Met_uk_po_resh_zad_i_kontr_zad

Методические указания по решению задач

Практикум по решению задач охватывает основные вопросы механики жидкостей. Типовые задачи имеют решения с подробными пояснениями. Выполнение контрольного задания позволяет оценить степень усвоения студентом теоретического материала .

Раздел «Гидростатика»

Задача 1. Что больше : 3000 мм. рт. ст. или 0,5 МПа? Найти их разницу.

Дано: Решение:

P₁ = 3000 мм.рт.ст. Переводим единицы давления в систему СИ:

P₂ = 0,5 Мпа P₁ = 3000 мм.рт.ст.= 3000 · 133,3 Па = 399900 Па

= 3,999 ·10⁵ Па;

P₂ = 0,5 Мпа = 5 ·10⁵ Па;

P₁ – P₂ = ?

P₁ – P₂ = 3,999 ·10⁵ Па - 5 ·10⁵ Па = 10⁵ Па ( 3,999 – 5 ) = - 1, 001·10⁵ Па =

= - 10⁵ Па.

Ответ: первое давление меньше второго на 10⁵ Па.

Задача 2. Определить давление в точке В под слоем масла высотой Н = 2 м., если давление воздуха над маслом Р₀ = 3 кгс/см² . Плотность масла принять равной 0,75 г/см³.

Дано:

Н = 2 м

Р₀ = 3 кгс/см² = 3 · 9,8 ·10⁴ Па .

r = 0,75 г/см³ = 750 кг/м³ .

Р = ?

Решение:

Согласно закону Паскаля давление в точке В под слоем жидкости определяется как сумма давления над поверхностью жидкости Р₀ и давления столба жидкости высотой Н:

Р = Р₀ + r g H (1-1)

Подставим в формулу (1-1) численные значения указанных величин (в системе СИ) и произведём расчеты.

Р = 3 · 9,8 ·10⁴ Па + 750 кг/м³ · 9,8 м/с² · 2 м = 3,09 · 10⁵ Па.

Ответ: давление под слоем жидкости на глубине Н:

Р= 3,09 · 10⁵ Па = 309 КПа.

Задача 3. Определить силу давления воды на скафандр водолаза площадью 2 ·10⁴ см², находящегося на глубине 80 м от поверхности воды. Плотность воды принять равной 10³ кг/м³

Дано: Решение:

S = 2,0 ·10⁴ см² Определим силу давления воды на скафандр водолаза:

Н = 80 м F = P S = r g H S = 10³ кг/м³ · 9,8 м/с² · 80 м · 2,0 м²

m = 100 кг F = 1,57·10⁶ н ;

F = ? Ответ: F = 1,57 · 10⁶ н =1,57 Мн.

Задача 4. Запаянная с одного конца стеклянная трубка погружена в сосуд с жидкостью открытым концом. Определить давление воздуха в трубке над жидкостью, если уровень жидкости в ней оказался на 0,5 м выше уровня жидкости в сосуде. Жидкость – ртуть, её плотность равна 13,6 г/см³. Атмосферное давление принять равным 760 мм. рт. ст.

Дано: Решение:

Н = 0,5 м,

r = 13,6 г/см³ = 13600 кг/м³, В точках 1 и 2 давления одинаковы,

Р_а = 760 мм.рт.ст. т.к. они находятся на одинаковой

высоте

Р_вак = ?

Но давление Р₂ = Р_атм ; Р₁ = Р + r g H = Р_атм + Р_вак

Приравнивая Р₁ = Р₂ , получаем:

Р_вак = - r g H. При откачивании воздуха из трубки (уменьшение давления Р) высота столба жидкости будет расти.

Так как 0,5 м = 500 мм, то давление столба ртути ( весовое давление) высотой 500 мм можно выразить в мм.рт.ст. : Р_вак = - 500 мм.рт.ст.

Ответ: Р_вак = - 500 мм.рт.ст = - 500/760 (атм) =- 0,66 атм = -6,67 10⁴Па.

