Матан4

Второй замечательный предел.

Теорема 2. lim(1+x)^1/x=e, x0

e:=(1+1/n)ⁿ, n

1) Док-ем, что lim(1+x)^1/x=e, x0+

0<x<1 [1/x]=n – (целая часть числа 1/x)

n<1/x<n+1

1/(n+1)<x<1/n

(1+1/(n+1))ⁿ<(1+x)^1/x<(1+1/n)ⁿ⁺¹e (x0+  n)

 

(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹/(1+1/(n+1))e 

lim(1+x)^1/x=e, x0+

2) Док-ем, что lim(1+x)^1/x, x0-

y=-x y0+ 1/(1-y)-1=y/(1-y)=t>0

(1+x)^1/x=(1-y)^-1/y=(1/(1-y))^1/y=(1+y/(1-y))^1/y=(1+t)^1/t+1=(1+t)^1/t(1+t)e*1=e, t0+

 lim(1+x)^1/x=e, x0

Предварительное знакомство с понятием непрерывности функции.

def / Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если limf(x)=f(x₀),xx₀, limf(x)=f(limx),xx₀

P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ

R(x)=P_n(x)/P_m(x), sinx, cosx, arcsinx,…, e^x, lnx

Эквивалентные функции. О и о – символика.

def / f(x)~g(x), при усл. xa, если limf(x)/g(x)=1, xa

def / f(x)=O(g(x)) при xa, если c>0: f(x)c*g(x) в близи точки a.

# sinxx x sinx=O(x)

def / f(x)=o(g(x)) при xa, если limf(x)/g(x)=0, xa

(Если f(x) и g(x) бесконечно малые, можно сказать, что f(x) более высокого порядка чем g(x))

Теорема 1. f(x)~g(x) при xa  тогда и только тогда, когда f(x)-g(x)=o(f(x)),o(g(x))

Док-во: f(x)~g(x), xa  f(x)/g(x)1, xa  (f(x)-g(x))/g(x)0, то есть f(x)-g(x)=o(g(x)) , xa

g(x)/f(x)1  f(x)-g(x)=o(f(x))

Теорема 2. f(x)~f₁(x), xa u(x)~u₁(x), xa

Тогда lim(f(x)g(x))/(u(x)v(x))=lim(f₁(x)g(x))/(u₁(x)v(x)), xa, то есть любой сомножитель в числителе или

знаменателе можно заменить эквивалентными функциями, при этом предел останется тот же.

Док-во: lim(f(x)g(x))/(u(x)v(x))=lim((f₁(x)g(x))/(u₁(x)v(x)))(f(x)/f₁(x))(u₁(x)/u(x))=lim(f₁(x)g(x))/(u₁(x)v(x))*

1*1=lim(f₁(x)g(x))/(u₁(x)v(x)), xa

Непрерывные функции.

Понятие непрерывности в точке. Точки разрыва и их классификации.

def / f называется непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности этой

точки и limf(x)=f(x₀), xx₀

limf(x)=f(limx), xx₀

>0 =(,x₀)>0: x-x₀<  f(x)-f(x₀)<

x=x-x₀ y=f(x)-f(x₀)

x0  y0

Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

def / Точки, где f(x) не явл. непрерывной, называются точками разрыва.

(* Другое определение непрерывности :

limf(x)=f(x₀-), xx₀- limf(x)=f(x₀+), xx₀+

1) f(x₀-) – сущ. и конечен

2) f(x₀+) – сущ. и конечен

3) f(x₀-)=f(x₀)=f(x₀+) *)

Точки разрыва 1^ого рода : f(x₀-) – сущ. и конечен

f(x₀+) – сущ. и конечен

а) f(x₀-)f(x₀+) – скачок

б) f(x₀-)=f(x₀+) – устранимый

Точки разрыва 2^ого рода :

1) f(x₀-) – не сущ. или бесконечен

2) f(x₀+) – не сущ. или бесконечен

3) Или то, или другое

Св-ва функций непрерывных в заданной точке.

Теорема 1. Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀

1) Тогда f(x)g(x) непрерывна в точке x₀

2) Тогда f(x)*g(x) непрерывна в точке x₀

3) Тогда если g(x₀)0, то f(x)/g(x) непрерывна в точке x₀

Теорема 2. Пусть z=f(y) непрерывна в точке y₀

y=g(x) непрерывна в точке x₀

y₀=g(x₀)

Тогда h(x)=f(g(x)) непрерывна в точке x₀

h=f _o g (композиция слож. непрерыв. функций)

Теорема 3. Св-во сохранения знака.

Если f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀)0, то в некоторой окрестности этой точки f(x) сохраняет знак f(x₀)

Теоремы о функциях непрерывных на отрезке.

def / f(x) непрерывна на [a;b], если :

1) f непрерывна в каждой внутренней точке

2) f односторонне непрерывна в концах

f(a+)=f(a) f(b-)=f(b)

Теорема 1. (Теорема Коши о прохождении через ноль)

Если f непрерывна на [a;b] и принимает на концах этого отрезка значение разного знака,

то эта функция в одной из точек отрезка [a;b] обращается в ноль.

Теорема 1. Непрерывная функция не пропускает промежуточных значений.

Если a<b s-лежит между f() и f()

Тогда (;), где f()=s

Теорема 2. (Теорема Вейерштрасса о max непрерывной функции)

fC[a;b]

1) f (x) – ограничена на [a;b]

2) f(x) принимает своё наибольшее значение M и своё наименьшее значение m.

Теорема 3. (Теорема Кантора о равномерной непрерывности)

def / f – непр. в точке x, если >0 =(,x): x-x<  f(x)-f(x)<

def / Равномерная непрерывность: f – равн. непр. на E если >0 =(): x,xE x-x<  f(x)-f(x)<.

Теорема : fC[a;b], то она обязательно равномерно непрерывна на этом отрезке.