Ларина

7.

Известно, что рост числа y = y(t)

жителей некоторого района

НИ

описывается уравнением:

dy

=

0,2y

(m − y),

где m − максимально

dt

m

возможное число жителей для данного района. В начальный момент

времени число жителей составляло 1% от максимального. Через какой

промежуток времени число жителей составит 80% от максимального?

Ответ: 29,91

8.

В условиях ненасыщаемости рынка найти объём производства по

истечении 6 месяцев, если в начальный момент времени объём

производства

y0

= y(0) = 24( ycл.ед) , при норме инвестиций 0,6,АГ

продажной цене равной 0,15( усл.ед ) и l = 0,4 .

е

Ответ: 29,8

9.

Определить численность населения России ч р з 20 лет, считая. Что

т

го каналичному

скорость прироста населения пропорциональна

о

количеству, и зная, что население России в 2000 году составляло 145

млн. человек, а прирост населения за 2000 г д был равен 2%.

и

Ответ: 215 млн. человек.

10.У какой кривой отрезок любой касательной, заключённый между

точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?

Ответ:

у2 = Сх

11.Найти выражение для объёма реа изованной продукции y = y(t) , если

известно, что кривая спроса p(y)

задаётсял

уравнением p( y) = 2 − y ,

норма акселерации

1

= 2, норма бнвестиций m = 0,5,

y(0) = 0,5.

l

и

2

Ответ:

y =

ая

1+ 3e−2t

12.В посёлке с населением 3000б

человек распространение эпидемии

гриппа ( без применения экстренных санитарно-профилактических

мер) описыв ется ур внением:

dy

= 0,001y(3000 − y),

где y – число

dt

заболевших

в момент времени t; t − число недель. Сколько больных

н

через две недели, если в начальный момент было

будет в посёлке

трое боль ых?н

тр

о

Ответ:

863 чел.

13.

Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

к

у = 50 − 2 р − 4

dp

,

dt

е

x = 70 + 2 p − 5

dp

dt

л

Найти зависимость равновесной цены от времени,

если р = 10

Э

в момент

времени t = 0

Ответ:

р = −5 +15е4t .

Э	л

14.Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:										НИ
у = 100 − р − 2			dp		,
			dt
x = 140 + p − 3	dp								АГ
			dt
Найти зависимость равновесной цены от времени, если р = 5
в момент времени t = 0							Ответ:		р = −20 + 25е2t .
15.Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:
у = 54 − 4 р − 3			dp			,			касли р = 6
			dt					е
x = 26 + 3p + 2			dp
			dt				т
Найти зависимость равновесной цены от вр мени,
в момент времени t = 0							о		р = 4 + 2е−1,4t .
						и	О вет:
16.Найти кривую, проходящую через точку А(1;0),

для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной

к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания,-
		б
равнобедренный ( причём основанием его с ужит отрезок касательной от
точки касания до оси Оу).			л
	б		Ответ: y +	x2 + y2		= 1
			16
17.Найти кривую, проходящую через точку А(2;16), зная, что угловой
коэффициент касательной в любойи			точке кривой равен квадрату
ординаты этой точки.
ая			Ответ: у = −
					16х − 33

18.Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4;1), для которой отрезок любой к сательной к кривой, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

о	н	Ответ:	у =	4
				х
19.Найти кривую, проходящую через точку А(1;1), для которой площадь
треуг льникан	, образованного касательной, ординатой точки касания и
осью абсцисс, равна 1.					2
к		Ответ:	у =
					3 − х

	е	20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4;1), для которой
		отрезоктр	касательной между точкой касания и осью абсцисс делится

пополам в точке пересечения с осью ординат.

Ответ: х = 2у

§7. Задания для контрольных работ.

Контрольная работа №1.

«Дифференциальные уравнения первого порядка»

3.

6xdx − 6ydy = 3x

2 ydy − 2xy2 dx

18.

(xy

2

+ x)dx + (y − x2 y)dyАГ= 0

1.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1.

9 + у2

dx = x2 ydy

16.

x2 y/

+ y = 0

2.

x

3 + y2

dx + y

2 + x2

dy = 0

17.

(1+ y2 )dx = (1+ x2 )dy

4.

y ln y + xy/

= 0

19.

