gdz-po-geometrii-9-klass-Atanasyan-7-9-2001

xA + xB

− 7 + 3

б) xM =

2

=

2

= −2

→ M(−2;2)

y

M

=

yA + yB

=

5 − 1

= 2

2

2

xB + xC

3 + 5

xN =

=

= 4

2

2

→ N(4;1)

yB + yC

− 1 + 3

y

N

=

=

= 1

2

2

=

xA + xC

=

−

7 + 5

= −1

xk

2

2

→ K(−1;4)

yA + yC

5

+ 3

=

=

= 4

yk

2

2

MN:

1

− 2a + 2b + c = 0 2a = 2b + c

a = −

c

10

4a + b + c = 0

b = −4a − c

b = −

6

c

10

−

1

cx −

6

cy + c = 0

x+6y–10=0

10

NK:

10

5

4a + b + c = 0

b = −4a − c

b = −

c

17

3

− a + 4b + c = 0

a = 4b

+ c

a = −

c

17

−

3

cx −

5

cy + c = 0

3x+5y–17=0

17

MK:

17

1

−

2a

+ 2b + c = 0 2b = 2a − c

b = −

c

6

1

− a + 4b + c = 0

a = 4b + c

a =

c

3

1

cx −

1

cy + c

= 0

2x–y+6=0

3

6

в) l1 AB, AB: 3x+5y–4=0, l1: ax+by+c=0. Из усл.

перпендикулярности прямых находим, что

3a+5b=0; 3a=–5b. При a=5, b=–3, l1: 5x–3y+c=0,

т.к. M l1 т.е. 5(–2)–3 2+с=0, с=16, то l1: 5x–3y+16=0

l2 AC, AC: x+6y–23=0, из условия перпендикулярности прямых находим, что l2:

6x–y+c=0, т.к. K12, то 6(–1)–4+с=0, с=10, то l2: 6x–y+10=0

l3 ВС, ВС: 2x–y–7=0, из условия перпендикулярности прямых находим, что l3: х+2у+с=0, т.к. Nl3, то 4+2+с=0 с=–6, то 13:

х+2у–6=0

1004.

Дано: l1: 3x–l,5y+l=0; l2: 2x–y–3=0.

Доказать: l1║12.

Условие параллельности прямых a1x+b1y+c1=0 и a2+b2y+c2=0: a1b2–a2b1=0. Проверим: 3 (–1)–2 (–1,5)=0, –3+3=0, следовательно l1||l2.

1005.

Дано: а) А(–2; 0); В(3; 2 12 ); С(6; 4); б) А(3; 10); В(3; 12); С(3; –6); в)

А(1; 2); В(2; 5); С(–10; –31).

Доказать: A, B, C l а) АВ:

− 2a + c = 0				1
	1		a =		c	1	cx − cy + c = 0	х–2у+2=0.
				2
3a + 2		b + c = 0	b = −c			2
	2

Подставим координаты точки C: 6–2 4+2=0, 0=0, то С АВ, т.е. А, В, С – лежат на одной прямой.

б) АВ:

		1
3a + 10b + c = 0	a = −		c	−	1	xc + c = 0	x–3=0.
		3
3a + 12b + c = 0	b = 0				3

Подставим координаты точки C: 3–3=0, 0=0, то C AB, т.е. А, В, С – лежат на одной прямой.

в) АВ:

a	+ 2b + c = 0	b = c	–3cx+cy+c=0	3x–y–l=0
2a + 5b + c = 0		a = −3c

Подставим координаты точки C: 3(–10)–(–31)–1=0, –30+31–1=0, 0=0, то C AB, т.е. А, В, С – лежат на одной прямой.

1006.

Дано: ∆АВС; АВ=17см, ВС=28см, АН=15 см, Найти: медианы. Решение:

Введем систему координат так, как показано на рисунке. В ∆АВН:

ВН= 172 − 152 = 64 = 8 ,

СН=28–8=20,

откуда В(8; 0) С(–20; 0); А(0; 15).

АК – медиана, К(–6; 0):

АК= 62 + 152 = 36 + 225 = 261

СМ – медиана, М(4; 7,5)

СМ=	242 + 7,52 =	576 +		225 =		2529		=	2529
BE – медиана, E(–10; 7,5)				4		4			2
BE=	182 + 7,52 =	324 +	225		=	1521	=	39	= 19,5
				4		4		2

1007.

Дано: ABCD — трапеция; М АС,

АМ=МС, N BD, BN=ND.

Доказать: MN= 12 (AD–BC).

MN = MA + AD + DN MN = MC + CB + BN

2MN = (MA + MC) + (AD + CB) + (DN + BN)

т.к. N и М — середины сторон BD и AC, то

	MA + MC = 0 ,			DN + BN = 0
т.е.	2MN = AD + CB или 2МN = AD − BC
	MN =	1	(AD − BC) ,
	2
т.к.	AD ↑↑ BC и MN ↑↑ AD ,			то | AD − BC |= AD–BC, откуда

MN= 12 (AD–BC), что и требовалось доказать.

1008.

