§8 Туннельный эффект. Прохождение частицы через потенциальный барьер

 

Для классической частицы : при Е > U она пройдет над барьером, при Е < U - отразится от него; для квантовой : при Е > U есть вероятность того, что частица отразится, при Е < U есть вероятность того, что пройдет сквозь барьер.

Потенциальная энергия: 

Уравнение Шредингера: для области 1 и 3 : 

для области 2: 

Решение этих диф. уравнений;

Для 1; 

Для 2; 

Для 3: 

 

отраженная волна

 

падающая волна

 Временная волновая функция для области 1:

 

Т.к. в области 3 возможно распределение только прошедшей волны, то, , В₃=0.

В области 2 решение зависит от соотношений Е U или Е U. Физический интерес представляет случай Е U.

       q = i, где 

Тогда решение уравнения Шредингера запишутся в виде:

Для 1; 

Для 2; 

Для 3: 

Качественный вид функций показан на рис. 2. Из рис. 2 видно, что функция не равна нулю внутри барьера, а в 3 имеет вид волны де Бройля, если барьер не очень широк.

            Явление “проникновения” частицы сквозь потенциальный барьер, называется туннельным эффектом. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы можно объяснить используя соотношения неопределенностей: неопределенность импульса р на отрезке x = ? составляет . Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергияможет оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной энергии барьера.

 

§9 Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное колебательное движение под действием квазиупругой силы - является моделью для изучения колебательного движения.

В классической физике - это пружинный, физический и математический маятники. В квантовой физике - квантовый осциллятор.

Записав потенциальную энергию в виде

Уравнение Шредингера запишется в виде:

 

Тогда собственные значения энергии:

т.е. энергия квантового осциллятора принимает дискретные значения, т.е. квантуется. Минимальное значение - энергия нулевых колебаний - является следствием состояния неопределенности так же, как и в случае частицы в “потенциальной яме”.

Наличие нулевых колебаний означает, что частицы не могут упасть на дно ямы, т.к. в этом случае был бы точно определен ее импульс p = 0, p = 0, , x   - не соответствует соотношению неопределенностей. Наличие энергии нулевых колебаний противоречит классическим представлениям, по которым _min = 0. - уровни энергии расположенные на равных расстояниях друг от друга. Из квантового рассмотрения следует, что частицу можно обнаружить вне области. По классическому рассмотрению только в пределах –x  x  x (Рис.2).

К списку лекций