(1 мм.рт.ст=133,3 Па)

Задача 5. Площадь вертикальной стены плотины ГЭС составляет 0,02 км² . Найти силу, действующую на плотину, если уровень воды в плотине составляет 120 м. Плотность воды принять равной 1 г/см³.

Дано: Решение:

S = 0,02 км² = 2,0 ·10⁴ м² На плоскую стенку в сосуде с жид-

Н = 120 м костью действуют силы давления,

r =1 г/см³ = 10³ кг/м³ направленные перпендикулярно

к ней.

F = ?

С ростом глубины погружения Н растёт и величина

избыточного давления Р = ρ g Н, а следовательно, и сила давления на стенку. Можно показать, что сила давления на вертикальную стенку равна произведению давления в центре стенки на площадь стенки.

F = P_c S,

где P_c = ρ g Н_с = ρ g Н/2 – давление в её центре.

Подставляем значения и получаем:

F = 10³ кг/м³ · 9,8 м/с² · 60 м · 2,0 ·10⁴ м² = 1,18·10¹⁰ н = 11,8 Гн.

1 Гн (гиганьютон) = 10⁹ н.

Ответ: F = 11,8 Гн .

Задача 6. На стенки цилиндрической трубы диаметром 0,1 м и длиной 1,0 м действует сила 10⁶ н. Определить давление жидкости в трубе. Выразить его в кгс/см².

Дано: Решение:

d = 0,1 м Сила давления жидкости на стенки

L = 1,0 м цилиндрической трубы определяется из

F = 10⁶ н соотношения : F = P ∙ S_пр = Р ∙ d ∙L; S_пр –

площадь проекции трубы на вертикальную

P = ? плоскость. Отсюда находим давление жидкости в трубе:

Р = F / d ∙L = 10⁶ н/ 0,1 м ∙ 1,0 м = 10⁷ Па = 10 МПа.

Ответ: Р = 10 Мпа.

Задача 7. Избыточное давление в сосуде измерено с помощью трубчатого пружинного манометра (класс точности 1,5 , предельное значение шкалы 1 кгс/см².) и ртутного манометра (высота ртутного столба определена с точностью до 2 мм, плотность ртути равна 13600 кг/м³.). Сравнить абсолютную погрешность измерения давления с помощью этих приборов (найти их отношение).

Дано: Решение:

Р_пред = 1 кгс/см² Согласно определению класса точности трубчатого

∆Н = 2 мм =0,002 м манометра

ρ =13600 кг/м³ β = (∆Р₁ / Р_пред ) ∙ 100% = 1,5 (%).

β = 1,5 Отсюда находим абсолютную погрешность

измерения первого манометра:

∆Р₁ = ? ∆Р₂ = ?

∆Р₁ / ∆Р₂ = ?

∆Р₁= Р_пред∙β/100%=1 кгс/см² ∙1,5 %/100%= 0,015 кгс/см²=

= 0,015 · 9,8 ·10⁴ Па = 0,147 · 10⁴ Па = 1,47 · 10³ Па.

У ртутных манометров (и пьезометров) абсолютная погрешность измерения давления находится по формуле:

∆Р₂ = ρ g ∆Н ;

Отсюда получаем: ∆Р₂ = 13600 кг/м³ · 9,8 м/с² · 0,002 м = 267 Па.

∆Р₁ - ∆Р₂ = 1,47 · 10³ Па – 267 Па = 1203 Па.

∆Р₁ / ∆Р₂ = 1470 Па/267 Па = 5,5

Ответ: Погрешность измерения давления ртутным манометром

меньше погрешности измерения давления трубчатым пружинным манометром в 5,5 (раз).

Раздел «Гидродинамика».

Задача 1. У водомера Вентури диаметры сечений d₁ = 0,1 м , d₂ = 0,015 м, а разность пьезометрических напоров составляет Н = Н_п1 - Н_п2 = 1, 0 м. Найти расход жидкости в трубе, пренебрегая потерями напора.

Дано: Решение

d₁ = 0,1 м ,

d₂ = 0,05 м , Водомер Вентури представляет собой

Н= Н_п1 - Н_п2 = 1,0 м цилиндрическую трубу с двумя разными

сечениями. Потери напора в таком устройстве

малы

Q = ? и ими можно пренебречь.

