2.4. Спектры последовательности прямоугольных импульсов.

Рассмотрим периодическую последовательность импульсов прямоугольной формы с периодом Т, длительностью импульсов и максимальным значением. Найдем разложение в ряд такого сигнала, выбрав начало координат как показано на рис. 15. при этом функция симметрична относительно оси ординат, т.е. все коэффициенты синусоидальных составляющих=0, и нужно рассчитать только коэффициенты.

U(t)

U_m

- 0 T t

T

Рис. 15

(27)

постоянная составляющая (28)

Постоянная составляющая – это среднее значение за период, т.е. это площадь импульса , деленная на весь период, т.е., т.е. то же, что получилось и при строгом формальном вычислении (28).

Вспомним, что частота первой гармоники ₁=, где Т – период прямоугольного сигнала. Расстояние между гармониками=₁. Если номер гармоники n окажется таким, что аргумент синуса , откуда. Номер гармоники, при котором амплитуда ее обращается в ноль первый раз, называют«первым нулем» и обозначают его буквой N, подчеркивая особые свойства этой гармоники:

(29)

с другой стороны, скважность S импульсов – это отношение периода Т к длительности импульсов t_u, т.е. . Следовательно «первый нуль» численно равен скважности импульсаN=S. Поскольку синус обращается в ноль при всех значениях аргумента, кратных , то и амплитуды всех гармоник с номерами, кратными номеру «первого нуля», тоже обращаются в ноль. То есть при, гдеk – любое целое число. Так, например, из (22) и (23) следует, что спектр прямоугольных импульсов со скважностью 2 состоит только из нечетных гармоник. Поскольку S=2, то и N=2, т.е. амплитуда второй гармоники первый раз обращается в ноль – это «первый нуль». Но тогда и амплитуды всех остальных гармоник с номерами, кратными 2, т.е. все четные тоже должны обращаться в ноль. При скважности S=3 нулевые амплитуды будут у 3, 6, 9, 12, ….гармоник.

С увеличением скважности «первый нуль» смещается в область гармоник с большими номерами и, следовательно, скорость убывания амплитуд гармоник уменьшается. Простой расчет амплитуды первой гармоники при U_m=100В для скважности S=2, U_m1=63,7B, при S=5, U_m1=37,4B и при S=10, U_m1=19,7B, т.е. с ростом скважности амплитуда первой гармоники резко уменьшается. Если же найти отношение амплитуды, например, 5-й гармоники U_m5 к амплитуде первой гармоники U_m1, то для S=2, U_m5/U_m1=0,2, а для S=10, U_m5/U_m1=0,9, т.е. скорость затухания высших гармоник с ростом скважности уменьшается.

Таким образом, с ростом скважности спектр последовательности прямоугольных импульсов становится более равномерным.

2.5. Спектры при уменьшении длительности импульса и периода сигнала.

Регулировать скважность S=T/t_n можно либо изменением длительности импульса t_n при T=const, либо изменением периода Т при t_n=const. Рассмотрим спектры сигналов при этом.

1. T=const, t_n=var. Частота первой гармоники f₁=1/T=const и f=f₁=const. Первый нуль N=T/t_n и по мере укорочения импульса t_n смещается в область гармоник с большими номерами. При t_n0 N, спектр получается дискретным и f=f₁, бесконечно широкий и с бесконечно малыми амплитудами гармоник.

2. t_n =const, T =var. Будем увеличивать период Т, тогда частота первой гармоники f₁ и расстояние между спектральными линиями f будут уменьшаться. Так как f=f₁=1/Т, то спектральные линии будут смещаться в область более низких частот и «плотность» спектра возрастет. Если Т, то сигнал из периодического становится непериодическим (одиночный импульс). В этом случае f₁=f0, т.е. спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга.

Отсюда следует правило: периодические сигналы порождают дискретные (линейчатые) спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).

При переходе от дискретного спектра к непрерывному ряд Фурье заменяется интегралом Фурье. Наиболее просто эта замена выполняется, если использовать запись ряда Фурье в комплексной форме (16) и (17). Интеграл Фурье для непрерывного спектра записывается

, (30)

где (31)

Функция F(j) называется спектральной функцией или спектральной плотностью, которая зависит от частоты. Формулы (30) и (31) называют в совокупности односторонним преобразованием Фурье, которое является частным случаем более общего преобразования Лапласа и получается заменой в преобразовании Лапласа комплексной переменной р на j.

Спектральную функцию можно представить как огибающую коэффициентов ряда Фурье, т.е. как предел линейчатого спектра периодической функции при Т. Функция F(j) может быть действительной или комплексной. Считая в общем случае , мы получаем две частотные характеристики:-амплитудный спектр, т.е. зависимость амплитуды спектральных составляющих от частоты, и () – фазовый спектр, т.е. закон изменения фазы спектральных составляющих сигнала от частоты. Можно показать, что амплитудный спектр – всегда четная, а фазовый спектр – всегда нечетная функция . Спектральную функцию для многих непериодических сигналов (одиночных импульсов различной формы) наиболее легко и просто находить с помощью таблиц оригиналов и изображений в преобразовании Лапласа, которые приводятся в учебной и справочной литературе. После нахождения изображения по Лапласу F(p) для заданной непериодической функции f(t), спектральная функция находится

(32)

Итак, согласно (30) непериодическая функция f(t) представляется совокупностью бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами во всем диапазоне частот от - до +, т.е. представление f(t) в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование незатухающих гармонических колебаний бесконечного сплошного спектра частот.

3. описание лабораторной установки

Работа выполняется на блоке «Синтезатор сигнала», функциональная схема которого приведена на рис. 16.

Блок содержит генераторов Г1-Г6 шести первых гармоник сигнала. Частота первой гармоники равна 10 кГц. Гармонический сигнал с выхода n-го генератора через фазовращатель Ф_n и аттенюатор А_n поступает на сумматор. Фазовращателями задают начальные фазы _n гармоник, а аттенюаторами – их амплитуды А_n.

«синхр»

Рис. 16

На выходе сумматора в общем случае получается сумма шести гармоник сигнала

.

С выхода сумматора сигнал подается на вход Y осциллографа. Для его внешней синхронизации используется специальный импульсный сигнал, подаваемый с гнезда «Синхр.» на вход Х осциллографа. Для установки и контроля амплитуд гармоник предусмотрена возможность отключения любой из гармоник. Включив только генератор n-ой гармоники, можно установить ее амплитуду аттенюатором А_n и оценить ее значения с помощью осциллографа. Каждый фазовращатель с помощью переключателя позволяет установить требуемое дискретное значение начальной фазы гармоники, либо отключить генератор.