ка

xy(1+ x2 )y/ = 1+ y

2

5.

(1+ ex ) yy/

= ex

20.

(1+ 2y)xdx + (1+ x2 )dy = 0

y

= ln y

y/

т

= y ln y

6.

/

21.

sin x

y

(2x +1)dyе+ y2 dx = 0

7.

(1+ e2x ) y2 dy = ex dx

22.

dy

dx

8.

+

= 0

23.

2

ydx = dy

x

y

1− y2

1− x2

л

о

4xdx − 3ydy = 3x

2

ydy − 3xy

2

/

9.

dx

24.

y

y ln x

=

2

10.

(e2x

+ 5)dy + ye2x dx = 0

б

25.

иx2 y/

+ y2 = 0

11.

y(4 + ex )dy + ex dx = 0

и

26.

y/

= (2y +1)ctgx

12.

3 + y2 +

1− x2

yy/ = 0

27.

2y /

= y

б

x

13.

y(1+ ln y) + xy/

= 0

28.

y − xy/

= 1+ x2 y/

14.

y/ = 2x− y

29.

xy/

+ y = 0

1. (2x − y)dx + (x + y)dy =ая0

16. (x

2

− у2 )dx + xydy = 0

15.

y ln

3

y + y/

x

+1

= 0

30.

y/ tgx

− y

=

1

2.

Найти общий интегр л дифференциального уравнения

н

н

2.

y/

= x + y

17. xy/

= y ln

y

x − y

x

xy/

− y

y

/

2

2

6.

xy +трy

= (x

+ xy) y

21. xyy

= y

+ 2x

− y

3.

x

= tg

x

+ xy)dx

18. xy

= y

+

25x

4. x

2

dy = (x

о+ y

2

19. (x − y)dx + (x + y)dy = 0

2

5. xy/

− y = (x + y) ln

x + y

20. (y +

)dx = xdy

xy

к

x

2

2

/

/

2

2

л

7. (x2

+ 2xy)dx + xydy = 0

22. 3dx(x2

− xy) = x2 dy

е8.

/

23. y

/

y

Э

xy

=

xy + y

=

−1

x

9. (x − y) ydx − x2 dy = 0

24. (x2

+ y2 )dx − 2xydy = 0

НИ

.

Э

10. ydx + (2xy - x)dy = 0

11. y/ = x + 2y x

12.(x2 + 3xy)dx - xydy = 0

13.2(x + y)dy + (3x + 3y −1)dx = 0

14.y/ = 2x + y +1

x+ 2y -1

15./ = + y + æ y ö2 y 4 ç ÷

xè x ø

3. Найти решение задачи Коши.

1.

/

2

æ

π ö

1

y

+ ytgx = cos

x,

yç

÷

=

4

2

è

ø

2.

y/

+

y

+ sin x,

y(π ) =

1

x

π

3.

y/

-

2x - 5

y = 5,

y(2) = 4

y

x2

ln x

4.

y/

-

= 2

,

y(1) = 1

x

2

x

5.

y/

-

y = ex

(x +1)2 ,

y(0) = 1

x

+1

6.

xy/ - y = x2 cos x,

y(π ) = 1

7.

б

и

(1+ x2 ) y/ - 2xy = (1+ x2 ), y(1) = 0

8.

(1+ x2 ) y/ + y = arctgx, y(1) = 0

9.

y/

= x + y,

y(0) = 1

12.

у/

- 2у = е2х

,

у(0) = ая2

10.

y

/ -

3y

= x,

y(1) =

1

x

н

11.

xy/ + 2y = x2 ,

y(2) = 5

13.

н

= y,

y(5) = 1

(2х2 у ln y - x) y

/

14.

х2

у2

у/

о

= 1,

у(1) = 0

+ ху3

1. (3xтрy

+ 7)dx + 2x ydy = 0

15.

y

/

- xy

= -y

3

e

− x

2

,

y(0) = 1

4. Най и решение уравнения

к

2

2

3

л

2.

(2x + yexy )dx + (1+ xexy )dy = 0

3. (3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4y3 )dy = 0

е4. e− y dx + (1- xe− y )dy = 0

5.

