Матан7

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на [a;b] если F (x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F₁(x) и F₂(x) – первообразные для f(x)

F(x)= F₁(x)- F₂(x)

F (x)= F₁(x)- F₁(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

и той же функции называется её

неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле

или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

x(t): (;)(a;b), xC¹(;), fC(a;b)

1)

x=x(t)

2) Если x(t) сохраняет знак, тогда

t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F (x(t))x(t)=f(x(t))x(t)

2) x(t) – строго монотонная  обратная t=t(x)

t=t(x)

Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=+x² y=2x xy=2x²=2(y-)

U=1/yⁿ dx=dV dU=(-ny/yⁿ⁺¹)dx V=x

I_n=x/yⁿ+2nI_n-2nI_n+1

1) I_n+1=(1/2n)(x/yⁿ+(2n-1)I_n), n0, 0

2) I_n=(1/(2n-1))(2nI_n+1-x/yⁿ), n1/2, 0

Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

– алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :

r = z - модуль  = Arg(z) - аргумент

z = r(cos+isin) = re^i - экспонентная запись

e^-i = cos-isin

+ e^i = cos+isin

-----------------------

cos = (e^i + e^-i)/2

sin = (e^i - e^-i)/2i

Zⁿ = rⁿe^in - Формула Муавра

Z = x+iy= re^i

= x-iy= re^-i - комплексное сопряженное число

Z= x²+y² =z² = r²

z = x+iy = re^i

z ^–1= (x-iy)/(x²+y²)= /z² z ^–1=e ^-i/r

Корни алгебраических многочленов.

Теорема Гаусса (осн. т. алгебры)

Любой алг. Многочлен отличный от константы

с любыми (действ. или компл.)

коэффициентами имеет по крайней мере один

корень в C.

C – явл. алгебр. Замкнутым корнем.

Теорема : Если все коэффициенты многочлена

действительные числа, то его комплексные

корни попарно сопряжены.

Теорема : Простая дробь вида

P(z)/((z-r)^k…(z²+pz+q)^w) =

Может быть представлена в виде суммы

простых дробей. В этой сумме каждой

скобочке отвечает группа простых дробей,

у которых в знаменателе эта же скобка

встречается в степенях от 1 до той в

которой она стоит.

= A₁/(z-r)+A₂/(z-r)²+…+A_k/(z-r)^k+…

+(B₁z+C₁)/(z²+pz+q)+ (B₂z+C₂)/(z²+pz+q)²+…

+ (B_wz+C_w)/(z²+pz+q)^w

Интегрирование функций рационально

зависящих от cos и sin.

R – дробно-рациональная функция.

1) t = tgx/2 – универсальная

2) R(cosx,sinx)=cosxR₁(cos²x,sinx) V=sinx

3) R(cosx,sinx)=sinxR₁(cosx,sin²x) U=cosx

4) R(cosx,sinx)=R₂(cosx/sinx)

или R₂(sinx/cosx) t = tgx

Св-ва интегрируемых функций. Св

-ва определённого интеграла.

1) [;][a;b] fR[a;b](интегрируема)fR[;]

2) a<b<c fR[a;b] и fR[b;c]  fR[a;c]

3) f,gR[a;b]  (f + g)R[a;b]

4) fR  fR (приращение модуля меньше

приращения самой функции)

5) fR  f²R (обратное не верно)

6) f,gR fgR fg = 1/2{(f+g)²-f²-g²}