Матан1

Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)

X₁=0,n₁₁n₁₂n₁₃…n_1k… m₁{0,1,…,9}\{9,n₁₁}

X₂=0,n₂₁n₂₂n₂₃…n_2k… m₂{0,1,…,9}\{9,n₂₂}

……………………… ………………………

X_k=0,n_k1n_k2n_k3…n_kk… m_k{0,1,…,9}\{9,n_kk}

=0,m₁m₂…m_k…  x₁ x₂ x₃ …… x_k

(0;1) Противоречие.

0<<1  R - несчётное множество.

Теорема: Q - Счётное множество.

Док-ть: Q⁺ - счётное, т.к. Q=Q^-{0}Q⁺

Док-во:

Q⁺ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q^- - Тоже, что и Q⁺ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным  Q - сч. мн.

Предел числовой последовательности:

Пусть aR, >0 {x: x-a<}

Последовательность {X_n} имеет конечный предел если сущ. такое число aR, что кокого

бы нибыло >0 почти все члены этой последовательности  - окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

n₀=n₀()N: n>n₀  x_n-a< a=limx_n , при n

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limx_n , b=limx_n , при n, a>b, a-b=>0

n₀=n₀(/3):x_n-a</3 и x_n-b</3

=a-b=(a-x_n)-(b-x_n)

=(a-x_n)-(b-x_n) (a-x_n)+(b-x_n)2/3

2/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: limx_n=a, при n - конечный предел

Док-ть:M>0:x_n<M n

Док-во: limx_n=a, при n:>0 n₀=n₀():a-<x_n<a+, при n>n₀

Пусть =1, тогда при n>n₀(1) будет выполняться a-1<x_n<a+1 или x_n-a<1

Тогда x_n<(x_n-a)+a<x_n-a+a<a+1 n>n₀(1)

P=max{a₁,a₂,…,a_no}

M=max{P,a+1}x_n<M n

3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами:

Теорема 1. Пусть limx_n=x, при n - конечный (1 последовательность)

limy_n=y, при n - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n x_n<y_n

Док-во: =y-x>0

n^=n^(/3): x_n-x</3 n>n^

n^=n^(/3): y_n-y</3 n>n^

n₀=max{n^,n^}, n>n₀

x-/3<x_n<x+/3 

y-/3<y_n<y+/3   x_n<x+/3<y-/3<y_n  n>n₀ x_n<y_n Что и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limx_n, x0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0x>x/2

limx_n>x/2, при n Из Т.1. следует, что n₀:n>n₀ x_n>x/2>0

Теорема 2. Предположим, что limx_n=x и limy_n=y, при n

Если для почти всех n:x_ny_n, то и xy

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1.  x_n>y_n для почти всех n

Противоречие.

Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь limx_n=limy_n=a, при n, и предположим, что x_nz_ny_n n, тогда

1) Сущ. limz_n, при n

2) limz_n=a, при n

Док-во: n^=n^():a-x_na+, n>n^

n^=n^():a-y_na+, n>n^

n₀=max{n^,n^}

n>n₀  a-x_nz_ny_na+  a-z_na+  limz_n=a

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

def {x_n}-б.м. :=limx_n=0, при n, т.е. >0 n₀=n₀() n>n₀  x_n<

def {x_n}-б.б. :=limx_n=, при n, т.е. >0 n₀=n₀() n>n₀  x_n>

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{x_n}-б.м. {y_n}-ограниченная {x_ny_n}-б.м.

Док-во: M>0:y_nM n - значит ограничена.

>0 n₀=n₀(/M):n>n₀  x_n</M 

 n>n₀ x_ny_n=x_ny_n/M*M=  {x_ny_n}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{x_n}-б.б. и {y_n}-отдел от нуля

Док-во: {1/x_n*1/y_n}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству) {x_ny_n}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{x_n} и {y_n}-б.м. {x_n+y_n}-б.м.

Док-во:  n^=n^(/2):n>n^ x_n</2

n^=n^(/2):n>n^ y_n</2

n₀=max{n^,n^}

n>n₀  x_n+y_nx_n+y_n</2+/2=

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.