2x cos2

ydx + (2y - x2 sin 2y)dy = 0

б	л

25. ydy + (x − 2y)dx = 0

26. (2x − y)dx + (2y − x)dy = 0

27.

= y - xy/

x2

+ y2

28. (x − y + 4)dy + (x + y − 2)dx = 0

29. y/ =

2x + y

АГ

НИ

x - 2y

30. y

/

y

æ y

ö

=

+ cosç

÷

x

è x

ø

16. y/

-

y

= x2

+ 2x,

y(-1) = 1,5

x

+

2

ка2x2

17.

y

/

2xy

y(0) =

2

+

=

,

1

+ x

2

1+ x

2

3

y

е

+1

18. y/

+

=

x

ex ,

y(1) = e

тx

x

1

19. y/

+ 2y = x,

y(0) = -

о

4

20.

y

/

+ 2xy = xe

− x2

sin x,

y(0) = 1

и

21. y/

sin x - y cos x = 1,

y(π ) = 1

y

2

22. y/

-

= x ln x, y(e) = 0

x ln x

23. y/

- y = ex ,

y(0) = 2

24.

xy/ + y = 3,

y(1) = 1

25.y/ + 2xy = 2xe− x2 , y(0) = 1

26.y/ + x y+1 = x2 , y(0) = 2

27.	2хуу/ - у2			+ х = 0,		у(1) = 0
28.	y	/	- yctgx		æ	π ö	=	π
				= sin x, yç		÷		2
29.					è	2 ø
	у/ х + у = -ху2 ,				у(1) = 1
30.	х2 у/ = у2 + ху,				у(е) = е

16. (e y + yex + 3)dx = (2 - xe y - ex )dy

17. (2y - 3) + (2x + 3y2 )dy = 0

18.	3x2e y dx + (x3e y -1)dy = 0
19.	(3x2 + 2y)dx + (2x - 3)dy = 0
20.	(x cos2y +1)dx - x2 sin 2ydy = 0

Э	л

6. (3x2 y - 4xy2 )dx + (x3 - 4x2 y +12y3 )dy = 0

				2	æ					ö
7.	y + sin x cos				xy	dx + ç	x			+ sin y÷dy = 0
		2						2
	cos		xy		ç				xy	÷
						è cos				ø

8.yex dx + (y + ex )dy = 0

9.(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0

10.(y + ex sin y0dx + (x + ex cos y)dy = 0

11.(3x2 y + sin x)dx + (x3 - cos y)dy = 0

12.(3х2 у + 2у + 3)dx + (x3 + 3 + 2x)dy = 0

13.(2x − y)dx − xdy = 0

14.(x2 + 2xy +1)dx + (x2 + y2 -1)dy = 0

	15.	æ		y ö		æ	1	ö
		ç2x -1	-		÷dx - ç2y -			÷dy = 0
				x2			x
		è			ø	è		ø

Контрольная работа № 2.

л

«Дифференциальные уравнения

2.

Решить уравнение

и

б

1.

y// = sin 2x

2.

xy//

- 2y / = 0

3.

y///

= e2x

4.

ая

y// = 1- ( y/ )2

5.

(y

//

x - y

/

) y

/

= x

;

(1) = 0

y(1) = 1, y

3

/ б

6.

yy//

= (y / )2 - ( y/ )3

;

y(0) = 1, y/ (0) = 2

7.

xy//

= y/ ln

y/

н

x

8.

y///

= 2(y // -1)ctgx

9.

2y( y/ )3

о

//

= 0;

y(0) = 0, y/ (0) = -3

+ y

10.

// тр/

2н

x2

y// = (y/ )

2.

Реши ь уравнение

1.

y// + 9y = 0

е

y

- y

= 0

2.

3.

кy// + 25y/ = 0

4.

y// - 6y/ + 9y = 0

5.

y// +100y = 0

2

2

НИ

21.

2x(1

- e y )

dx +

ey

dy =

0

(1+ x2 )2

1

+ x2

22. (y − 4)dx + (x + 3)dy = 0

23.

у

2

АГ

(x

2

+ sin y)dx +

(1+ x cos y)dy = 0

24.

