- •Неопределенный и определенный интеграл
- •Понятия неопределенного и определенного интегралов. Таблица основных интегралов
- •Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Метод замены переменных
- •Сведения из теории
- •Метод подведения под знак дифференциала
- •Метод подстановки
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование по частям
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Несобственные интегралы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Задания для контрольной работы
- •Учебное издание
Примеры решения задач
Убедиться, что функция является первообразной функциина.
◄ Действительно, . ►
Убедиться, пользуясь определением, что
.
◄ Так как , то. ►
Вычислить
◄ При вычислении этого интеграла применим свойства 2, 3 и табличный интеграл 2.
. ►
Вычислить .
◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования (возведение суммы в квадрат и деление суммы на число), свойства 2, 3 и табличные интегралы 2 и 3.
. ►
Вычислить .
◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 11
=. ►
Вычислить .
◄ При вычислении интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 12.
. ►
Вычислить .
◄ Используем тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 10.
. ►
Вычислить определенный интеграл .
◄ Так как , то по формуле Ньютона – Лейбница
. ►
Вычислить определенный интеграл .
◄ Используем формулу Ньютона-Лейбница и формулу 7 таблицы интегралов: . ►
Вычислить определенный интеграл.
◄ Соответствующий неопределенный интеграл вычислен в примере 1.2.5. Поэтому
. ►
Вычислить определенный интеграл.
◄ Используем тригонометрическую формулу , свойство линейности определенного интеграла, табличные интегралы 1 и 8 и формулу Ньютона–Лейбница:
. ►
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов и свойства 1-3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить определенные интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов и формулу Ньютона–Лейбница.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод замены переменных
Сведения из теории
Существует два варианта этого метода.
Метод подведения под знак дифференциала
Предположим, что подынтегральное выражение удалось представить в виде (это преобразование называетсяподведением функции под знак дифференциалаd). Тогда
,
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную u на функцию . Интеграл, получившийся в результате такого преобразования, может оказаться «проще» исходного, например, табличным.
Для определенного интеграла формула имеет вид
,
где ,. Таким образом, при замене переменных в определенном интеграле меняются пределы интегрирования, зато не надо после интегрирования возвращаться к прежней переменной.