Ларина

Э

х2

НИ

Учитывая, что

y/ (2) = 1, находим С2 =

1.

у/ =

2

- х +1.

Интегрируя ещё раз,

имеем: у =

х3

-

х2

+ х + С3 . Подставляя у(2) = 2, находим

6

2

АГ

С3

=

2

, у =

х3

-

х2

+ х +

2

.

3

6

2

3

Пример 3. Решить уравнение ху///

- у//

= 0.

Решение. Это уравнение не содержит у и у / . Положим у// = р , придём к

уравнению первого порядка хр/

ка

- р = 0 . Интегрируя его, найдём

xdp - pdx = 0 Þ ò

dp

= ò

dx

Þ ln | p |= ln | x | +ln C Þ p = Cx . Тогда возвр щ ясь к

2

p

x

е

исходной переменной, имеем у// = Сх . Интегрируя это уравнение

последовательно, получим решение уравнения

т

у/

=

С

х2

+ С ,

о

1

у =

С

х3 + С х + С

и

6

1

2

2.3. Уравнения вида F( y, y/ , y // ) = 0 , явно не содержащие независимой

переменной x .

л

Пример 1. Решить уравнение уу

//

- у

/2

= 0,

у(0) =

/

(0)

= 2.

1, у

и

Решение. Данное уравнение не содержит в явном виде аргумента х. Примем в

качестве независимой переменной у

выполнимб

замену: у/

= р = р( у), у// = рр/ .

Исходное уравнение примет вид: урр/ - р2

= 0.

Это уравнение с

разделяющимися переменными. Решаем его стандартным образом:

2аях

dp

=

dy

Þ ln | p |= ln | y | +ln | C |

Þ p =бC y Þ y/ = C y.

p

y

1

1

1

Так как y/ (0) = 2, y(0) = 1, Þ 2 = C

, y/ = 2y. Откуда

dy

= 2dx Þ ln | y |= 2x + C .

1

y

Учитывая условие у(0)=1, аходим С = 0. Следовательно, частное решение

н

у = е .

уравнения имеет вид:

о

Пример 2. Найти общеенрешение уравнения у// (2у + 3) - 2у/2

= 0.

Решение. Данн е уравнение не содержит независимой переменной х.

тр

= р, у

= рр

. Исходное уравнение примет

Выполним замену: у

/

//

/

вид рр/ (2у + 3) - 2

2

= 0 . Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем: ò

dp

= ò

d(2y + 3)

Þ

p

2y + 3

е

+ln | C |Þ p = C(2y + 3), y/

= C(2y + 3) . Разделяя переменные и

ln | p |= ln | 2y + 3 |

инт грируя, окончательно получаем:

л

dy

к

1

ln | 2y + 3) = Cx + C1 Þ 2y + 3 = e2(Cx+C1) .

ò

=

òCdx

Þ

2y + 3

2

Пример 3. Решить уравнение уу//

+ у/ 2

= 1.

dy

= ±

C + y2 Þ

ydy

= ±dx Þ

C + y

2

= ±x + C

2 .

НИ

Решение. Полагая

у/

=

р, имеем у //

=

рр

/

. Поэтому уравнение примет вид

урр/

+ р2

= 1

или урdp + ( p2

-1)dy = 0 .

Разделяя переменные и интегрируя,

рdp

dy

2

C

C + y2

/

C + y2

получаем ò

p2 -1

= -ò

y

Þ

p

-1

=

y

Þ p

= ±

y

Þ y

= ±

y

.

АГ

dx

y

C + y2

ка

Задания для самостоятельной работы.

Найти решения дифференциальных уравнений.

