гарантирует разрушение элемента по арматуре и как

30

следствие большую безопасность конструкции.

Как отмечалось ранее, разрушение изгибаемого железобетонного элемента может происходить не только по нормальному сечению, но и по наклонному, при этом прочность нормального сечения может быть еще не исчерпана. Обычно рассматриваются приопорные сечения, где одновременно действуют изгибающий момент и поперечная си-

ла. Приопорные и опорные сечения изгибаемых железобетонных элементов армируются продольной и поперечной арматурой (хомутами). Кроме того для восприятия усилий в этих сечениях могут ставиться наклонные стержни – отгибы. Постановка отгибов трудо-

емкий процесс и в большинстве индустриальных железобетонных конструкций применя-

ются сварные каркасы только с поперечной арматурой или хомутами (рис.2.4). Поэтому далее, мы не будем принимать в рассмотрение отгибы и их вклад в прочность элементов,

что не скажется на общности изложения.

В наклонных сечениях наблюдаются те же стадии напряженно-деформированного состояния материала, что и в нормальных сечениях. Разрушение также будет происходить в конце третьей стадии, и оно может развиваться по двум сценариям.

Рис. 4.3.Типы разрушения балки по наклонным сечениям:

а – по косой трещине от действия изгибающего момента; б – от действия поперечной силы; 1 – продольная арматура; 2 – поперечная арматура или хомуты

Первый тип разрушения, это разрушение от действия изгибающего момента

(рис. 4.3,а). В этом случае, напряжения во всей арматуре, пересекающей наклонную тре-

щину, достигают своих предельных значений, трещина раскрывается, высота сжатой зо-

ны бетона сокращается, примыкающие к вершине трещины части элемента поворачива-

ются вокруг образующегося пластического шарнира и, наконец, происходит разрушение сжатой зоны бетона. При втором типе разрушения, наклонная трещина образуется по всей высоте элемента, примыкающие к трещине части элемента смещаются относительно друг друга и происходит хрупкое разрушение (рис.4.3,б). Напряжения в продольной ар-

матуре не достигают предельных значений, а напряжения в поперечной арматуре равны