(x

+ y

+ y)dx + (2xy + x)dy = 0

25. (ex sin y + x)dx + ex cos ydy = 0

26.

(ex+ y + 3x2 )dx + (ex+ y + 4)dy = 0

27.

ка

х

dx + (3y

+ ln x)dy = 0

28. (x2

+ 2xy)dx + (x2

- y2 )dy = 0

29.

е

- 3)dx

- x2 sin 2ydy = 0

(x cos2y

30.

т

+ (2 - xe− y )dy = 0

e− y dx

и

о

второго порядка»

16.xy// + y / = 0

17.xy// - y/ = 0

18.y// = xsin x

19.y// = 3x2 ; y90) = 2, y/ (0) = 1

20.(x - 3) y// + y/ = 0

21.y// = - yx/

22.yy// = (y/ )2

23.y/// = ( y// )2

24.y// = y/ tgx

25.y// (ex +1) + y/ = 0

16.y// - 9y = 0

17.y// + 25y = 0

18.y// - 8y = 0

19.y// + 4y/ +10y = 0

20.2y// - 3y / - 2y = 0

Э

л

6. y//

+ 3y = 0

21.

y// + y/

−12y = 0

НИ

7.

y//

+ 4y/

+ 4y = 0

22.

y// − 4y/ − 7y = 0

8.

y//

− 6y/

+ 5y = 0

23.

y//

− 5y /

+ 6y = 0

9.

y//

− 4y/

+ 4y = 0

24.

y// + y = 0

АГ

14. y//

− y = 0

29.

y//

− 6y = 0

=

0

10.

y

//

−

5y

/

+ 4y = 0

25.

y

// +

8y

/ + 25y

11.

y

//

− 3y

/

+ 2y = 0

26.

y

//

− 2y

/

+ 2y = 0

12. y//

− 4y/

+ 3y = 0

27.

y//

+ 4y/

= 0

13. y//

+ 3y /

+ 2y = 0

28.

y//

+ 2y/

+ 5y = 0

15.

//

2

π

π 2

30.

//

+ 8y/

+

ка

y//

+ 2y/

+ y = 0

y

//

16

=

0

3. Решить методом Лагранжа

т

е

1.

16. y

у

+ π

у =

;

y(0,5) = 1, y(0,5) = 2

+ 4y

= ctg2x

sin πx

2.

y//

+ 5y/

+ 6y =

1

17. y//

+ y =

1

(1

+ e

2x

)

cos 2x

3. y

− 4y

+ 4y =

18. 5yо

− 6y

//

/

x

3

/

+ y = e

2x

e2x

//

4. y//

+ y = 4sin x +

1

б

л

19.и4y//

+ 7y/

− 2y =

3

cos x

и

e2x−1

5. y//

+ 4y/

= 4 =

e−2x

20. y//

+ 2y/

+ y = 6e−x +

e− x

x3

б

x

6. y//

+ y = ctgx

21. y//

+ y = x sin x

7. y//

− 2y/

+ y = 4ex

+

ex

22.

y//

+ 9y =

1

x

2

sin 3x

10. 2y

− 9y

+ 4y = −2e

ая

25. y

+ 4y = cos2 x

8.

y

//

− 4y

/

+ 5y

=

e

2x

23.

y

//

− y =

ex

cos x

ex

+1

9.

y//

+ 4y = sin 2x +

1

24.

y//

+ y = tgx + 4x cos x

н

н

cos 2x

1

//

/

4x

//

11.

y

//

− 2y

/

+ y =

ex

26.

y

//

− y =

ex

x2

+1

ex

−1

12. y

тр

27. y

//

=о

2

//

/

2x

2x

13. y//

− y/

1

;

y(0) = 1, y/

(0) = 2

28. y//

+ y =

1

+ ex

sin x

к

1

29.

14.

y//

+ 4y = xsin 2

x

y//

+ y = 4sin x; y(0) = 1, y/ (0) = 2

е

4 y

//

+ y = ctg

x

y(π ) = 2, y / (π ) = 0,5

30. y//

+ 9y = 6cos3x; y(0) = 1, y/ (0) = 3

15.

;

2

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

1.

у//

− 2у/

+ у = е2х

16.

у//

− 3у/

+ 2у = 3ех

Э

2.