т

е

1.

y//

= 1- y/ 2

Ответ:

2x

+ C

| -x + C

y = ln | e

о

1

2

2.

xy//

+ y /

= 0

Ответ: y = C

+ C

2

ln | x |

1

3.

x2 y//

+ xy/

= 1

Ответ: y =

1

(ln | x |)2 + C ln | x | +C

2

л

2

1

4.

y/// 2

+ y// 2

= 1

Ответ: y = sin(C + x) + C

2

x + C

3

б

и

1

//

x

2

æ

3 ö

5.

y

= -

Ответ:

y = C1 x

çln x -

÷

+ C2 x

+ C3

y

/

è

2 ø

6.

y/// 2

= 4y//

Ответ: y =

1

(C + x)4

+ C

2

x + C

3

б

2

1

7.

Ответ:

y// y3

= 1,

y(0,5) = 1, y/ (0,5) = 1

2y2 - 4x2 = 1

8.

y//

- y/ 2

+ y/ ( y -1) = 0,

y(0) = 2, y/ (0) = 2и

Ответ:

y = 2ex

9.

y2

+ y/ 2

- 2yy// = 0,

ая

= 1

Ответ: y = ex

y(0) = 1, y/ (0)

10. 3y/ y //

= y + y/ 3

+1,

y(0) = -2, y/ (0) = 0

Ответ: y = -

3

(y + 2)2 / 3

2

11. 2yy//

- 3y/ 2 = 4y2 ,

y(0) = 1, y/ (0) = 0

Ответ: y = sec2

x

12.

2yy//

+ y2

- y/ 2

= 0,

н

= 1, y/ (0) = 1

Ответ:

y = sin x +1

y(0)

13. (1+ x

2

) y

//

- 2xy

/

= 0, y(0) = 0,

y

/

(0) = 3

Ответ:

y = x

3

+ 3x

н

14.

y// tgx - y/

-1 = 0

Ответ: y = -x - C cos x + C

о

1

2

15.

xy

//

+ y

/

+ x = 0

Ответ:

y = -

x2

+ C1 ln x + C2

4

е

к

тр

л

Э

Э

		НИ
§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.	АГ

Определение. Уравнение вида у// + py/ + qy = 0, где у искомая функция, а p и q - вещественные числа, называется линейным однородным уравнением

второго порядка с постоянными коэффициентами.

						ка
Теорема. Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения имеет вид			у00 = С1 у1 (х) + С2 у2 (х), где у1 (х), у2 (х) - линейно
независимые решения этого уравнения.					е
1		2
Функции называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если тождество
С1 у1 (х) + С2 у2 (х) º 0,	имеет место тогда и только тогда, когда С1 = С2						= 0.
Теорема. Если у (х), у				т			решения
			(х) линейно независимые на о резке [a,b]

дифференциального уравнения, то определитель Вр нского этих функций

и

W ( y , y

) =

y1

y2

¹ 0.

отличен от нуля во всех точках этого отрезка [a,b],т.е.

л

о

1 2

y /

y/

1

2

Вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a;b) тогда и только

б

тогда, когда частные решения линейно независимы.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго

и

у// + ру/

+ qy = 0.

(1)

порядка с постоянными коэффициентами

Квадратное уравнение k 2 + pk + q =

б

(2) называется характеристическим

0

уравнением для уравнения (1).

ая

Для составления общего решения у00

дифференциального уравнения (1)

необходимо найти корни соответствующего характеристического уравнения

(2) и применить теорему:

Теорема. Пусть k1

, k2

– кор

и характеристического уравнения (2). Тогда

н

общее решение урав е ия (1) находится по одной из следующих формул:

1)

Если k , k

2

- действительные числа и k ¹ k

2

, то

1

н

= C ek1x

ek2 x

;

1

y

00

+ C

2)

если k1 = k2 , то

1

2

о

y00 = ek1x (C1 + C2 x);

3)

если k1,2

= β i - комплексно-сопряжённые корни, то

е

y00

= C1 cos βx + C2 sin βx;

если трk1,2 = α ± β i -комплексно-сопряжённые корни, то

4)

л

к

y00

= eαx (C1 cos βx + C2 sin βx).

