gdz-po-geometrii-9-klass-Atanasyan-7-9-2001

б) т.к. BAK=30°, то KB =

1

AB=2,5, откуда DK=5,5.

2

=

2

− BK

2

2

2

2

2

AK

AB

−DK

AD2 − DK2

, AB –BK

=AD

AK

=

AD2 = AB2 – BK2 + DK2

AD2 = 25 – 6,25 + 30,25 = 49

r

r

| a

− b | = 7

1051.

^ r

r

r

r

^ r

=60°

r

r

Дано: (a , b) =

(b , c)

a

=1; | b | = | c | = 2.

r

r

r

Найти: (a + b) c .

∆АВК и ∆AFK — прямоугольные, т.к.

BAK=30°, то ВК=

1

АВ, ВК=

1

, FK= 1

1

2

2

2

AK =

AB2 − KB2

AB2 − KB2 = AF2 − FK2

AK =

AF2 − FK2

1−

1

=AF2−

9

AF2=3

AF =

3 ,

ar

r

=

3

+ b

4

4

r

r

1

r

r

– биссектриса, то ( cr ;

(ar

т.к. AF

=

AE

,

AE

+ b))=30°.

2

r

r

3 2 3 = 3

(ar+ b) cr

=

ar+ b

cr

cos30° =

1052.

2

r

r

r

Дано:

r

= 5;

= 2;

r

= 4 и

a

b

c

a

b

Найти:

r

r

r

r

r

r

;

r

r

r

r

p

g , где

p = a

– b – c

g = a

– b + c .

r

r

r

r

r

r

r

r

p

g

= ( a

– b

– c )( a – b + c )=

= a 2

r r

r r r r

+ b2

r

r r r

r

r

– c2 =25+4–16=13.

– a b

+ a c

– a b

– b c

– a c + b c

1053.

b = p + 4q , где pr q ,

pr

Дано: a = 3p − 2q ,

=1; | q | =1.

Найти a b .

r

r

r

r

r

a

b =(3 p –2 q ) ( p +4 q )=3 p2 +12 p q − 2pq –8 q2 = 3–8=–5.

1056.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать: AC BD

BD = BA + BC AC = BC – BA

BD AC = ( BC + BA )( BC – BA )= BC2 – BA2

т.к. | CB | = | BA | =а, то BD AC =a2–a2=0, и BD AC ч.т.д.

1057.

Дано: ∆АВС; AB=AC=b, A=30°, AD BC, BE AC. Найти: AD, BE, AE, EC, BC.

В ∆АВЕ: E=90°, A=30°, то BE=

1

, AB=

b

2

2

2

2

2

b2

b

3

AE =

AB

− BE

=

b

−

4 =

2

CE=AC–AE=b – b

3

= b(2 -

3)

2

2

В ∆EBC: CB=

BE2 + CE 2

CB= b2 + b2 (2 − 3)2 =

b2

+

7b2 − b2

3 =

b2 (2 −

3) =b

2 − 3

4

4

4

4

В ∆ADC: AD=

AC2 − CD2

AD = b2 − b2 (2 − 3)

=

2b2 + b2 3

= b 2 + 3

= b 2 + 3

4

4

2

2

1058.

а) ВС=4,125 м; B=44°, C=72°.A=180°–72°–44°=64°.

По теореме синусов:

AB	=	4,125			, AB ≈	4,125 0,9511		≈ 4,365 м;
sin 72o			sin 64o			0,8988
SABC=		1		AB BC sin B
		2

SABC≈ 12 4,125 4,365 sin44°≈ 12 4,125 4,365 0,6947≈6,254 м2

б) ВС=4100 м; A=32°, C=120°.B=180°–32°–120°=28°.

По теореме синусов:

			AB	=			BC				,		AB≈			410 0,866			≈ 6701 м;
			sin 120o		sin 32°											0,5299
							SABC			=		1	AB BC sin B,
											2
SABC =	1	4100 6701 sin28°=					1		4100 6701 0,4695 ≈ 6449072 м2
	2
					2
1059.
Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник.
			Доказать, что SABCD =											1		AC BD sinα.
													2
				SABCD =SAOB +SBOC +SCOD +SAOD
		O	SABCD=			1		ВО АОsin(180°–α)+									1	ВО ОСsinα+
		α			2
																2

+12 CO OD sin(180°–α)+ 12 DO AO sinα =

=12 (АОsinα+OCsinα)(BO+DO)= 12 BDsinα(AO+OC)= 12 BD ACsinα

1060.