у//

+ у/ − 2у = 2х2 +1

17. у// + 4у/ = 3х − 2

3.

у//

− 3у = хе− х

18.

у//

− 4у = 8х3

4.

у//

− 5у/

+ 6у = 13sin 3x

19.

y//

+ y/

+ 2,5y = 25cos 2x

5.

y//

+ 9y = 3sin 3x

20.

y//

+ 4y = cos2x

АГ

10. y

//

+ 3y

/

= 2

25.

y//

− 2y/ − 3y = x2

6.

y//

+ y = x cos x

21.

y

//

− 2y

/

+ 3y = e

−x cos x

7.

y//

− 3y/

−10y = sin x + 3cos x

22. y//

− 3y/

+ 2y = e3x (x2 + x)

8.

y//

+ y = x + 3ex

23.

y//

− 2y/ + y = 3ex

+ x +1

9.

y//

+ y/ = xex

24.

у

//

+ у/

= xsin x

11. y//

+ 4y/

= x + e−4x

26.

y//

+ 9y/

ка

+ x

= 4sin 3x

12.

y//

− 3y/

= x3 + 7

27.

y//

+ y = sin 5x

13. y//

+ 3y/

+ 2y = 5e5x

28.

y//

+ y = x cos x

14. y

+ 2y

− 3y = (x +1)e

29.

y

т

= 8y = e

+ e

//

/

x

//

/

x

2x

15. y//

− 6y/

+ 25y = 2sin x + 3cos x

30. y//

− y =е4ex + 2cos x

§ 8. Варианты тестовых заданийо

.

б

л

I порядка»

Тема: «Дифференциальные уравненияи

Вариант 1

1. Среди приведённых уравнений, указать линейные дифференциальные уравнения.

а)

(x

2

−1)y

/

+ 2xy

2

= 0

)

(x

2

2

+ x)dx + ydy = 0

и+ y

в)

(y + 2)dx = (2x + y − 4)dy г)

y

/

+ ytgx = sec x

д)

y / + y

x = sin x

ая

е)

б

2 dx = (x2 + y3 )dy

xy

ж)

y/

= y4 cos x + ytgx

з)

3x2 e y dx + (x3e y

−1)dy = 0

Варианты ответов

1) г

2) г и д

3)

д

4)

ж

5) а

н

2

y

/

+ y

2

= 0 при y(−1) = 1

имеет вид:

2.Частное реше ие уравнения x

Варианты ответ в

н

1) 2x + 3

2)о

x + 3

3) x −1

4) − x

5) х

3.

Решить уравнение:

y / +

y

= xex 2

к

тр

x

Варианты ответов

1)

е

2)

3)

4)

5)

л

НИ

Э

1) х3 + 3х

2 у

2

+ у

4

= С 2) х3

+ у4

= С 3) ху2

+ у4

+ С = 0 4) 3ух + у4 = 0 5) у = х3

+НИС

4. Установить, что данное уравнение является уравнением в полных

дифференциалах,

и

найти

его

общий

интеграл.

(3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4y3 )dy = 0

АГ

Варианты ответов

5.Решить уравнение: xy /

= y ln

x

ка

y

ln x +1

Варианты ответов

1) Сх = ln

y

+1

2) Cx =

1

3) ln xy +1 = C

4) y = ln x + C

5) ln

y

+ Cx = 0

x

y

т

е

x

Вариант 2

о

1. Указать уравнения с разделяющимися переменными:

а)

2y + x

2

б)

y / =

xy

в)

л

и

y

г)

y / =

x

д)

y / =

2

2

б

y /

=

y

x + 5

3x + 7

2x + 3y

Варианты ответов

и

1) в

2) б,г

б

3) в,г

4) г

5) а,б

2. Частное решение уравнения

/

= 2 - y

при y(0) = −1 имеет вид:

ctgx

× y

Варианты ответов

ая

2

/

1)

−3+ 2 cos x

2)

2 − 3cos x

3) − 2 + cos x

4)

2 − cos x

5) 2 + cos x

3. Среди уравнений ук з ть ур внения Бернулли:

а)

/

2

б)

yx + x y +1 = 0

в)