Э

л

НИ

уравнение

k1

= β i,

k2

= -β i

у//

y00

= C1 cos βx + C2 sin βx

+ ру /

+ qy

= 0

характер. уравнение

k 2

+ pk + q = 0

дискриминант

корни

общее решение

D > 0

k1 ¹ k2

y00 = C1ek1x + C2ek2 x

АГ

D < 0

k1

= α + β i,

k2 = α - β i

y00

= eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)

D = 0

k1 = k2 = k

y00 = (C1 + C2 x)ekx

Пример 1. Найти общее решение уравнения

е

= ка0 .

у//

+ у/ - 2у

Решение. Составляем характеристическое уравнение к2

+ к - 2 = 0.

Корни уравнения: к1

о

= 1, к2

= -2

действительные и различные. Общее

решение имеет вид у = С ех + С

2

е−2х .

и

т

1

л

- 4у/

+ 4у = 0 .

Пример 2. Найти общее решение уравнения у//

б

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: к2 - 4к + 4 = 0 .

Корни уравнения: к1

= к2 = 2 действительные и равные. Общее решение

уравнения имеет вид у = (С + С х)е2х .

2

1

2

б

Пример 3. Найти общее решение уравненияи

у//

- 4у/

+13у = 0.

ая

2

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

к - 4к +13 = 0 . Корни уравнения к1

= 2 + 3i, к2 = 2 - 3i комплексные.

Общее решение уравнения имеет вид y = e2x (C cos3x + C

2

sin 3x) .

н

1

+ 25y = 0 .

Пример 4. Найти общее решение уравнения y//

н

+ 25 = 0 имеет комплексные

Решение. Характеристическое уравнение k

корни k1 = 5i, k2

= -5i . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

о

тр

y = C1 cos5x + C2 sin 5x .

- 3у/

= 0 .

Пример 5. Найти общее решение уравнения у//

Решение. Ха актеристическое уравнение к2

- 3к = 0 имеет различные

дейс ви ельные корни к1 = 0, к2 = 3. Тогда общее решение уравнения имеет

вид у = С + С е3х .			2
е	1	2
Примкр 6. Найти частное решение уравнения
у// - 4у/ + 3у = 0, у(0) = 6, у/ (0) = 10.
Решение. Составим характеристическое уравнение: к				- 4к + 3 = 0 . Корни

этого уравнения к1 = 1, к2 = 3 - различные и действительные. Общее решение

Э

л

н однородного уравнения, называется соответствующим ему однородным

данного уравнения имеет вид у

00

= С ех + С

е3х . Учитывая начальные условия:

1

2

НИ

у(0) = 6, у/ (0) = 10, получаем: С1 + С2

= 6

Откуда

С

2

= 2, С = 4.

С1 + 3С2 = 10

1

Следовательно, частное решение у = 4ех

+ 3е3х .

АГ

Задания для самостоятельной работы.

Решить уравнения

1.

y//

+ y/

- 2y = 0

Ответ:

y = C ex

+ C

e−2x

1

2

2.

y//

- 2y/ + y = 0

Ответ: y = (C

1

+ C

2

x)ex

3.

y/// - 8y// = 0

Ответ:

y = C + C

x + C

3

e8x

4.

Отв т:

1

2

y//

- y/

- 2y = 0

y = C e2x + C

2

e−x

5.

y//

- y/

= 0

О вет:

ка

1

ex

y = C

1

+ C

2

6.

е

− х

−4х

y

//

+ 5y

/

+ 4y

= 0

y = C1е

+ C

2е

О вет:

7.

y

//

+ 5y

/

+ 6y

= 0,

y(0) = 1, y

/

(0) = -6

и

о

т

y = 4e

−3x

- 3e

−2x

Ответ:

8.

y//

-10y/ + 25y = 0,

y(0) = 0, y/ (0) = 1

л

Ответ: y = xe5x

æ π

ö

/ æ

π ö

π

1

9.