За плоскость сравнения (нулевой уровень) удобно принять ось трубы. В этом случае геометрические напоры в сечениях 1 и 2 равны нулю. Пьезометрические напоры в сечениях 1 и 2 соответственно равны:

Н_п1 = Р₁/ ρg; Н_п2 = Р₂/ ρg , Н_п1 - Н_п2 = Н,

а скоростные напоры: Н_1ск = u_1ср² / 2g ; Н_2ск = u_2ср² / 2g .

Уравнение Бернулли для данного конкретного случая принимает вид:

( Р₁/ ρg ) + (u_1ср² / 2g) = (Р₂/ ρg) + (u_2ср² / 2g) .

Переносим пьезометрический напор во втором сечении в левую часть уравнения, а скоростной напор в первом сечении – в правую:

(Р₁/ ρg) - (Р₂/ ρg) = (u_2ср² / 2g - u_1ср² / 2g);

Н = Н_п1 - Н_п2 = (u_2ср² / 2g) – (u_1ср² / 2g);

Для нахождения расхода достаточно найти значение средней скорости в одном из сечений. Для этого необходимо одно из значений скорости выразить через другое (чтобы в последнем уравнении осталось одно неизвестное вместо двух), используя уравнение неразрывности струи:

u_1ср · S₁ = u_2ср · S₂ ; В дальнейшем индекс ( ср.) опустим для упрощения оформления решения.

Заменим первую скорость :

u₁ = u₂ · (S₂ / S₁) = u₂ · (π d₂²/4)/ (π d₁²/4) = u₂ · (d₂²)/ (d₁²);

Н= Н_п1 - Н_п2 = (u₂² / 2g) – [u₂ · (d₂²)/ (d₁²)]²/ 2g = (u₂² / 2g) ·{1 – [(d₂²)/ (d₁²)]²};

u₂² = 2g · Н / {1 – [(d₂²)/ (d₁²)]²} = 2· 9,8 м/с² ·1,0 м / [ 1 –(0,05/0,1)⁴ ] =

= 19,6 м²/с² / [ 1 – 0,0625 ] = 19,6 м²/с² / [0,9375] = 20, 907 м²/с².

u_2ср = √ 20, 907 м²/с² = 4, 57 м/с. S₂ = π d₂²/4 .

Q = u_2ср · S₂ = 4, 57 м/с · 3,14 · ( 0,05 м)²/ 4 = 0, 00897 м³/с = 8,97 л/с.

Ответ: расход жидкости через данный расходомер Вентури составляет 8,97 л/с.

Примечание: водомер Вентури является простейшим прибором для измерения расхода жидкости. Уравнение для расхода жидкости можно представить в виде:

Q = К· √ (Н_п1 - Н_п2) ; Постоянный коэффициент К находят опытным путём, вносят в паспорт расходомера (или строят градуировочную кривую). Измеряя затем разность пьезометрических напоров, можно легко найти расход жидкости.

Задача 2.

Разность пьезометрическихнапоров Н=H_п1 - H_п2 = 20 см.

Полные потери напора между сечениями 1 и 2 равны 0,4 м.

Найти разность геометрических напоров z₁ - z_2,

считая диаметр трубы d

постоянным

Дано:

H = H_п1 - H_п2 = 20 см

h_1-2 = 0,4 м

z₁ - z₂ =? Решение:

Запишем уравнение Бернулли в общем виде для потока реальной жидкости :

[ z₁ + (Р₁/ ρg) + (α₁· u_1ср² / 2g)] – [ z₂ + (Р₂ /ρg) + (α₂·u_2ср² / 2g)] = h_1-2

Коэффициенты Кориолиса возьмём равными 1, так как о них в условиях задачи нет сведений. При равенстве диаметров сечений 1 и 2 средние скорости движения жидкости и скоростные напоры одинаковы. Их разность равна нулю. С учётом вышесказанного уравнение Бернулли упрощается и принимает следующий вид:

(z₁ - z₂ ) + (Р₁/ ρg - Р₂/ ρg) = h_1-2 ; (z₁ - z₂ ) + (H_п1 - H_п2 ) = h_1-2 ; Отсюда находим: z₁ - z₂ = h_1-2 - (H_п1 - H_п2 ) = 0,4 м - 0,2 м = 0,2 м.