Дано: ABCD– параллелограмм Доказать, что для всех точек М величина

(AM2+CM2)–(BM2+DM2)=const.

Введем систему координат так, как показано на рисунке. А(0; 0), В(b; с), С(а+b;

с), D(a; 0).

АМ2=х2+у2 СМ2=(а+b–х)2+(с–у)2

ВМ2=(b–х)2+(с–у)2 DM2=(a–x)2+y2 (AM2+CM2)–(BM2+DM2)= =x2+y2+(a+b–x)2+(c–y)2–(b–x)2–(c–y)2–(a–x)2–y2= =x2+(a+b–x)2–(b–x)2–(a–x)2= =x2+a2+b2+x2+2ab–2ax–2bx–b2+2bx–x2–a2+2ax–x2=2ab

не зависит от координат точки М.

1009.

а) Дано: ∆АВС; AA1 — медиана.

Доказать: AA1= 12 2AC2 + 2AB2 − CB2 .

Доп. построение: продлим AA1: AA1=A1A2, получим САВА2 – параллелограмм. По свойству

параллелограмма АА22+СВ2=АС2+АВ2+ВА22+СА22; АА22=2АС2+2АВ2–СВ2

AA2= 2AC2 + 2AB2 − CB2 ,	AA1= 12 2AC2 + 2AB2 − CB2 ,
что и требовалось доказать.
б) Дано: ∆АВС; AN=CM.
Доказать: AB=BC.
CM= 2BC2 + 2AC2 − AB2		; AN=	2AB2 + 2AC2 − BC2	,
2			2

т.к. AN=MC, то

12 2BC2 + 2AC2 − AB2 = 12 2AB2 + 2AC2 − BC2 ;

2BC2+2AC2–AB2=2AB2+2AC2–BC2; 2BC2+BC2=2AB2+AB2; 3BC2=3AB2; BC=AB

что и требовалось доказать.

1010.

Дано: А и В

Найти множество всех точек M:

а) 2АМ2–ВМ2=2АВ2;		б) AM2+2BM2=6AB2
а) Введем систему координат так, как показано на
рисунке, А(0; 0); В(а; 0); М(х; у)
АМ2=x2+у2,	BM2=(a–x)2+y2	AB2=a2,

2(x2+y2)–((a–x)2+y2)=2a2, 2x2+2y2–(a–x)2–y2=2a2 x2+y2+2ax=3a2; (x2+2ax+a2)–a2+y2=3a2; (x+a)2+y2=4a2

окружность с центром (–a; 0) и R=2a.

б) Введем систему координат так, как показано

на рисунке, А(0; 0); В(а; 0); М(х; у)

АМ2=х2+у2, BM2=(a–x)2+y2, АВ2=а2, х2+у2+2(а–х)2+2у2=6а2; 3х2–4ах+3у2=4а2,

3(х–	2	а)2+3у2=	16	а2;	(х–	2	а)2+у2=	16	а2
	3		3			3		9

окружность с центром ( 23 a; 0) и R= 34 a.

ГЛАВА XI. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

1011.

Может иметь значения: 0,3; 13 ; – 13 — т.к. абсцисса

всех точек на единичной полуокружности принимает значения от –1 до 1.

Может иметь значения: 0,6; 17 — т.к. ордината всех точек на единичной полуокружности принимает значения от 0 до 1.

1012.

M1(0; l): 02 + 12 = 0+1 = 1, т.е. M1 Окр

		1		3				1		2				3			2		1					3
M2			;				:				+						=1 ,					+				=1					, 1 = 1, т.е. M2 Окр
		2		2				2						2					4 4
			2			2				2		2					2	2						1					1
M3				;				:						+					=1 ,								+					=1, 1 = 1, т.е. М3 Окр
		2			2					2							2							2 2
		−		3		1						3	2				1 2					3						1
М4					;			:		−				+			=1 ,								+						=1, 1 = 1, т.е. М4 Окр
			2			2					2					2						4 4

			А(1; 0): 12+0=1, 1 = 1, т.е. А Окр (0; 1).
			В(–1; 0): (–1)2+0 =1, 1 = 1, т.е. В Окр (0; 1).
			sin AOM1 = 1			cos AOM1 = 0
			sin AOM2 =	3		cos АОМ2 =	1
				2			2
sin АОМ3		2			cos AOM3	2
	=	2				= 2
sin AOM4	=	1			cos AOM4	= − 3
		2
						2

sin AOB = 0

cos AOB = –1

1013.