//

/

Ответ:

x

y

- 2y

+10y = 0,

yç

÷ =

0, y ç

÷

= e 6

б

y = -

e

cos3x

6

3

è 6

ø

è

ø

10. 9y

//

æ 3π ö

/

æ

3π ö

и

Ответ:

x

+ y = 0,

yç

÷ = 2, y

ç

÷

= 0

y = 2sin

3

è 2 ø

è

2 ø

11.

y//

+ 3y / = 0,

y(0) = 1, y/ (0) = 2

б

Ответ: y = (5 - 2e−3x ) / 3

//

π

12.

Ответ: y = 2 sin 3x

y

+ 9y = 0,

y(0)

= 0, y( 4 ) = 1

13.

//

/

/ æ π

ö

Ответ:

y = sin x +

1

cos x

y

+ y = 0,

y

(0)

= 1, y

ç

÷

= 0

è 3

ø

3

14.

Ответ: y = 4ex

y//

- 4y/ + 3y = 0,

y(0) = 6, y/ (0) = 10

+ 2e3x

15.

y

//

- 6y/ + 9y = 0,

y(0) = 0, y/ (0) = 2

Ответ: y = 2xe3x

ая

§4. Линейные

еоднородные дифференциальные уравнения второго

н

порядка с постоянными коэффициентами.

н

y//

+ py/

+ qy = f (x),

где p,q − вещественные

Определение. Уравнение вида

о

числа, f (x) − непрерывная функция, называется линейным

неоднородным уравнением второго порядка с постоянными

оэффициентами.

Уравнениетр, y//

+ py/

+ qy = 0,

левая часть которого совпадает с левой частью

е

к

уравн нием.

Э

л

неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

					НИ
Общее решение уравнения представляет собой сумму частного решения
неоднородного уравнения и общего решения соответствующего
однородного уравнения	y0н = у00 + учн .
Рассмотрим методы нахождения частного решения линейного
неоднородного уравнения.
1) Метод вариации произвольных постоянных.
Этот метод применяется для нахождения частного решения линейного
			ка	АГ
	/	/

Пусть у00

= С1 у1 + С2 у2 . Тогда общее решение неоднородного уравнения

следует искать в виде уон = С1 (х) у1 + С2 (х) у2 , где функции С1 (х),С2 (х)

определяются из системы уравнений

ì С1 (х) у1 + С2 (х) у2

= 0,

íС / (х) у/

+ С

/

(х) у/

е= f (x) , т.е.

î

1

1

2

2

y f (x)dx

y f (x)dx

y

y

C1 (x) = -ò

2

; C2 (x) = ò

1

;

W ( y1

, y2 )

=

y1/

y2/

¹ 0 .

W ( y , y

2

)

W ( y , y

2

)

1

1

и

о

1

2

Пример 1. Решить уравнение у//

- у =

ех

.

ех

-1

Решение. Характеристическое уравнение к2

= -1.

-

1 = 0 имеет корни к = 1, к

2

Тогда общее решение однородного уравнениял

имеет вид:

1

у

00

= С ех

+ С

е− х , где

у

= ех , у

2

= е−х . Общее решение неоднородного

1

2

1

б

уравнения ищем в виде

у

Находим функции

0н

= С (х)ех + С

2

(х)е−х .

1

иx

е− х ех dx

С1 (х) = -ò

= ò

dx

1

1

x

ex -1

+ C1 ,

=

ln | e

-1| -

ln | e

|= ln

- 2(ех -1)

2(ex -1)

2

2

ex

ex ex dx

1 e2x dx

б

1

C2

(x) =

= -

= -

1

(ex

-1) -

ln | ex -1| +C2 .