2y

2xy

+ y

= 1

н

н

4y /

+

= x3 y −2

x +1

г)

2

тр

о

3

д)

2

/

2

xy

dy = (x

+ y

)dx

(xy - x

)y

= y

Вариан ы о ветов

1) а

к

2) в,г

3) д

4) а,б

5) а,д

е

+ y = −x2 y 2 ,

y(1) = 1

4. Решить уравнение: xy /

л

Варианты ответов

С

1

1

1

1) у = С − х

2) у =

3) у =

4) у = −

5) у =

х2

х2

х2

С

− х2

Э

5. Решить уравнение:

y/ =

y

−1

НИ

x

Варианты ответов

АГ

1) у = х ln x + C

2) y = Cx + x ln x

3) y = ln x

4)

y = x(C − ln x)

5)

y

= C

− ln x

Тема: «Дифференциальные уравнения II порядка»

Вариант 1

ка

1.Если одним из частных решений дифференциального уравнения

//

− 4y = −12x + 8

~

= 3x − 2

е

y

является функция

y

, то общее решение данного

уравнения имеет вид.

т

Варианты ответов

о

1) с e2x + c e−2x + 3x − 2 2) с e2x + c e−2x +12x −8 3) с e2x + c e−2x + 8 −12x

1

2

1

2

л

и

1

2

4) с e2x

+ c

e−2x + 3x + 2 5) с e2x + c

e−2x

2

2

+ 2

1

1

б

2. Общим решением уравнение

и

y

//

+ y

/

− 2y = 0

б3) с1e−2x + c2 e− x

Варианты ответов

1) с1e−2x + c2ex

2) с1e2x + c2e−x

4) c1e2x + xc2ex

5) с e−2x + c e

−x

н

1

2

н

3. Частным решением ураваяения

y //

− 4y = 3e

2x

о

Варианты ответ в

1)

AE −2x

тр

2) AXE−2x

3)

AE 2x

4)

AXE 2x

5)

AX 2 E x

4. Общее решение уравнения

yy

//

− 2(y

1 2

= 0

имеет вид

е

)

ответов

Вариантык

л

y = 0

1)

y =

1

2)

y =

c2

3)

y =

1

+ c2

4)

5)

y

=

c1

+ 2

c1 x + c2

x

+ c

c1 x +

1

x + c

2

1

5. Решить уравнение.

НИ

y // − 2y / −3y = e4x

Варианты ответов

АГ

1

1

//

/

1) у = С е−х

+ С

е3х +

е4х

2) у =

е

4х 3) у = С е−х

+ С

е3х

4) у = С ех + С

е−3х 5) у = 5е2х

1

2

5

5

1

2

1

2

Вариант 2

+4ках

1)

С1

+С2е6х + х

2) Се

6 х −4х

3)

С1+С2е6х + 4х

4) Се х

5) Се6 х −24х

1.Если одним из частных решений уравнения у

−6у

= −24

является функция

у=4х, то общее решение данного уравнения имеет вид

е

Варианты ответов

т

2.Общее решение уравнения у // +4у/

= 0

и

о

Варианты ответов

л

1) С

+С е−4х

2) С

+С

е4х

3)

С

1

+С

х

4)

(С

+С

х)е4х

5) Се 4х

1

2

1

2

2

1

2

3.Частное решение уравнения у

б

имеет вид

// −4у = 3sin 2x

Варианты ответов

иAsin2x

1)

Аsin2x+Bcos2x

2) Axsin2x

3)

4)

(Ax+B)sinx

5) 3sin2x

ая

2

4.Найти общее решение уравненияб

у

// =

х3

1

с1

1

1

Варианты ответов 1)-

+

+ с

2)

+ с х + с

3) lnx+cx 2 4) -

+ С

5) –x+Cx 2

н

х 2

х

1

2

х

х2

5.Решить уравнение

у+9у=15sin2x , у(0)=-7 , у(0)=0

о

Варианты ответов

1)

тр

3x + sin 3x 3) y = −7cos3x − 2sin 3x

+ 3sin 2x 4)

y = cos3x − sin 2x

у = 3sin 2x

2) y = cosн

5)

y = C1 cos3x + C2 sin 3x + 3sin 2x

л

е

к

Э