Дано: а) cos α = 12 ; б) cos α = – 32 ; в) cos α = – 1

Найти: sinα

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

												sin2α + cos2α=l,												sin2α=1–cos2α.
а) sin2α = 1–				1					, sinα = ±										3 ;				б) sin2α = 1–						4		, sinα = ±						5		;
			4																2									9									3
в) sin2α = 1–1 = 0, sinα = 0.
1014.
Дано: а) sinα =												3 ; б) sinα =									1	; в) sinα = 0.
																					4
Найти: cosα											2
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
												sin2α + cos2α=l,												cos2α=1–sin2α
а) cos2α=1–			3				, cosα =±							1					;
			4											2
б) cos2α=1–			1							, cos2α=						15				, cosα =±				15 ;
			16											16
																								4
в) cos2α=1, cosα =±1.
1015.
Дано: а) cosα = 1; б) cosα =–																					3 ; в) sinα =					2 (0° < α < 90°) г) sinα
																					2				2
=	3	(90° < α < 180°).
5
Найти: tgα
Решение:												sinα				0
а) sinα = 0, tgα =													=						= 0;
														1
												cosα
					3											1							sinα = ± 1 :					3						3 ;
б) sin2α = 1–								, sinα =±										, tgα =								−				= ±
			4											2									cosα	2				2						3
в) Так как 0°<α<90°, то cosα > 0, т.е. cosα =																										2		, tgα =						sinα		=1;
																										2
																																	cosα
г) Так как 90°<α<180°, то cosα < 0, cosα = –																										4	, tgα =					sinα			=–		3	.
																										5											4
																																cosα

1016.

а) sin120° = sin(180°–60°) = sin60°= 23 , cos120°= cos(180°–60°) = –cos60° = – 12 , tg120°= –tg60°=– 3 ;

б) sin135° = sin(180°–45°) = sin45° = 22 ,

cos135° = cos(180°–45°)= –cos45° = – 22 , tg135° =–1;

в) sin150° = sin(180°–30°) = sin30° = 12 , cos150° = cos(180°–30°) = –cos30° = – 23 ,

tgl50°=	sin150°	=	1		−	2		=	3	.
	cos150°		2			3			3

1017.

а) sin A = 32 , sin CAD = 32 , sin CAB= 32 ;

б) cos A = 34 , cos DAC = 34 , cos CAB= 34

в) cos A =– 52 , cos ВАС = – 52 , cos BAD= –

1018.

				3	2
		o	x =
a)	x = 3	cos45			2
		o		3
	y = 3	sin45			2
			y =		2

2

5

o

x =0

б) OA=l,5, α = 90°;

x =1,5 cos90

o

y =1,5 sin90

y =1,5

x

=

5

3

o

в) OA=5, α =150°;

x =5 cos150

2

o

5

y =

5 sin150

=

y

2

o

x =-1

г) OA=l, α =180°

x

=1 cos180

=1

o

y

sin180

y =0

cos30

o

x =

3

д) ОА=2, α =30°

x =2

sin30

o

y

=1

y =2

1019.

a)

2 = OA cos α

OA =

(2 −0)2 +(2 −0)2

= 2 2

2 = OA sin α

=

2

= 2

2 cos α

cos α

2

2

o

= 2

2 sin α

α = 45

2

sin α

=

2

2

0 = OA cosα

б)

OA =

0 +(0 - 3)2

= 3

3 = OA sinα

0

= 3 cos α

cos α =

0

α

=

90

o

3

= 3 sin α

sin α =1

(0 −(−

3))2 +(0 −1)2 =

в)

−

3 = OA cosα

OA =

3 +1 = 2

1 = OA sinα

−

3 = 2 cos α

cos α = −

3

o

2

α =150

= 2 sin α

1

sin α = 1

2

(0 −(−2

г)

2 = OA cosα OA =

2

+(0 −2

2)2 = 4

−2

2))

2

2 = OA sinα

2

2

2 = 4 cos α

cos α = −

−

2

o

2 = 4 sin α

α =135

2

sin α =

2

2

1020.						8 см, АС=4 см, А=60°,
	а) АВ= 6
		S∆ABC=			1	АВ АС sin A=					1	6	8 4	3 =	12 6 cм2;
	2									2				2
	б) ВС=3 см, АВ=18									2 см, В=45°,
S∆ABC =	1		АВ BС sin B =				1			18 2 3			2 = 27 см2;
	2					2							2
в) АС=14 см, ВС=7 см, С=48°,
S∆ABC =		1		АC BС sin C ≈				1		14 7 0,74 = 36,4 см2.
	2
						2

1021.

SABCD = SABD + SBCD, так как ∆ABD = ∆BCD (по двум сторонам и углу между ними), т.е. SABD=SBCD, откуда

						1
					SABCD=2 SABD=2		ab sin α =ab sin α.
						2
1022.					Дано: S∆ABC=60 см2, AC=15 см, А=30°.
					Найти: AB				1
						SABC=					АВ АС sin A
								2
60 =			1		AB 15 sin 30°	120 =			1		AB 15					AB= 16 см.
		2						2
1023.
Дано: ABCD — прямоугольник, AC=10 см, AOB=30°.
					Найти: SABCD						1
					S∆АОВ = S∆COD			=				АО ВО sin AOB
											2
S	=	1			5 5 sin30° = 25		S			∆ВОС			=	1		5 5 sin150° =	25
		2												2			4
∆AOB					4
					SABCD = 4 S∆AOB = 4			25 = 25 см2.
								4

1024.

Дано: ∆АВС; а) A=α, BB1 AC1, BB1=hb, CC1 AB, CC1=hc; б) A=α, B=β, BB1 AC, BB1=h.