ò - 2(ex -1)

2 ò ex -1

2

2

Cледовательно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

æ

ö

e

x

-1

x

æ

1

x

1

x

ö

−x

ç

÷

у

=

ç

ln

+аяC e

+

ç-

(e

-1) -

ln | e

-1|

+C

÷e

.

ex

2

2

он

1

÷

è

2

ø

è

н

ø

//

/

+ у = 4sin x,

y(0) = 1, y (0) = 2 .

Пример 2. Найти част ое решение уравнения у

Решение. Решаем сначала однородное уравнение у// + у = 0 . Его

н

имеет корни к

= i, k

= -i

характеристическ е уравнение к2 +1 = 0

2

1

Следовательноо, общее решение однородного уравнения

y00

= C1 cos x + C2 sin x, где

y1 = cos x, y2

= sin x .Будем искать общее решение

неоднородного уравнения в виде уон

= С1 (х) cos x + C2 (x)sin x .

тр

W =

cos x

sin x

= 1, тогда функции

Вронскиан

к

- sin x

cos x

C1 (x) = -ò4sin 2 xdx = -2ò(1- cos2x)dx = -2x + sin 2x + C1

е

C2 (x) = ò4sin x cos xdx = 4òsin xd(sin x) = 2sin 2

x + C2

Э

л

у = cos x + 4sin x − 2x cos x .

НИ

Общее решение неоднородного уравнения будет

y

0н

= (-2x + sin 2x + C ) cos x + (2sin 2 x + C

2

)sin x

или

1

уон

= С1сosx + C2 sin x - 2x cos x + 2sin x

Учитывая начальные условия y(0) = 1, y/ (0) = 2 , найдем: C

= 1, C

= 2 .

Тогда

частное решение исходного уравнения имеет вид:

1

2

АГ

Пример 3. Решить уравнение у// cos

x

+

1

у cos

x

= 1.

ка

2

4

4

2

1

1

Решение.

Преобразуем уравнение к виду y//

+

y =

x

. Решим

4

cos

x

1

2

тx

соответствующее однородное уравнение

y//

+

y

=

0

. Его характеристическое

1

1

1

о

уравнение к2

+

= 0 имеет корни

k

=

i, k

2

= -

i

.Следовательное

, общее

4

1

2

2

решение однородного уравнения y00

= C1 cos

+ C2

sin

. Общее решение

2

2

неоднородного уравнения ищем в виде

л

и

x

x

x

б

cos

x

sin

x

1

C (x) cos

+ C (x)sin

; y

= cos

, y

= sin

x

;

W ( y , y ) =

1

2

x

1

2

=

,

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

x

2

-

sin

cos

x

x

2

2

2

2

sin

d(cos

)

x

где функции C (x) = -2

ò

2

dx = 4

ò

2

= 4ln | cos

| +C ,

1

cos

x

б

и

cos

x

2

1

x

2

2

cos

C2 (x) = 2ò

2

dx = 2x + C2 . Тогда общее решение неоднородного

cos

x

н

2

æ

x

ö

x

x

уравнения имеет вид у0

ая= ç4ln |

сos | +C1 ÷cos

+

(2x + C2 )sin

или

о

н

è

2

ø

2

2

y0н

x

+ C2 sin

x

x

x

| +2xsin

x

.

= С1сos

2

2

+ 4cos

2

ln | cos

2

2

2)

Метод неопределённых коэффициентов

(не соде жит процесса интегрирования).

к

Этот ме од применим только к линейным уравнениям с постоянными

оэффициентамитр

и только в том случае, когда его правая часть имеет

сп циальный вид. По виду правой части уравнения записывают ожидаемую

форму частного решения с неопределёнными коэффициентами, затем

подставляюте

её в уравнение и из полученного тождества находят значения

коэффициентов.