а) Дано: AB=8 см, A=30°, B=45°. Найти: C, BC, AC.

C=180°–( A+ B)=180°–75°=105°

По теореме синусов:

8						BC			ВС ≈		8	1			≈ 4,14 м;
				=				,				2
	sin 105o					sin 30o					0,9659
8			=			AC		,	AС ≈	8 0,7071						≈ 5,86 м
sin 105o					sin 45o						0,9659

б) Дано: АВ=5 см, B=45°, C=60° Найти: A, BC, AC.

A =180°–( B+ C)=180°–105°=75°

По теореме синусов:

	5		=		BC		,	ВС≈		5 0,9659		≈5,58 м
	sin 60o				sin 75o				0,8660
5			=		AC		,	AC≈	5 0,9659			≈4,08 см
sin 60o				sin 45o					0,8660

в) Дано: АВ=3 см, ВС=3,3 см, A=48°30'

Найти: AC, B, C.

По теореме синусов:

3 0,749

3,3

=

3

,

sin C≈

≈0,6809,

C≈42°55';

sin 48o30'

sin C

3,3

B≈180°–(48°30'+42°55')=88°35'

По теореме синусов:

3,3

AC

3,3 0,9997

BC

=

AC

,

=

,

AC≈

≈4,40 см

sin A

sin B

sin 48o30'

sin 88o35'

0,749

г) Дано: AC=10,4 см, ВС=5,2 см, B=62°48'

Найти: AB, A, C.

По теореме синусов:

5,2 0,8894

10,4

=

5,2

,

sin A≈

≈0,4447,

A≈26°24';

sin 62o48'

sin A

10,4

C≈180°–(62°48'+26°24')=90°48';

AC

=

AB

,

10,4

=

AB

, AB≈

10,4 0,9999

≈11,69 см

sin B

sin C

sin 62o48'

sin 90o

48'

0,8894

1061.

a) Дано: AB=5 cм, AC=7,5 cм, A=135°

Найти: BC, B, C По теореме косинусов:

BC2=AB2+AC2–2 AB AC cos A BC2=25+56,25–75 cosl35°≈81,25+75 0,7071≈134,2825 BС≈11,59 см AC2=AB2+BC2–2 AB BC cos B

56,25=25+134,28–115,9 cos B

cos B≈	103,03	=0,88895	B≈27°15'
115,9
C=180°– A+ B)≈180° (135°+27° 15')=17°45'
б) Дано: AB= 2 2 дм; BС=3 дм; B=45°
Найти: AC, A, C
По теореме косинусов:
AC2=AB2+BC2–2 AB BC cos B=8+9–2 6 2 2				=5 AС= 5 дм
			2
AB2=AC2+BC2–2 AC BC cos C			8=5+9–2	5 3 cos C
cos C= 6 ≈0,4472			C≈63°26'

6 5

A=180°–( B+ C)≈180°–(45°+63°26')=71°34'

в) Дано: АС=0,6 м, ВС=

3

дм, С=150°

Найти: AB, A, B

4

По теореме косинусов:

AB2=AC2+BC2–2 AC BC cos 150°=36+

3

+2 6

43 cos 30°

16

АВ2=

651

=40,6875

AB≈6,4 дм

16

AC2=AB2+BC2–2 AB BC cos B

36=40,6875+

3

–2 6,4 43 cos B

16

4,875=5,5426 cos B

cos B≈0,8796

B≈28°24'

A=180°–( B+ C)≈180°–(28°24'+150°)=l°36'

1062.