Ответ: разность геометрических напоров H = 0,2 м.

Задача 3. Разность пьезометрических напоров в сечениях 1-1 и 2-2 равна 30 см. Определить коэффициент линейных потерь на участке между сечениями 1 и 2, если длина участка трубы L = 1 м, диаметр трубы d= 20 мм, а расход жидкости, протекающей по трубе Q=0,54 л/с.

Решение:

Как и в предыдущей задаче запишем уравнение Бернулли в общем виде для потока реальной жидкости:

[ z₁ + (Р₁/ ρg) + (α₁· u_1ср² / 2g)] – [ z₂ + (Р₂ /ρg) + (α₂·u_2ср² / 2g)] = h_1-2

Коэффициенты Кориолиса возьмём равными 1, так как о них в условиях задачи нет сведений. При равенстве диаметров сечений 1 и 2 средние скорости движения жидкости и скоростные напоры одинаковы. Их разность равна нулю. По определению, геометрические напоры также одинаковы. Их разность тоже равна нулю. С учётом сказанного уравнение Бернулли принимает вид:

(H_п1 - H_п2 ) = h_1-2

Важный вывод: в горизонтальных трубах постоянного диаметра полные потери напора численно равны разности пьезометрических напоров в выбранных сечениях 1-1 и 2-2.

Так как на данном участке трубы местные сопротивления отсутствуют, полные потери равны линейным потерям напора. Согласно формуле Дарси:

h_л = λ · (L/d) · (u² / 2 g) Следовательно, в данном случае (H_п1 - H_п2 ) = λ · (L/d) · (u² / 2 g) . Отсюда находим коэффициент линейных потерь:

λ = (H_п1 - H_п2 ) 2 g ·d / ( L·U²)

Скорость движения жидкости в трубе находим через расход жидкости:

U = Q / S ; S = π d²/4= 3,14· (0.02м)²=3,14 ·10^-4 м²

Подставляем значения и находим скорость

U = Q / S= (0,54 ·10^-3м³/с)/ 3,14 ·10^-4м²= 1,72 м/с

Находим коэффициент линейных потерь:

λ = (H_п1 - H_п2 ) 2 g ·d / L·U² = (0,3 м ·2·9,8 м/с²·0,02 м)/1 м·(1,72 м/с)²= 0,04

Ответ: коэффициент линейных потерь на участке трубы составляет 0,04.

Задача 5. Разность показаний трубки Пито и пьезометрической трубки составляет 20 см. Определить расход жидкости в данном сечении трубки Бернулли, если диаметр его равен 20 мм.

Трубка (справа, изогнутая) измеряет сумму пьезометрического и скоростного напоров.

Прямая, пьезометрическая трубка, измеряет только пьезометрический напор. Их разница и даст скоростной напор.

Дано: Решение:

Н - H_п = H_ск = 20 см; Из сказанного выше следует:

d = 20 мм; Н - H_п = H_ск = (u² / 2 g);

Q = ?

Расход жидкости и скорость её движения связаны соотношением

Q = u · S = S·√ 2g ·H_ск = S·√ 2g · (Н-H_п ) = (πd²/4) · √2g · (Н-H_п ) =

= [3,14· (0,02 м)²/4] · √ 2 ·9,8 · м/с² · 0,2 м = 3,14 · 10^-4 · 1,98 м³/с = 6,22·10^-4 м³/с = 0,62 л/с.

Ответ : расход жидкости равен 0,62 л/с.

Задача 6. По трубе диаметром 5,06 см течёт вода со скоростью 1 м/с. Принимая плотность жидкости равной 1 г/см³ , а динамическую вязкость 0,001 Па·с, определить число Рейнольдса, а затем коэффициент линейных потерь.