Э

л

Рассмотрим различные виды правых частей уравнения

НИ

№

Правая часть

Частное решение

АГ

примечание

1

f (x) = Pn (x)

yчн

= Qn (x) × xr

n − степень многочлена,

r - числокорней k = 0

2

f (x) = eαx × P (x)

y

чн

= Q

n

(x) × xr ×еαх

n − степень многочлена,

n

r - число корней k = α

ка

3

f (x) = a cos βx + bsin βx

yчн

= (Acos βx + B sin βx) × xr

A, B −

неизвестные числа,

r - число корней k = iβ

f (x) =

y

=

о

r − число корней

4

αx

[Pn (x) cos

βx +

чн

е

= α ± iβ ,

e

(Q1 cos βx + Q2 sin βx) × x r eαх

k

+ Pm (x) sin βx]

т

Q1,Q2

- многчлены

степени

s = max{n, m}

5

f (x) = f1 (x) + f2 (x)

yчн

= y1чн

+ у

л

и

y1чн − частное решение

2чн

б

уравнения

и

у // + ру / + qy = f1 (x),

б

y2чн - частное решение

у // + ру / + qy = f2 (x)

ая

Пример 1. Найти общее решение уравнения у// - 2у/ - 3у = х +1.

Решение. Характеристическое уравнение к2

- 2к - 3 = 0 имеет корни

к1 = 3,

к2 = -1, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет

вид:

у

00

= С е3х

+ С

2

е− х .Так как ни один из корней характеристического

1

уравнения не равен нулю, то частное решение ищем в виде

учн = (Ах + В)х0 = Ах + В , где А и В- неизвестные коэффициенты.

тр

= Ах + В;

у

= А,

у

= 0 и подставляя у, у

, у

в

Дифференцируя дважды учн

/

//

/

//

н

данное у авнениео

, найдём − 2А − 3Ах − 3В = х +1.

Приравнивая коэффициенты

при одинаковых степенях в обеих частях равенства: − 3А = 1,

3

− 2А − 3В = 1

к

1

1

9

находим: А = -

3

,

В = -

.

9

1

1

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид учн

= -

х -

. а его

общее решение у

0н

= С е3х + С

е−х

-

1

х -

1

.

е

1

2

3

9

Э

л

Пример 2. Найти общее решение уравнения у// - 4у/ + 3у = хех .

НИ

Решение. Характеристическое уравнение к2

- 4к + 3 = 0 имеет корни

к1 = 1, к2

= 3 . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид

у

00

= С е

х

+ С

2

е3х . Так как среди корней характеристического уравнения

1

имеется только один корень к1

= α = 1, то r = 1. В данном случае

Pn (x) = x - многочлен первой степени.

Поэтому частное решение уравнения

будем искать в виде учн

= (Ах + В)хех = (Ах2 + Вх)ех .

Дифференцируя дважды

у/ = (2Ах + В)ех + (Ах2 + Вх)ех ,

АГ

//

х

х

х

2

х

х

х

2

+ Вх)е

х

у = 2Ае + (2Ах + В)е + (2Ах + В)е + (Ах + Вх)е = 2Ае + (4Ах + 2В)е + (Ах

и подставляя в уравнение, получаем

(2А + 4Ах + 2В + Ах2 + Вх - 8Ах - 4В - 4Ах2 - 4Вх + 3Ах2 + 3Вх)ех = хех ,

- 4Ах + 2А - 2В = х.

ка

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степ нях, получаем систему

íì

- 4А = 1

А =

-1

е

уравнений

4

0

Þ

. Следовательно, частное решение уравнения

î2А - 2В =

В = -

1

о

т

1

4

учн

= -

(х2

+ х)ех . Тогда общее решение имеет в д

4

1

(х2

+ х)ех .

л

и

у

= С е

х + С

е3х -

0н

2

1

4

Пример 3. Найти общее решен е уравненияб

у// + у = cos x

Решение. Характеристическое уравнен

е к2

+1 = 0 имеет корни

к1 = i,

к2

= -i.