Дано: ∆DEF, DE=4,5 дм, EF=9,9 дм, DF=70 см

Найти: D, E, F

По теореме косинусов:

EF2 = DE2+DF2–2 DE DF cos D

992 =452+702–2 45 70 cos D

9801 = 2025 [phone]–cos D

2876=–6300 cos D

cos D≈–0,4565,

D=117°10'

По теореме синусов:

45 0,8897

99

=

45

sin F ≈

≈0,4044

F≈23°51'

sin117o10'

sin F

99

E=180°–( D+ F)≈180°–(117°10'+23°51')=38°59'

1063.

AD =

Дано: ∆АВС, AD — биссектриса, A=a, AB=c, AC=b

Найти AD.

SABC = SABD + SADC

1

ab sinα=

1

c AD sin α +

1

b AD sin

α

2

2

2

2

2

ab sinα = AD (c sin

α

+ b sin

α )

2

2

ab sinα

2ab sin

α

cos

α

2abcos

α

2

2

=

=

2

sin

α

(c + b)

sin

α

(c + b)

c + b

2

2

1064.

Дано: АС=b, ВС=а, ACB=α

Найти: АВ.

По теореме косинусов:

АВ2 =ВС2+АС2 –2 ВС АС cos C

АВ2 =a2+b2–2ab cosα

AB= a2 + b2 − 2ab cos α

1065.

Дано: A(3; 0), B(1; 5), C(2; l)

Доказать: ∆ABC – тупоугольный

AB = (3 -1)2 + (0 − 5)2 = 4 + 25 = 29

BC = (1- 2)2 + (5 − 1)2 = 1+ 16 = 17

AC = (3 - 2)2 + (0 − 1)2 = 1+ 1 = 2

По теореме косинусов: АВ2 =ВС2+АС2–2 ВС АС cos C

29=17+2–2 34 cos C

10=–2

34 cos C

cos C=−

5 34 <0,

т.е. C – тупой ∆АВС – тупоугольный, ч.т.д.

34

1066r.

r

Дано: 3 i

– 4 j

Найти:

ar

r

r

Так как ar

= 3 i

– 4 j , то ar{3; – 4}

ar

=

9 + 16 =

25 =5

1067.

pr

qr

=3, ( pr , qr )=45°, ar=5 pr +2 qr ;

Дано:

=2

2 ;

r

r

r

, ∆АВС – тупоугольный

b = p −3 q

Найти: AC, BD

r

r

r

r

r

r

r

r

AC = a

+ b

=5 p

+2 q + p -3 q = 6 p

− q

AC =

(6p)2 + q2 − 12pqcos45° =

288 + 9 − 12 2

2 3

2

=

225 = 15

r

r

r

r

r

r

r

2

BD = b

– a

= p −3 q

−5−2 q

= −4 p −5 q

BD = 16p2 + 20q2 − 40pqcos45° =

593 ≈ 23,4

1068.

Дано:

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

a

=2; | b | =5; ( a ; b )=120°;

p =x a

+17 b ;

q

=3 a

− b ;

p

q

Найти: x

r r

r

r

r

r

r

rr

rr

r

2

p q =(x a

+17 b )(3 a

– b )=3x a

–x ab

+51 ab

–17 b 2 =

=12x–10x cosl20°+51 10 cosl20°–17 25=12x+5x–255–425=17x–680 т.к. pr qr , то pr qr =0; 17x–680=0, 17х=680, x=40

1069.

Дано: ∆ABC; C=90°, AC=BC; AA1, BB1, – медианы Найти: AOB, BOA1

Пусть BC=CA=2a, из ∆ВСВ1:

		ВВ1 = BC2 + CB2				= 4a2 + a2 = a 5 ,
					1
		откуда АА1 = a			5
	BB1 = CB1 − CB			AA1 = CA1 − CA
	BB1 AA1 = (CB1 − CB) (CA1 − CA) =
= CB1	CA1 − CB1 CA − CB CA1 + CB1				CA1 = −2a 2 − 2a 2 = −4a 2
14243				14243
	=0				=0
	cos AOB =	| BB	AA |		4a2	4
		1	1	= a	5 a 5	= 5 = 0,8
		BB1 AA1

AOB≈36°51'; BOA1 ≈ 180°–36°51' ≈ 143°09'

1070.

Дано: ABCD — трапеция; AD=16 см, ВС=8 см, CD= 4 7 см,

ADC=60°. SABCC1=SCC1D.

