§4 Волновая функция и ее физический смысл
Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях - имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.
Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону ( т.е. е-iωt). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн ( немецкий физик ) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или -функцией (пси - функцией).
Волновая функция - функция координат и времени.
Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV - физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.
Ψ* - функция комплексно сопряженная с Ψ
(z = a +ib, z* =a- ib, z*- комплексно сопряженное)
Если частица находится в конечном объеме V, то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)
Р =
1 
В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const, описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,
- условие нормировки
интеграл
по 
,
означает, что он вычисляется по
безграничному объему (пронстранству).
- функция должна быть
1) конечной (так как Р не может быть больше1),
2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).
непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями 1,2...n, то она может находится в состоянии , описываемой линейной комбинаций этих функций:
Сn (n=1,2...) - любые числа.
С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы
§5 Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.
(1)
- Временное уравнение Шредингера.
-
набла - оператор Лапласа 
-
потенциальная функция частицы в силовом
поле,
Ψ(y,z,t) - искомая функция
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ - функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей - один зависит только от координат, другой - только от времени:
(2)
Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.
Подставив (2) (1):
(3)
- Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.
Граничные условия:
волновые функции должны быть регулярными, т.е.
1)конечными;
2) однозначными;
3) непрерывными.
Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии - собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Еn принимает дискретные значения, то спектр - дискретный, если непрерывные - сплошной или непрерывный.