Поэтому общее решениеи

соответствующего однородного

уравнения y00

= C1 cos x + C2 sin x . В правой части равенства

f (x) = cos x ,т.е.

a = 1, b =

б

0, β = 1. Так как iβ = i − корень характеристического уравнения, то

r = 1 и частное решение ищем в виде:

учн = (Acos x + B sin x)x.

Дифференцируя

и подставляя в уравнение, получаем:

у/

= (- Asin x + B cos x)x + Acos x + B sin x,

y//

ая

=

(- Acos x - B sin x)x - Asin x + B cos x - Asin x + B cos x =

н

(- Acos x - Bsin x)x

- 2Asin x + 2B cos x.

(- Acos x - Bsin x)x - 2Asin x + 2B cos x + (Acos x + B sin x)x = cos x,

н

= cos x.

- 2Asin x + 2B cos x

sin x

о

A

= 0

- 2A = 0

cos x

2B = 1

Þ B =

1

2

Та им образомтр

1

, частное решение учн =

xsin x , общее решение исходного

2

к

1

уравн ния y = C1 cos x + C2 sin x +

xsin x.

2

е

Э

л

Пример 4. Найти общее решение уравнения у//

+ 9у = sin 2x .

Решение. Характеристическое уравнение к2

+ 9 = 0 имеет корни

к1 = 3i, к2 = -3i , тогда общее решение соответствующего однородного

уравнения имеет вид:

у00

= С1сos3x + C2 sin 3x . Так как iβ = 3i не является

y//

= -4Acos2x - 4B sin 2x.

АГ

корнем характеристического уравнения, то r = 0

и частное решение следует

искать в виде

НИ

учн

= Acos2x + B sin 2x .

Дифференцируем:

y/

= -2Asin 2x + 2B cos2x,

ка

sin 2x

- 4B + 9B = 1,

Þ B =

5

Подставляя

y, y //

в уравнение, получаем:

− 4Acos2x − 4B sin 2x + 9Acos2x + 9B sin 2x = sin 2x.

е

cos2x

- 4A + 9A = 0

1

1

т

A = 0

о

5

частное решение

yчн =

sin 2x ; следовательно, общее решение уравнения

5

1

иу//

у

0н

= C cos3x + C

2

sin 3x +

sin 2x.

л

1

- у = 3е2х cos x .

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Найдём корни характеристического уравнения

к2

-1 = 0, Þ к = 1,

к

и

1

2

+ С

2е б. В правой части равенства

однородного уравнения у00 = С1е

х

−х

f (x) = 3e2x cos x Þ

P (x) = 3,

б

, s = 0. Так как число α + iβ = 2 + i не

P (x)

= 0

n

m

является корнем характеристического уравнения, поэтому r = 0 и частное

решение ищем в виде y = e2x (Acos x + Bsin x) . Дифференцируем:

у/

= 2е2х (Acos x + B sin x) + e2x (-Asin x + B cos x),

y//

= 4e2x (Acos x + B sin x) + 2e2x

(-Asin x + B cos x) + 2e2x (-Asin x + B cos x) +

н

e2x (-Acos x - B sin x) = e2x (3Acos x + 4B cos x + 3B sin x - 4Asin x).

Подставляя в урав е иеаяy ,

y , получаем

//

e2x (3Acos x + 4B cos x + 3B sin x - 4Asin x - Acos x - B sin x) = 3e2x cos x,

о

Þ

3

2Acos x + 4B cos x +

2Bsin x - 4Asin x = 3cos x.

è10

5

ø

тр

н

A =

3

cos x

2A + 4B = 3,

sin x

2B - 4A = 0

10

B =

5

2x æ 3

3

ö

Та им образом, частное решение yчн

;

= e

ç

cos x +

sin x÷

е

3

3

общк решение

+ С2е−х

æ

ö

у0н

=

С1ех

+ е2х

ç

cos x +

sin x÷ .

10

5

è

ø