Найти: SABCD, CC1.

		sin60°= BH			BH = 4	3	7 = 2			21
		4	7			2
		S= 16 + 8 2		21 = 24	21		S		=12	21
							2
		2
т. C1 лежит на стороне AD, т.к.
SACO= 1	16 4	7 sin 60o = 32		21 = 16	21 > 12 21
2				2
т.е. AC1=16–12=4. Из треугольника CC1D:
CC = 12	2 + (4	7 )2 − 2 12 4		7 cos60o = 4		16 − 3			7
1

1071.

Дано: SАВС = 3 3 A – острый; АВ= 4 3 ,

4

АС=3.

3 Найти: R описанной окружности.

C

S

= 1 АВ АС sin A =

1 3

4

3 sin A = 3 3 ;

2

2

sin A =

1

,

A = 30° .

По теореме косинусов:

2

CB2 = AC2 + AB2 – 2 AC AB cos A

CB = 9 + 48 − 2 3 3 4cos30o =

57 − 36 = 21

CD

= 2R ,

21

= 2R ,

R =

21

sinA

1/ 2

1072.

M=4α по св-ву ромба

FMQ= FMP=α

Q=180°–4α QMP=2α

Из ∆MFQ:

FQ

=

MF

sinFMQ

sinQ

a

=

MF

,

MF =

asin4α

Из ∆MPF:

sinα

sin4α

sinα

MF

FP

=

sin QMP

sin PMF

FP =

asin4α

sinα

1

=

asin4α

= 2acos2α

sin2α

sin2α

sinα

PQ = a(2cos2α+ 1)

S = PQ2sin4α = a2 (4cos2 2α+ 1+ 4cos2α)sin4α

ГЛАВА XII.

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

1078.

а) верно (по определению выпуклого многоугольника); б) неверно (т.к. правильным является только тот многоугольник, углы и стороны которого равны).

1079.

а) неверно (т.к. углы должны быть тоже равны); б) верно (т.к. если все углы треугольника равны, то и стороны равны);

в) верно (т.к. из равенства сторон треугольника вытекает равенство углов); г) неверно (например ромб).

1080.

Четырехугольник называется правильным, если все его стороны и все углы равны, а это только квадрат.

1081.

									α =	n −2	180°
			3 −2							n
	а) n=3,	α =			180°=60°
			3
	б) n=6,	α =		6 − 2			180°=4 30°=120°.
			6
	в) n=5,	α =		5 −2					180°=3 36°=108°
			5
	г) n=10,	α =		10 −2					180°=8 18°=144°
			10
	д) n=18,	α =		18 −2					180°=16 10° = 160°
			18
	1082.

360°.

1083.

a) α=60°,

б) α=90°,

в) α=135°,

г) α=150°,

1084.

1085.

α =		n − 2		180°					n =	360°
										180° − α
		n
n=	360				=3
	180 − 60
n=	360o		= 4
	90o
n=		360o					=	360o	= 8
	180o −135o							45o
n=		360o					=	360o	= 12
	180o −150o							30o
a) АВ=60°,							360°/60°=6,				n=6
б) АВ=30°,							360°/30°=12,				n=12
в) АВ=90°,							360°/90°=4,				n=4
г) АВ=36°,							360°/36°=10,				n=10
д) АВ= 18°,							360°/18°=20,				n=20
е) AB=72°,							360°/72°=5,				n=5.

Дано: ABCDEF — правильный; NO, МО, КО — серединные перпендикуляры к сторонам. Доказать: NO∩OM; ON, OK — совпадают Так как ABCDEF — правильный 6-угольник, то каждый угол равен 120°, следовательно

NOM= MOF= ... = KOQ = 60°.

Так как серединные перпендикуляры к сторонам правильного 6-угольника проходят через центр окружности, вписанной в него, то угол между ними: NOM=60°, NOF=120°, NOK=180°, т.е. они пересекаются или лежат на одной прямой. Ч.т.д.

1086.

Дано: ABCDEF − правильный 6-угольник Доказать: биссектрисы углов пересекаются или совпадают.

Так как A= B= C= D= E= F =120°, то 12 A= 12 B=...= 12 F=60°

4