Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ярославский государственный технический университет»

Кафедра «Высшая математика»

Рекомендовано советом

инженерно-экономического ф-та

Неопределенный и определенный интеграл

Ярославль 2010

УДК 517(07)

МУ 71-09. Неопределенный и определенный интеграл: практикум / сост.: В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова, И.Г. Жарова. – 2-е изд., испр. и доп. – Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2010. – 42 с.

Содержит краткие теоретические сведения по разделам «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл и приложения определенных интегралов», подробно разобранные типовые задачи, даны задачи для самостоятельного решения. Может быть использован студентами на практических занятиях и при выполнении домашних заданий.

Предназначен для студентов 1-го курса всех специальностей факультета дополнительного профессионально образования и заочного отделения.

Библиогр. 4

Рецензенты: кафедра высшей математики Ярославского государственного технического университета; Д.Ф. Белоножко, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры микроэлектроники Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

 Ярославский государственный технический университет, 2009

1. Понятия неопределенного и определенного интегралов. Таблица основных интегралов

1. Сведения из теории

1. Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции на промежуткеJ, если для любого . Любая непрерывная функцияимеет первообразную. Множество всех первообразных функцииназываетсянеопределенным интегралом от этой функции и обозначается . Пустькакая-нибудь первообразная функциитогда

,

где C – произвольная постоянная.

2. Свойства неопределенного интеграла

1. .

2. .

Это равенство означает, что неопределенный интеграл от функции состоит из первообразных функции, умноженных на числоk.

3..

Это равенство означает, что неопределенный интеграл от суммы состоит из всевозможных сумм первообразных функцийи.

3. Задача интегрирования элементарных функций

Как известно, производная от элементарной функции является элементарной функцией и существует алгоритм ее нахождения. Для обратной операции интегрирования – ситуация иная. Первообразная элементарной функции может быть и неэлементарной функцией. Из неэлементарных функций состоят, например, важные для приложений интегралы

от «простых» на вид функций (отметим, что неэлементарность этих функций не помешала изучить их не хуже, чем, например, синус).

Тем ни менее, существует ряд приемов, позволяющих выразить некоторые интегралы в виде элементарных функций. Эти приемы основаны на преобразовании интегралов к интегралам из таблицы основных неопределенных интегралов, полученной «обращением» таблицы производных.

4. Таблица основных неопределенных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть – любая первообразная функции на отрезке.

Число не зависит от выбора конкретной первообразной. Оно называетсяопределенным интегралом от функции по отрезку (илив пределах от a до b) и обозначается . Таким образом,

–

формула Ньютона-Лейбница.

Справедливо следующее свойство линейности определенного интеграла:

,

.