- •Неопределенный и определенный интеграл
- •Понятия неопределенного и определенного интегралов. Таблица основных интегралов
- •Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Метод замены переменных
- •Сведения из теории
- •Метод подведения под знак дифференциала
- •Метод подстановки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Несобственные интегралы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Задания для контрольной работы
- •Учебное издание
Метод подстановки
Пусть функция дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную. Тогда
,
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию .
При удачном выборе подстановки интеграл, стоящий в правой части формулы, может оказаться «проще» исходного.
Для определенного интеграла соответствующая формула имеет вид
,
где , а.
Примеры решения задач
Далее знак будет означать ссылку на табличный интеграл с номеромN.
Вычислить.
◄ Перепишем интеграл в виде . Под знаком интеграла стоит степень функции, поэтому удобно подвестипод знак дифференциала:
. ►
Вычислить .
◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал, тоПоэтому
.
Вычислить .
◄ Так как и. ►
Вычислить .
◄ Так как , то. ►
Вычислить .
◄ Так как , то . Тогда
. ►
Вычислить .
◄ Подведём под знак дифференциала :
. ►
Вычислить .
◄ Так как , то, тогда
. ►
Вычислить .
◄ Так как , то
. ►
Вычислить .
◄ . ►
Вычислить .
◄ . ►
Вычислить .
◄
. ►
Вычислить .
◄ . ►
Вычислить .
◄ Так как интеграл определенный, то будем пользоваться вариантом формулы подведения под дифференциал.
. ►
Вычислить .
◄
. ►
Вычислить .
◄ Будем пользоваться формулой замены переменных в форме подстановки. Обозначим . Тогда,и
. ►
Вычислить .
◄ Так как интеграл определенный, то воспользуемся формулой замены переменных. Обозначим . Тогдапри , при,,, и
. ►
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы, используя метод подведения под знак дифференциала.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить интегралы, применяя указанные подстановки.
|
|
|
|
|
|