Дано: Решение:

d = 5,06 см Число Рейнольдса определяется следующим образом:

u = 1 м/с

η = 0, 001 Па·с Re = Re_d = ρ · u · d / η =

ρ = 1 г/см³ = (1000 кг/м³ · 1 м/с · 5,06 см) / 0,001 Па ·с =

= [ (10³ ·1 ·5,06 ·10^-2 ) кг/м· с] / (10^-3 н ·с/ м²) =

Re = ? λ = ? 5,06 ·10 ⁴

н ·с/ м² = кг ·м · с / м² · с² = кг/м· с; (кг/м· с)/ (кг/м· с) = 1.

Число Рейнольдса оказалось больше критического. Для нахождения коэффициента Дарси (коэффициента линейных потерь) используем формулу Блазиуса:

λ = 0,3164/ (Re^0,25) = 0,3164 / (5,06 ·10 ⁴ )^0,25 = 0,3164/ 15 = 0,02.

Ответ: Re = 5,06 ·10 ⁴ ; λ = 0,02.

Примечание: формула Блазиуса используется для нахождения коэффициента линейных потерь в случаях, когда 4000 < Re <10⁵ (подробнее см. лабор.раб.№ 3)

Задача 7. Из широкого бака вытекает по трубе вода со скоростью 2,5 м/с. Определить расстояние от поверхности воды в баке до оси трубы, если полные потери напора в трубе составляют 0,6 м. Диаметр трубы одинаков по всей её длине.

Дано :

u₂ = 2,5 м/с

h_1-2 = 0,6 м

Н = ? -

Решение:

Проанализируем уравнение Бернулли для данного случая. За нулевой уровень

примем линию 0-0, совпадающую с осью трубы. Первый геометрический напор по определению z₁ = Н, а второй z₂ = 0.

Пьезометрические напоры в сечениях 1-1 и 2-2 одинаковы, так как

(Р₁/ ρg) = (Р_атм/ ρg) ; (Р₂/ ρg) = (Р_атм/ ρg); и H_п1 - H_п2 = 0. Как правило, диаметр трубы гораздо меньше диаметра бака d << D. Из уравнения неразрывности струи:

u₁ · S₁ = u₂ · S₂ ; u₁ · (d₁²)= u₂ · (d₂²).

следует, что u₂ » u₁ и скоростью движения жидкости в первом сечении можно пренебречь по сравнению со скоростью во втором сечении. Первый скоростной напор поэтому можно считать равным нулю.

Уравнение Бернулли для данного случая принимает следующий вид:

Н = (u₂² / 2g) + h_1-2 ; Н = (6,25 м²/с²)/ (2 · 9, 8 м/с²) +0,6 м = 0,92 м.

Ответ: расстояние от уровня поверхности жидкости в баке до центра трубы равно

Н= 0,92 м.

Контрольные задания по курсу «Механика жидкостей».

Задача 1

Определить давление в точке В под слоем масла высотой Н , если давление воздуха над маслом Р₀ . Плотность масла принять равной ρ.

Задача 2. Что больше : Р₁ или Р₂? Найти их разницу.

Задача 3.

Площадь вертикальной стенкы в прямоугольном сосуде составляет S. Найти силу, действующую на стенку, если уровень жидкости в сосуде составляет H.

Плотность жидкости принять равной ρ.

Вариант	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	1 м ^2	2 м ^2	3 дм^2	150 см^2	2000 мм^2	0,5 м^2	10 дм^2	600 см^2	8000 мм^2	40 дм^2
H	1 м	0,5 м	60 см	650 мм	3 дм	0,8 м	70 см	200 мм	4 дм	350 мм
ρ	1 г/см^3	900 кг/м^3	750 кг/м^3	0,8 г/см^3	0,9 г/см^3	800 кг/м^3	1,1 г/см^3	1,3 г/см^3	110 кг/м^3	0,85 г/см^3

Задача 4. Два манометра имеют классы точности β₁ и β₂. У какого из них абсолютная погрешность больше и насколько, если предел измерения первого из них равен Р₁^пр, а второго Р₂^пр?